分数阶p-Laplace 方程解的单调性公式

王 琦,沃维丰

（宁波大学 数学与统计学院,浙江 宁波 315211）

单调性公式由Almgren 于1979 年在文献[1]中首次提出,椭圆方程解的单调性公式是关于椭圆方程的重要研究内容之一.Garofalo 等[2-3]首次提出了频率函数方法,通过建立方程解的单调性公式得到具有散度形式的二阶Laplace 方程解的唯一延拓性.之后,为了解决分数阶Laplacian 算子非局部性带来的研究困难,Caffarelli 等[4]提出了一种延拓技术,用于讨论分数阶Laplacian 算子的相关问题,即将非局部问题简化为更高一维的局部问题.基于此方法,Fall 等[5]建立了分数阶Laplace 方程与带有权重的奇异或退化局部方程两者之间的关联性,进而获得了方程解的单调性公式.随后,Luca等[6]研究了在Dirichlet 边界条件下分数阶椭圆方程在边界点上的单调性公式,并结合爆破分析得到了方程解的定性性质.

Fall 等[7]基于延拓方程解的单调性公式,证明了具有Hardy 势的分数阶椭圆算子解的唯一延拓性,即算子表达式为:

其中:s∊ (0,1),m≥ 0,a∊C1(Sn-1),且对Ch＞0和χ∊ (0,1)使得:

尽管在建立非局部问题解的单调性公式方面已取得了部分成果,但是目前大多数工作都集中在非局部的分数阶Laplacian 算子条件下,对于更一般的非局部算子,如分数阶p-Laplacian 算子,相关单调性公式的研究报道较少.

本文研究了更一般的分数阶p-Laplacian 算子解的单调性公式.

其中:s∊ (0,1),p∊ (1,∞),n＞ 2,Cn,sp是一个依赖于n,s,p的正常数;P.V.代表柯西主值.

与分数阶Laplacian 算子不同,当p≠2 时,分数阶p-Laplacian 算子是一个非线性非局部算子,因此,研究此类算子显然更为复杂.结合相关的研究成果可知,针对分数阶p-Laplacian 算子的研究,一种方法是积分方程法[8],即建立分数阶 p-Laplace 方程与积分方程的等价性,通过运用积分形式的移动平面法研究方程解的相关性质.另一种方法是采用Caffarelli-Silvestre 延拓技术[9],得到分数阶p-Laplacian 算子相应的局部方程,将相应的扩展问题表述为半空间中具有奇异或退化权重的局部方程.此外,文献[9]还证明了分数阶p-Laplacian 算子的另外两种表达公式.而当p=2时,分数阶Laplacian 算子作为一种特殊形式,其单调性公式在文献[10]中已得到证明.文献[11]研究了分数阶Hardy-Hénon 算子正解的渐近行为和爆破估计,得到了方程

在单位球中正解的单调性公式,其中s∊(0,1),-2s＜α＜2s,(n+α)/(n-2s)＜p＜ (n+2s)/(n-2s),且n≥ 2.此外,文献[12]研究了高阶分数Laplacian算子,并运用Pohozaev 恒等式得到了四阶椭圆方程解的单调性公式.因此,针对单调性公式的研究逐渐趋于丰富[13-16].

本文受Laplace 方程和分数阶Laplace 方程解的单调性公式启发,研究了分数阶p-Laplacian 算子解的单调性公式,将分数阶Laplacian 算子解的单调性公式推广到更一般的应用范围.采用基于非线性非局部算子的Caffarelli-Silvestre 线性延拓技术,通过定义一个合适的Dirichlet 边界条件,证明了分数阶p-Laplacian 算子与局部方程之间的等价性,即将相应的扩展问题表述为半空间中具有奇异或退化权重的局部方程.在分数阶p-Laplacian算子(-Δ)取s∊(0,1)和p∊ (1,∞)情况下,将具有线性算子解的单调性公式推广到非线性算子中.依托Caffarelli-Silverstre 的延拓技术,通过现有结果建立方程的频率函数,并结合相关积分估计获得具有非线性非局部方程解的单调性公式.与此同时,讨论了p＞ 1情况下的分数阶p-Laplace 方程解的单调性公式,从而更大程度上拓展了非局部分数阶Laplace 方程的研究成果.

1 准备工作

在给出本文的主要定理前,首先引入一些记号以便后续书写.

对于任何r＞ 0,定义

Sn=｛z∊ Rn+1:|z|=1｝表示一个 Rn+1中单位为n维的球体.

dS表示n维球体上的体积元素.

dz=dxdy,z=(x,y) ∊ Rn×R 表示(n+1)维的体积元素.

接着引入有关分数阶p-Laplacian 算子相应的延拓性质.

文献[9]给出了引理1 的证明过程,并讨论了分数阶p-Laplacian 算子其他定义形式的表示方法.引理1 对我们主要结果的证明至关重要.

引理1令s∊(0,1)和p∊ (1,∞),设U x0(x,y)是下面边值问题的解:

且对p∊ (1,2/(2-s))需额外假设 ∇u(x0) ≠ 0,则对于u∊(Rn),使得:

其中:x0∊Rn,(x,y) ∊ Rn× (0,+∞).

特别地,当p=2时,我们有:

即满足分数阶Laplacian 算子的经典结果.

2 主要定理

首先定义方程解的频率函数,然后通过计算函数的导数得到主要定理.从引理 1 可获得U x0(x,y) 是方程(2)的一个解,我们用φ替换Ux0,且为方便之后计算,后续研究都建立在r∊(0,1)的条件下.

值得注意的是,令

满足下面延拓问题:

为了确保完整性,给出式(3)中频率函数的定义.令z≠ 0,r∊ (0,R],且R＞ 0,定义函数

则函数 N(r)的表达式为:

此外,在p=2 和A(0)=id情况下,上述给出的频率函数也可以表示分数阶椭圆方程的频率函数,并且定义是良好的.另外,随着二阶椭圆方程组研究的不断深入,文献[17]建立了一类弱耦合的二阶椭圆方程组的频率函数.最后,给出关于本文的主要研究结果.

定理1令s∊ (0,1),p∊ (1,∞),n＞ 2,函数N (r)定义如式(6).

则存在一个常数C＞0,使得:

是关于r∊ (0,r0)的一个非减函数,其中r0∊ (0,1)和C是依赖于空间维数的量.

一旦有了单调性质,下面的推论将顺理成章.

推论1存在一个γ,使得极限成立.

3 定理1 的证明

证明不失一般性,令0＜r＜1 和z=(x,y).

首先由定义

计算出N 的导数,得:

接着,将证明的剩余部分分为3 个步骤.

步骤1为了得到一些想法,首先给出H(r)的导数.

对于r0∊ (0,R),考虑以下极限

另一方面,对于任意的r∊ (r0/2,R)和θ∊,有:

因此,由式(7)和式(8),并利用控制收敛定理可得:

由于式(9)中H′在区间(0,R) 上具连续性,故

此外,利用φ方程式,可获得:

将式(11)代入式(10),整理后得:

步骤2接着计算有关D(r) 的导数.

现将问题写成以下形式:

同时,对于任意的r∊ (0,r0),令

式(14)利用Rellich 恒等式,对于r∊ (0,R)几乎处处有:

将式(14)和式(15)代入D′ (r)表达式,同时结合式(13)得:

步骤3修正频率函数的单调性.

结合步骤1 中H′ (r)和步骤2 中D′(r),代入N′(r)表达式,有:

由Cauchy-Schwarz 定理,可得:

因此,最终可得:

其中C是一个仅与空间维数n有关的量.

至此定理1 的结论成立.