运用GeoGebra 软件实现复变函数可视化教学的探索与实践

程 旭，艾小川，张 恒

（海军工程大学基础部 湖北 武汉 430033）

复变函数是实数域上的微积分学在复数域上的推广和发展，在积分变换、解析数论、算子理论等数学分支中有重要作用。同时它广泛应用于理论物理、流体力学、信号处理等自然科学相关领域。“复变函数”是工科院校大部分专业的必修课程[1]。其作为继“高等数学”之后的一门数学课程，以符号推导与定理证明为主的传统教学方法对工科学生的学习提出了较大挑战。在现代教育技术的发展下，利用数学动态软件GeoGebra 将复变函数知识可视化[2-3]，直观地呈现复变函数的特性，巧妙引入数形结合[4]的思想，能有效地激发学生的学习兴趣、调动其学习积极性，达到认知、掌握、应用的连贯推进。

1 复分析可视化资源库的建立

中学数学阶段的培养已经为实变函数的学习奠定了良好的基础，实数在数轴上的对应、一元函数在平面上的图像、二元函数在三维空间中的图像等都能帮助学生直观地认识实变函数的各种性质。而复数需要对应到复平面上，随之而来的复变函数需要在至少四维空间中呈现，学生难以想象出复变函数的几何直观图像。利用数学软件在两个复平面上分别展现原像和像、在同一个复平面上叠加像点或者将第四个维度以颜色代替是目前复变函数可视化[5]的三个主要方法。为了服务于教学，需要先建立可视化资源库。

1.1 选取合适的可视化专题

“复变函数”课程以解析函数为主，包含复数、复变函数微积分，以及复变函数的代数性质即展成泰勒级数或者洛朗级数。“形”可以启发“数”，“数”可以塑造“形”。选取的可视化专题要兼具简洁性与实用性。简明易懂的图像可以化繁为简、化难为易，消除学生畏难情绪，获得对相关知识的清晰认知；实时动态图形演示可以让学生参与进来，观察参数变化对图像的影响，引导学生主动探索，培养科学的学习方法。因此根据教学重难点及知识属性，分三个方面选定可视化资源库的专题（如图1）。

图1 可视化资源库专题

对于本校工科专业而言，复变函数的学习目标主要是为后续积分变换与数理方程等数学课程以及信号处理等专业应用奠定基础。因此专题中复数和典型复变函数是重点，建立这两方面的专题能从几何角度帮助学生理解复分析、掌握计算技巧。而更深入的共形映射等知识只作拓展要求，开阔学生眼界；最后一部分，不同学科之间的交叉应用专题是激发学生创新性的契机。专题的选取与建立既是为了达成知识目标与能力目标，同时又可以通过资源库检验学生对知识的掌握及运用程度，实现目标的可测性。

1.2 利用数学动态软件GeoGebra 制作可视化文件

对于上述专题，分别选择典型的复变函数作图。由于使用MATLAB 需要具备一定的编程基础，而GeoGebra 是交互式的用户界面，既可以直接选择数学对象又可以通过代数表达式建立图像，是可视化教学的有效工具，学生也可以快速掌握，因此主要采用GeoGebra 实现复变函数的可视化。以第一部分复数为例，通过GeoGebra 做出复数在复平面上的对应（如图2a）和复数在复球面上的对应（如图2b）。

图2 a 复平面

图2 a左上滑动条可以实时改变复数的实部与虚部，此时图形上的模长和辐角也会随之发生改变；反之，左下的滑动条可以改变模长与辐角，此时对应到复平面上点的实部与虚部也发生了改变。通过这个可视化过程，学生能清晰地看到复数两种表示形式之间的转化关系。图2b 是复平面上点与复球面上点的对应关系，即“球极投影”。此外还能通过可视化讨论辐角与辐角主值的关系等。将需要辨析的数学概念通过几何呈现出来，一目了然。

对于1.1 中选定的专题，依1.2 所示制作ggb 文件，初步建立可视化资源库。

2 基于可视化资源的教学流程再设计

由于可视化资源的引入，原有的教学设计中部分内容需要调整，将“数”与“形”结合起来讲解，侧重引导学生去观察、发现和理解复数以及复变函数的各种性质特点。另外学生参与动态图形的调参互动需要占用一定的时间，所以课堂时间分配也需要调整。因此，课前教师要完善教学课件，重新进行教学设计，将可视化资源库与教学有机融合（图3，p43）。

2.1 课堂教学模式更新

在课堂教学过程中，教师首先利用资源库中已经建立好的ggb 文件，将几何图象呈现出来，引导学生观察图像，发现图像中包含的问题，然后带着问题讲解对应的知识点。以“形”启发出“数”，图形的直观特点蕴含了数学理论。在学生具备了一定的理论基础之后，组织学生对于其他函数进行可视化，验证理论结果。通过学生互动与小组讨论，强化其对知识的理解。“数”揭示了“形”的特点。最后，融会贯通，学生对于实际问题也可以按照数形结合的思想，从问题中抽象出复变函数表达式，将表达式与几何直观联系起来，从一个问题出发，解决一类问题。

区别于传统的教师输出、学生输入的单方面讲授模式，基于可视化资源库设计的教学流程侧重于教师引导、学生参与探讨的交互模式。学生既可以作为提问者，好的设问是思考的第一步；又可以作为解答者，锻炼逻辑推理能力与知识调用能力。只有充分参与进来才能真正做到“知其然更知其所以然”，参与感与获得感能让学生在复变函数的学习过程中获得愉悦感。新模式下的课堂教学旨在培养学生的学习能力，授人以鱼不如授人以渔。形式上借助于数学软件与可视化资源库，趣味性与科技感能调动学生的积极性；内容上几何与分析的结合能使知识更为清晰透彻，数形结合打造高效的课堂。

2.2 课后开放式大作业拓展

为了进一步促进学生掌握“观察―发现―讨论―归纳”的学习方法，教师可制订启发式的大作业，学生在课程结束时提交并展示。开放式作业提纲设计如下：

示例：教师给出复变函数可视化方法与对应例子。主要包含三种可视化方法：双复平面、叠加复平面、动态映射。

任务：学生自主完成。

①知识强化。寻找典型的复变函数或者有特殊几何含义（有用/有趣）的复变函数，分析这个函数的分析/代数/几何特点，并作图。

②方法创新。对于一类复变函数（单值函数、多值函数），寻找其他可视化方法，并分析这种可视化方法的优点和缺点，讨论这种方法对复变函数学习的作用。

③能力迁移。对于一个或一类具体的应用实例（工程、军事、其他学科等），给出背景分析、复变函数在其中的作用，利用复变函数的相关理论解决实际问题。

学生根据课堂上的可视化演示以及示例，自选完成上述三个任务之一。任务①旨在促进学生对“数形结合”思想的巩固。学生可以选取课堂上学习的典型复变函数（指数、对数、幂函数等），根据教师给出的示例对其进行可视化呈现，再结合函数表达式与几何特性分析它的各种性质。锻炼学生的观察与分析能力，属于较容易的任务。任务②侧重于方法的创新，复变函数的可视化通过GeoGebra软件来实现是简单易学的，但是对于多值性的呈现也有局限性。对于现代工科专业学生而言，基本编程语言的学习与使用是必备技能。而编程实现的前提是算法的构造。学生来自不同专业，思维方式不同，就有给出新的可视化方法或算法的可能性，这就是创新意识的体现。而创新要基于对复变函数特性有较好的掌握，这属于中等难度的任务。任务③则是实际应用能力的激发。相较于基础数学专业侧重理论而言，工科学生学习复变函数更重要的是学会应用。通过自己寻找实例，数形结合，理论推导，最后回归解决实际问题。这个过程既是数学建模及求解的过程，也是学生以后走上工程应用或工作岗位的一个预备过程，学以致用考查学生的综合能力，属于难度较大的任务。

通过三个不同难易程度、不同侧重点的开放性任务，可以促进学生个性化学习，学生根据自己的能力和兴趣点选择一个任务完成，也可以小组协作。课程结束前提交并展示。

3 教学实践效果反馈与更新

课程组按照新的教学设计思路，将可视化资源有机融合到实际课堂中，在2023 年春季学期的电气、导航等专业共67 名学生的教学班中进行教学改革试点。课堂上，该教学班学生能更积极活跃地回答问题，知识掌握得更透彻。学期末的考核中，试点班在8 个教学班中复变函数课程的总评排第二名。同时课程组在后续课程“积分变换”等教学中发现，改革试点专业的学生对复变函数知识记忆更深刻更长久，数形结合加深了理解因此延长了记忆的时效。可视化方法在复变函数教学中的应用既收获了短期效果，也在后续其他理论与应用课程中有良好的后作用。其主要体现在以下三个方面：

①可视化技术的多样化。表现形式上，78%的学生采用GeoGebra 绘图，18%的学生采用MATLAB 绘图，4%的学生采用Python 绘图。软件的多样化使用，能更好地实现复变函数的可视化，为融合技术的新型教与学模式[6]提供了更多技术支持，锻炼了学生的实操能力，使教师的教学技术手段更加多元化。

②数形结合思想的有效渗透。一部分学生选择将基本解析函数可视化，既有对表达式的数学理论分析，又有对图形的解释，体现了数形结合的思想。以开三次方函数为例，这是一个典型的多值函数。通过理论推导不同分支之间辐角相差120°。利用GeoGebra 作图可以发现当给定一个z，对应的三个w是同一个圆周上的三等分点，理论与几何直观契合。学生自主讨论的这些例子可以添加到可视化资源库里，实现资源库的更新与完善。

③应用与创新能力的充分开发。另一部分学生结合自己所学的专业课程或者生活实际场景，将复变函数应用到实际问题中。例如用复电位描述静电场的分布情况，利用保角变换把一些具有复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。以及在学校道路停车线处发现欧拉公式z=ei t（如图4ab）。

图4 a 停车线

可见通过可视化教学方法，学生不仅仅对复变函数有了更深刻的认识，对数形结合思想的领悟也更灵活。此次教学改革达到了复变函数知识的学习、可视化能力的培养、数形结合思想的推广的目的。

4 小结

通过教学方法的创新改进，在教学实施过程中教师致力于培养学生数形结合的思想，锻炼并提升他们将复杂问题简单化、抽象问题具体化的能力。通过分阶段的教学设计，从以教师引导的数形联想方式转变成学生参与的调参互动，最后转变成学生自主探索“化数为形、以形助数”的延伸拓展环节，潜移默化的思想训练能为他们在各学科的学习中开拓新思路。根据课上的讨论与课下开放式大作业对可视化资源库进行更新，实现“教”与“学”的思想碰撞，使教学更适应于当下学生的认知规律与工科专业的应用需求。因此，可视化方法在工科复变函数课程教学中的应用是有效且必要的，也需要在不断的教学实践中发展完善。信息技术为教学方法变革赋能是值得各学科教师探索尝试的方向。