耦合MRT 方程的三哈密顿对偶系统

2024-04-06胡碧圆曹陈辰

宁波大学学报（理工版） 2024年1期

胡碧圆,曹陈辰

（宁波大学数学与统计学院,浙江宁波 315211）

物理、化学和生物学中的许多现象都可以用非线性离散方程来建模.近年来,离散方程的研究受到了广泛关注[1-3].目前,研究者们已经获得了很多离散可积系统,如Toda 链[4-5]、sine-Gordon 链[6]、Ablowitz–Ladik 链、Merola-Ragnisco-Tu (MRT)链[7]等.这些离散可积系统的哈密顿结构、Lax 对、精确解等都已得到充分研究.因此,寻找或者构造一些新的离散可积系统是一个重要的研究内容.利用三哈密顿对偶方法[8]、Bäcklund 变换[9]、递归算子[10]等方法可以构造出新的可积系统.

1996 年,Olver 等[11]通过重组哈密顿算子得到CH 方程是KdV 方程的对偶方程的结论,同时也得到了mKdV 的对偶系统.2013 年,Tian 等[12]利用三哈密顿对偶方法发现Wadati-Konno-Ichikawa 方程的对偶系统是Song-Qu-Qiao 方程.2017 年,Kang等[13]同样利用此方法构造了Dispersive Water Wave系统的对偶系统,并求出了对偶系统的Bäcklund变换.2021 年,Zhang 等[14]首次将此方法用到离散可积系统上,构造了MRT 方程的对偶系统.

2010 年,Xu[15]构造了耦合MRT 方程,并求出了其哈密顿结构,通过达布变换给出了精确解.2015 年,Xu[16]进一步得到了与其相关的非等谱可积族.本文将通过重组哈密顿算子构造一个新的离散四分量可积系统.

1 耦合MRT 的对偶系统

耦合MRT 方程可以写成以下形式:

其中rn,sn,un,wn是位势函数.耦合MRT 方程有4 ×4 矩阵形式的谱问题:

其中

算子E定义为

耦合MRT 方程用双哈密顿结构表示为

式中:

其中

首先,分解J2得到

因此,通过计算可以得到

从而可以导出四分量MRT 方程的对偶系统

可见,本文得出了耦合MRT 方程对偶系统的双哈密顿结构.

2 耦合MRT 对偶系统的线性谱问题

首先,根据耦合MRT 方程的谱问题,假设

因此,恢复了相容的哈密顿算子J1和J2.为了得到耦合MRT 方程,需要选择

其次,为了获得耦合MRT 方程对偶系统的谱问题,先做变换λ→-1,则式(5)变成

利用等式(2)计算式(6),可以得到耦合MRT 方程的对偶系统.综上所述,耦合MRT 方程的对偶系统有满足零曲率方程的谱问题:

3 Darbux-Bäcklund 变换

首先介绍gauge 变换

表3是纯水饱和状态下3种掺砂率试样在剪切前的膨润土有效干密度ρb的数值.由表中数据可知,纯膨润土的有效干密度要大于掺砂混合物.同时,掺砂率为30%的混合物中膨润土有效干密度大于掺砂率为50%的混合物,因此纯膨润土试样的强度要大于掺砂混合物试样的强度,掺砂率为30%的混合物强度要大于掺砂率为50%的混合物强度.结合表3和图4还可以得出,有效干密度ρb大于1.5 g/cm3的试样出现了应变软化现象,而ρb小于1.5 g/cm3的试样只出现了应变硬化现象.

这一变换将谱问题(7)和(8)变成

令变换矩阵Tn为

其中tjl[n](j=1,2,l=1,2,3,4)是关于变量n和t的未知函数.

首先,定义

因此,基于式(12),可以从式(11)中推知

因此,

显然,±λi(i=1,2)是det(Tn)=0的4 个根.接着,利用空间谱问题(7)和等式(12)可以得到

将式(14)代入式(13),很容易导出tjl[n+1](j=1,2,l=1,2,3,4)与Ai[n],Bi[n],Ci[n],Di[n]之间的关系.

命题1由式(9)定义的矩阵有一样的形式,即

对于命题1,先由相容性得到

其中

命题2在变换(15)下,由式(10)定义的矩阵有相同的形式.