水下拖曳系统拖缆末端不确定性量化分析

程顺钊,汪 俊,梁晓锋,王 健

(上海交通大学 海洋智能装备与系统教育部重点实验室,上海,200240)

0 引言

为提高海洋资源开发及海洋空间利用能力,各国竞相开发各类海洋探测器。水下拖曳系统因其工作方式简单、工作范围大及操纵方便,且成本相对其他海洋装备较低,已广泛应用于海洋科学研究、水下噪声测量、资源勘测和国防等领域[1]。水下拖曳系统由母船、拖缆和拖体组成[2]。拖缆是水下拖曳系统的重要组成部分,其有线通信方式克服了水下无线通信的不足,同时具备成本低、柔性好及承载力大等优点[3]。

受工作过程中物理参数和水文环境的时变性影响,拖缆末端会产生扰动(即不确定性)并影响水下拖曳系统的稳定性和拖体探测结果[4]。因此,对拖缆末端的不确定性进行量化是拖缆优化设计和拖体精确控制的前提。

针对不同因素对水下缆位姿的影响,侯二虎等[5]考虑了不同航速对拖曳系统的总拉力和拖缆姿态的影响,发现总拉力随航速的增大而显著增大,而随拖缆长度变化较小;刘铭等[6]探究了匀速直航、横向运动、升沉运动及回转运动等工况对缆索运动姿态和受力的影响;孙小帅等[7]模拟了配备拖曳阵的水面船舶在规则波中的运动,分析了船体和拖曳阵的相互影响;朱艳杰等[8]分析研究了海上作业过程中,波浪、流等动力因素对海洋索缆动力响应的影响;王飞等[9]考虑了导流缆在各项异性弯矩影响下的运动特性,并给出了定性的运动规律。然而,上述研究以拖缆参数确定为前提,少有针对复杂海况下拖缆参数的不确定性对拖缆末端不确定性影响的研究。

早期的不确定性量化多采用蒙特卡罗(Monte Carlo,MC)方法,通过计算输出响应的标准差量化其不确定性,但MC 方法始终存在MC 误差,只有当样本数量为无穷大时MC 误差才收敛于零[10],而复杂的工程问题又难以获取大量样本数。近年来,多项式混沌(polynomial chaos,PC)方法因克服了MC 误差而被广泛应用。同时,PC 方法还可在小样本数量下精确计算输出响应的标准差。

文中引入PC 方法探究拖缆物理参数及环境参数不确定性对拖缆末端的影响,并对拖缆末端的不确定性进行量化。采用集中质量法(lumped mass method,LMM)构建水下拖曳系统拖缆的运动响应模型,通过拉丁超立方采样(Latin hypercube sampling,LHS)获取拖缆物理参数和环境参数样本数据,并将样本数据代入拖缆运动响应模型计算拖缆的末端质点坐标,利用PC 方法对拖缆末端的不确定性进行量化,同时将PC 方法与MC 方法进行对比,以验证PC 方法的准确性和高效性。

1 拖缆质点运动响应模型

关于拖缆数值仿真的方法包括有限元方法[11-12]、有限差分法[13-14]和LMM[15-16]。由于LMM 避开了推导复杂的微分方程,形式较为简单,且具备较高的精度,所以采用LMM 建立水下拖曳系统的拖缆模型。

1.1 基于LMM 的拖缆物理模型

LMM 物理模型如图1 所示,坐标原点位于母船和拖缆连接处。拖缆被离散化为一系列的质点,拖缆的质量和受力都集中在质点上,质点之间通过无质量的弹簧缆段连接,在求解出质点所受合力和质量后,利用牛顿第二定律列微分方程组求解。质点由母船端从1 开始依次排序,缆段亦是如此,缆段的数量比质点数少1。

图1 LMM 物理模型Fig.1 Physical mode of LMM

1.2 基于LMM 的拖缆数学模型

将拖缆离散为N个质点,即N-1 段。定义缆段向量lj为质点j指向质点j+1,用各质点的位置矢量表示为

式中,rj+1和rj分别为第j+1和 第j个质点的位置矢量。

第j段缆的张力Tj根据胡克定律表示为

式中,Ej、Aj和分别为第j段缆的弹性模量、截面积和纵向应变。将式(3)中的截面积和纵向应变表达式代入,得

式中,dj和为第j段缆的直径和初始长度。设Wc,j为单位长度的第j段缆在水中受到的重力,其表达式为

式中:mj为第j段拖缆在空气中的线密度;ρw为水的密度;g为重力加速度;Vj为第j段拖缆的体积,其表达式为

第j个质点在水中受到重力为Wj,则

式中:Wb,j为附体在水中的重力;k为沿z轴方向竖直向下的单位向量。式(7)中当j=1时,没有第1 项;当j=N时,没有第2 项;当节点没有附体时,没有第3 项。

水流阻尼力与拖缆相对于水流的速度相关,拖缆第j个质点与水流的相对速度

式中:vj为拖缆质点的运动速度;cj为水流速度。第j个质点处的切向单位向量

由切向单位向量可计算第j个质点处拖缆相对于水流的切向速度 (utav)j和法向速度 (unav)j分别为

则第j个质点所受到的流体切向阻尼力(Dt)j和法向阻尼力(Dn)j分别为

式中,(Ct)j和(Cn)j分别为拖缆第j个质点处的切向阻尼系数和法向阻尼系数。如果第j个质点处存在附体,则还需要考虑附体的阻尼力 (DB)j,即

式中: (Cb)i为附体阻力系数;Aij为参考面积,i=1,2,3表示3 个维度的取值不同。至此,可以计算第j个质点处流体阻尼力为

第j个质点处的质量为

式中,(mVB)j为第j个质点处附体的质量,没有附体则不存在这一项。

质点j所受合力为

根据牛顿第二定律列微分方程组得

式中: dt为时间步长;aj为质点初始加速度。通过给定边界条件和初始条件,利用计算机对上述微分方程组进行求解,求得拖缆各质点的运动响应。

1.3 拖缆模型参数

鉴于拖缆末端不确定性的量化难以涉及所有尺寸的拖缆,针对性地选取数值仿真结果与试验结果相符的拖缆参数作为算例。朱克强等[17]利用LMM 模型对拖缆姿态进行数值仿真,并与美国NCEL(naval civil engineering laboratory)的水槽缩尺模型试验数据进行对比,证明了算例和方法的精度。因此文中采用该水槽缩尺模型试验作为拖缆末端不确定性量化的算例,所得结论可供不同尺寸拖缆参考。拖缆参数如表1 所示。

表1 不确定性量化考虑的8 个主要输入参数Table 1 Eight main input parameters considered for uncertainty quantification

拖缆长度为3.66 m,质点数量N=11,则拖缆每段初始长度为0.366 m。拖缆初始状态为竖直状态,母船静止,仿真时长为6 s。拖体质量1.015 kg,x轴、y轴和z轴方向上的阻尼系数分别为0.45、0.3 和0.8。则

水下拖曳系统在探测作业过程中对系统的稳定性要求较高,但在实际作业中,洋流和海水密度等环境参数的变化可能造成拖缆的平衡状态失稳,并且拖缆、拖曳母船和拖体之间存在复杂的交互作用,导致拖缆物理参数发生变化,进而影响系统的稳定性[18]。文中的研究重点在于探究拖缆物理参数与环境参数不确定性对拖缆末端的影响,关于拖缆参数的分布不作深入研究。因此,假设拖缆参数分布给定。采用LHS 获取拖缆参数的样本集用于描述拖缆参数的变化,样本集满足高斯分布,如表2 所示。

表2 拖缆参数分布Table 2 Distributions of towed cable parameters

为量化拖缆末端不确定性,选择拖缆末端质点的x坐标和z坐标作为输出响应。将拖缆参数样本集输入LMM 模型获得输出响应的样本集,根据PC 方法计算输出响应样本集的标准差从而量化其不确定性。

2 基于PC 的不确定性量化方法

根据PC 原理,如果随机变量xi(i=1,2,···,N)相互独立,且f(x)属于L2范数定义内积的Hermite空间,则输出f(x)可以展开为多项式混沌的级数形式

将式(18)写为紧凑形式

式中:ci为待定系数;Ψi(x)是基函数,为具有随机性质的正交多项式,满足下列关系

式中: δij为Kronecker 算符;E为数学期望。由于基函数满足正交关系,展开式系数为

取式(18)中的p阶项作为截断近似,展开式中的待定系数数量为

则截断近似的p阶混沌多项式的表达式为

将式(23)改写为

利用多项式混沌展开式作为响应面函数最大的优点是,可以通过展开项系数求解方差。

各变量交互作用对输出响应的方差贡献为

对所有贡献项Di1,···,is进行累加得到输出响 应的总方差D,其算数平方根即为输出响应标准差。

3 拖缆末端不确定性量化结果分析

3.1 PC 基函数阶数选取与对比验证

分别采集样本数量为50、100、150、200、250、300 共6 组样本集,将PC 的基函数分别设置为1 阶、2 阶和3 阶,比较不同样本数量和基函数阶数下标准差计算结果的精确性和收敛性。同时,将6 组样本集同时作为PC 方法的输入(样本数量为1 050),基函数设置为4 阶,此计算结果作为参考真实解。当基函数为3 阶时,根据式(22)可知,计算所需的样本数量为165,故6 组样本集中仅后3 组满足3 阶PC 的计算要求。

末端质点的标准差计算结果如图2 所示。从图中可以看出,2 阶PC 与3 阶PC 曲线随样本数量的收敛速度大于1 阶PC 曲线。

图2 末端质点坐标分量标准差计算结果Fig.2 Calculation results of standard deviation of end particle coordinate components

为直观地展示PC 方法精确性,引入误差指标

式中: σi为各输出响应标准差对应的PC 方法计算结果;为输出响应标准差的参考真实解;n=20为输出响应个数。

误差指标体现了计算结果误差的平均水平,如图3 所示。由图可知,当基函数为1 阶时,误差波动显著,说明1 阶PC 的精确性受样本数量的影响较大。当基函数为2 阶和3 阶时,精确性保持稳定。2 阶PC 与3 阶PC 的计算精度相似,因此基函数阶数由2 阶提升至3 阶徒增了计算成本和样本数量。综上所述,考虑计算结果的收敛性、精确性和计算成本,文中PC 模型的基函数均选为2 阶。

图3 误差指标随基函数阶数和样本数量的变化Fig.3 Variation of error with order of basis function and number of samples

早期,输出响应的不确定性量化通过传统的MC 方法实现,文中引入PC 方法对拖缆末端的不确定性进行量化并与MC 方法对比。2 阶PC 方法与MC 方法关于末端质点坐标分量标准差的计算结果如图4 所示。从图4 中可以看出,2 阶PC 方法与MC 方法均收敛于参考真实解,说明了PC 方法计算结果的准确性。PC 方法在样本数量为50时已经收敛,而MC 方法在样本数量为300 时仍未收敛,说明MC 方法的收敛速度明显小于2 阶PC方法。因此PC 方法能够在样本数量较少的前提下精确计算拖缆质点坐标的标准差,对于实际的工程问题而言,获取大量的样本数据较为困难,因此PC 方法相比传统的MC 方法更加适用于工程问题的求解。

图4 PC 方法与MC 方法末端质点坐标分量标准差计算结果Fig.4 Comparison of calculation results of standard deviation of end particle coordinate components between PC method and MC method

3.2 末端质点不确定性随轴向长度变化规律

拖缆参数的不确定性对末端的影响随着轴向长度的变化而变化,为探究其变化规律,绘制拖缆不同轴向长度质点坐标分量的标准差,如图5 所示。图中,横坐标原点表示母船端。从图中可看出,随着轴向长度的增大,拖缆坐标分量的不确定性也在近似线性增大,说明拖缆距离母船端越远,受参数不确定性的影响越大。对比PC 方法与MC方法的标准差计算结果,2 阶PC 方法在样本数量为50 时,计算结果已接近参考真实解。而MC 方法在样本数量为50 时,计算结果偏离了参考真实解。直至将样本数量增加至1 050 时,MC 方法的计算结果才接近参考真实解。因此,相比于MC方法,PC 方法能够在小样本数量下精确探究末端质点不确定性的变化规律。鉴于PC 方法的精度优势,下文均采用2 阶PC 方法探究末端质点不确定性的变化规律。

3.3 末端质点不确定性随缆长变化规律

拖缆末端与拖体相连,影响着拖体的运动,进而影响拖体的探测结果及稳定性,因此有必要探究拖缆长度发生变化时,其末端质点受拖缆参数不确定性的影响规律。对缆长x1以外的其余7 个参数(x2,x3,···,x8)进行高斯采样,参数分布与表2一致,拖缆末端质点坐标分量的标准差计算结果如图6 所示。从图中可知,随着缆长的增大,其末端质点坐标的不确定性逐渐增加,之后逐渐减缓甚至下降。对于拖体的定高及定深控制而言,拖缆末端的z坐标与拖体的运行高度和深度关联。从图6(b)中可观察到,z坐标的不确定性曲线在缆长11 m 附近出现了拐点,说明缆长小于11 m的区间为不确定性敏感区。在此区域,缆长变化对末端深度或高度的不确定性影响较大,拖缆选型设计过程中应当注意。

图6 末端质点标准差随缆长变化曲线Fig.6 Standard deviation of end particle changes with cable lengths

为客观描述拖缆末端质点坐标分量的标准差变化规律,对标准差数据进行拟合。同时,引入均方根误差RRMSE衡量2 阶PC 计算结果与拟合曲线的相似度。RRMSE越小,表明拟合相似度越高。

取RRMSE=0.002 08,x坐标的标准差关于缆长x1的拟合函数为

取RRMSE=0.002 08,z坐标的标准差关于缆长的函数为

3.4 末端质点不确定性随母船航速变化规律

为探究不同母船航速对于拖缆末端不确定性的影响,除流速x6外的拖缆参数分布与表2 一致,设置流速为0 kn,计算母船航速为1～10 kn 时,拖缆末端质点坐标的标准差随母船航速的变化曲线,如图7 所示。从图中可知,随着母船航速的增大,拖缆末端质点x坐标的标准差随母船航速的增大先迅速增大,最后趋于稳定;z坐标的标准差则先缓慢下降,接着迅速下降并趋于平缓。

图7 末端质点标准差随母船航速变化曲线Fig.7 The standard deviation of the end particle changes with the speeds of the mother ship

为客观描述拖缆末端质点坐标分量的标准差变化规律,对标准差数据进行分段拟合。令母船航速为x0,RRMSE=0.000 19,x坐标的标准差关于母船航速x0的函数为

取RRMSE=0.000 66,z坐标的标准差关于母船航速的函数为

3.5 分析与结论

文中分析了拖缆物理参数与环境参数不确定性对拖缆末端不确定性的影响,得出如下结论:

1) 基于PC 方法的拖缆末端不确定性量化方法相比于MC 方法,在小样本数量下的计算精度更高,且计算结果收敛所需的样本数量较小。PC 方法的准确性和高效性得到验证。

2) 复杂的海洋环境下,拖缆运动响应存在不确定性,并且运动响应的不确定性由母船端向拖体端近似线性递增。因此,拖体应尽可能靠近母船端以保证探测结果的稳定性。

3) 缆长增大将导致其末端的不确定性增大,因此在拖缆的选型设计过程中,应当合理控制拖缆的长度,从而改善水下拖曳系统在复杂海洋环境中的稳定性和探测结果。

4) 拖缆参数不确定性一定的情况下,增大母船航速。将损失一部分水平方向的稳定性,但有助于提高拖体在高度方向上的稳定性。

4 结束语

文中搭建了基于LMM 的拖缆运动响应模型,并提出一种基于PC 方法的拖缆末端不确定性量化方法。虽然不确定性量化无法涵盖所有尺寸的拖缆,但在特定算例下验证了PC 方法的准确性和高效性,为拖缆的优化设计等工程问题提供了理论指导。PC 方法相比于传统的MC 方法,能够在较小的样本数量下精确量化拖缆末端的不确定性。今后的研究工作中,可对拖缆参数进行敏感度分析,从而确定影响拖缆末端位姿的主要参数,为拖缆的工程应用提供更多参考依据。