例析带电粒子在匀强磁场中的临界问题

■重庆市第四十九中学 廖华英

带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现“恰好”“最大”“最小”“至少”等词语时,往往意味着存在临界现象。求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R和速度v(或磁感应强度B)之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B)的关系,找出临界状态。下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考。

类型一:求解磁场约束条件的临界问题

这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题。

例1如图1 所示,坐标系Oxy所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m,带电荷量为+q,速率均为v0的粒子。厚度不计的竖直挡板MN放置在原点O左侧,挡板与x轴的交点为O′,在纸面内挡板两端点M、N与原点O恰好构成等边三角形。已知挡板两端点M、N间的距离为L,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用。

图1

(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值。

(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值。

解析:因为△OMN为边长为L的正三角 形,所 以O、O′两 点 间 的 距 离LOO′=。设磁感应强度为B,粒子的轨迹圆半径为r,根据洛伦兹力提供向心力得,解得。因为放射源发射的粒子的质量均为m,带电荷量均为+q,速率均为v0,所以所有粒子的轨迹圆半径r只与磁感应强度B有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r越小。

(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧。画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O′点的轨迹圆的半径最大。根据几何知识可知,最大轨迹圆半径,最小磁感应强度

图2

(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M、N均位于从放射源沿y轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部。画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M、N两点的轨迹圆的半径最小。因为最小轨 迹 圆 的 内 接△OMN为 正 三 角形,所以最小轨迹圆半径,最大磁感应强度

图3

点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中的受约束运动。因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆。解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系。

例2在平面直角坐标系Oxy中,曲线y=x2

20位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度。在曲线上不同点以初速度v0向x轴负方向水平抛出质量为m,带电荷量为+q的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y轴的负半轴上。取重力加速度g=10 m/s2求:

图4

(1)电场强度E的大小。

(2)小球的初速度v0。

(3)为了使所有的小球都能打到y轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积。

解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即mg=qE,解得E=0.1 N/C。

点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动。若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同。解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界。

类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题

这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域。一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等。

例3如图5所示,长度为L的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,两极板间距也为L。初始状态下,两极板不带电,质量为m,带电荷量为-q的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v垂直于磁感线射入磁场。不计粒子自身重力。欲使粒子打到极板上,求其初速度v的大小范围。

图5

图6

点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制。求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径。

例4如图7 所示,矩形区域abcd内分布着磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的ad边长为L,ab边足够长。现有一带电粒子从ad边的中点O以初速度v0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m,带电荷量为q,初速度v0与直线Od间的夹角α=30°,不计粒子自身重力。

图7

(1)若粒子能从ab边射出磁场区域,求初速度v0的大小范围。

(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围。

点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值。