关于工作用玻璃液体温度计修正值插值法的准确性

唐秋晨

（北京市西城区计量检测所，北京 100055）

1 引言

工作用玻璃液体温度计，作为一种经典且广泛应用的温度测量工具，其准确性依赖于对其示值进行有效的修正。随着技术的进步，多种插值方法已被提出和应用于温度计修正值的计算，其中最常见的包括线性插值法和牛顿插值法。这些方法在不同的应用情境和数据特性下展现出各自的优势和局限性。线性插值法以其计算简便、直观易懂而被广泛应用，尤其适用于数据点间关系近似线性的情况。相比之下，牛顿插值法通过构建高阶多项式，提供了一种更为复杂但能够适应非线性数据的解决方案。

2 常用插值法概述

2.1 工作用玻璃液体温度计中常用的插值法

在工作用玻璃液体温度计的应用中，插值法发挥着至关重要的角色，以确保温度测量的准确性和可靠性。最常用的插值法包括线性插值法和牛顿插值法。线性插值法，以其计算简便和直观性著称，通过构建两个已知测量点之间的直线关系来估算中间点的值。这种方法在数据点相对密集且变化趋势线性时效果最佳。相比之下，牛顿插值法则是一种更为复杂但适用范围更广的方法，它利用差分表和多项式函数来近似数据点之间的关系，尤其适用于数据点间距不均匀或者需要高阶估计的情况。

2.2 线性插值法的原理与应用

（1）数学原理。线性插值法是一种基于直线方程的简单数学方法，广泛应用于估算两个已知数据点之间任意点的值。其核心原理是假设两个相邻数据点之间的变化呈线性关系，即这一区间内的数据可以通过一条直线准确地表示。具体来说，在线性插值中，假设有两个已知点（x0，y0）和（x1，y1），想要估算在这两点之间某一未知点(x对应的值y。线性插值法通过构造一个一阶多项式（即直线方程），来实现这一点。该直线方程可表示为：

（2）在温度计修正值计算中的应用及其局限性。线性插值法在温度计修正值计算中的应用是基于其能够有效估算在两个检定点之间温度值的原理。在实际应用中，温度计在特定的检定点（即已知温度值）下会被测试和检定，但在这些检定点之间的温度值通常是未知的。线性插值法在这里发挥作用，通过假设两个检定点之间的温度变化是线性的，即温度计读数与实际温度之间的关系可以通过直线方程表示。这种方法简化了温度计修正值的计算过程，只需使用两个最近的检定点来估算中间点的温度值。然而，这种方法的局限性在于，它假设了温度变化是均匀和线性的，这在实际情况中可能并不总是成立。特别是当温度计的温度响应曲线非线性或在两个检定点之间有显著变化时，线性插值法的准确性可能会受到影响。

2.3 牛顿插值法的原理与应用

（1）数学原理和计算过程。牛顿插值法是一种基于多项式逼近的差值方法，它在处理复杂数据集时尤其有效。该方法的核心是构建一个多项式，该多项式在一系列已知数据点上取确切的值。牛顿插值法的独特之处在于它使用了所谓的差分法，通过计算数据点之间的差值来构建多项式。具体来说，假设有一组数据点牛顿插值法首先计算这些点之间的一阶差分，然后是二阶差分，依此类推，直到计算出n阶差分。这些差分值用于构建插值多项式，形式为：

其中，a0，a1，…，an是根据差分计算得到的系数。这种方法的优势在于它可以灵活地适应任意数量的数据点，且当添加新的数据点时，不需要重新计算整个多项式，只需添加相应的新项即可。此外，牛顿插值法在处理非均匀分布的数据点时表现优异。然而，牛顿插值法的一个主要缺点是，当数据点数量增加时，多项式的度数也随之增加，这可能导致插值多项式在数据点之外的区域出现振荡现象，即所谓的龙格现象。因此，尽管牛顿插值法在计算灵活性和适应性方面具有明显优势，但在实际应用时需要仔细考虑数据点的分布和所需的插值精度。

（2）在温度计修正值计算中的优势和潜在问题。牛顿插值法在温度计修正值计算中的应用带来了明显的优势，尤其是在处理复杂或非线性温度响应曲线时。与线性插值法相比，牛顿插值法能更精确地适应温度计读数与实际温度之间复杂的关系，尤其是在检定点较多或温度计性能受到多种因素影响时。这种方法通过构建一个高阶多项式，能够更细致地模拟温度计的响应特性，从而在整个温度范围内提供更精确的修正值。此外，牛顿插值法的一个显著优势是其灵活性——当新增检定点时，不需要重新计算整个多项式，只需在现有多项式基础上增加相应项。然而，牛顿插值法也存在一些潜在问题。首先，随着检定点数量的增加，多项式的阶数也会增加，这可能导致在数据点外（即插值区间外）出现过度振荡的问题，即龙格现象，从而影响插值的准确性。其次，高阶多项式的计算相对复杂，可能需要更多的计算资源和时间。最后，这种方法在处理数据点间隔不一致或存在异常值时的稳定性可能不如某些其他插值方法。因此，在使用牛顿插值法计算温度计修正值时，需要权衡其精确度、计算复杂性以及适用的数据范围，以确保既能准确反映温度计的性能，又不会因多项式的复杂度而引入不必要的误差。

3 两种插值法的对比分析

3.1 实验设计

为了比较线性插值法和牛顿插值法在温度计修正值计算中的性能，可以设计一个实验，选取特定范围内的温度计和多个检定点进行分析。

（1）实验对象。选取一支测量范围为50～100 ℃、分度值为0.1 ℃的工作用玻璃液体温度计。

（2）检定点选择。在该温度计的检定证书中，选择45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃这6个温度点。这些点将作为插值计算的基础，因为它们分布在整个测量范围内，可以代表温度计在不同温度下的性能。

（3）插值点选择。在上述温度范围内，选取48℃、58 ℃、72 ℃、78 ℃和92 ℃共5个插值点作为研究对象。

（4）计算分析。对每个插值点，首先使用线性插值法进行计算。这需要找到每个插值点周围最近的两个检定点，并在这两点间构建直线方程来估算插值点的修正值。其次，应用牛顿插值法，这需要使用所有的检定点来构建一个多项式，然后利用这个多项式来估算插值点的修正值。

3.2 实际示值修正值时的准确性和适用性对比

在比较线性插值法和牛顿插值法在计算工作用玻璃液体温度计实际示值修正值时的准确性和适用性时，关键在于评估这两种方法在不同情况下的表现。线性插值法，以其简洁性和易于计算而闻名，假设相邻检定点之间的温度变化是线性的。这在检定点较近且温度变化呈线性趋势时非常有效，使其在快速估算和简单应用中极具吸引力。然而，这种方法在处理复杂或非线性的温度变化时，尤其是在检定点较远时，其准确性可能会下降。相比之下，牛顿插值法通过构建一个通过所有检定点的多项式，能够更精确地适应温度计的非线性响应。这在理论上可以提供更高的准确性，特别是在检定点分布不均或温度计响应特别复杂的情况下。

4 结果分析

4.1 计算结果

（1）线性插值法。线性插值法的关键在于找到每个插值点周围最近的两个检定点，并在这两点间构建一个直线方程来估算插值点的修正值。以插值点58℃为例，可以选取最接近的两个检定点，例如55 ℃和65 ℃。假设这两个检定点对应的修正值分别为y55和y65。然后，使用线性插值公式计算58 ℃的修正值：

这个公式基本上是找到55 ℃和65 ℃之间直线的斜率，然后用它来估算58 ℃的点在这条线上的位置。对于其他插值点（如48 ℃、72 ℃、78 ℃、92 ℃），重复相同的过程，每次选择最接近的两个检定点来构建直线方程。

（2）牛顿插值法。牛顿插值法则需要使用所有检定点来构建一个多项式，然后利用这个多项式来估算插值点的修正值。

首先，计算差分表。对于检定点45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃及其对应修正值，计算一阶、二阶直至五阶差分。其次，使用牛顿的插值多项式（2），例如，对于插值点58 ℃，将58代入上述多项式中，计算出该温度下的修正值。这个过程涉及更复杂的数学运算，尤其是当检定点数量较多时，计算结果如表1所示。

表1 两种插值法计算结果统计表

4.2 计算结果差异及原因分析

根据上述计算结果，可以看到线性插值法和牛顿插值法在不同插值点的修正值存在一定的差异。在接近检定点的情况下（如58 ℃），两种方法的修正值较为接近，这是因为当插值点离检定点较近时，线性插值法能够较好地近似实际值，而牛顿插值法在这些点上也能提供较高的准确度。然而，当插值点距离检定点较远时（如48 ℃和92 ℃），线性插值法的修正值与牛顿插值法出现较大差异。这主要是因为线性插值假设了检定点之间的变化是线性的，这在距离较远的插值点上可能不再适用，导致准确性下降。相比之下，牛顿插值法利用所有检定点构建更复杂的多项式，能够更好地适应数据的整体趋势，特别是在非线性变化较显著的情况下。

4.3 实际应用的插值方法优选

在实际应用中选择合适的插值方法时，首先，需要考虑的是数据本身的特性和所需的准确度。如果数据点之间的关系接近线性，或者插值点非常靠近已知数据点，线性插值法通常是一个简单且有效的选择。这种方法的计算过程简单快速，特别适合于需要快速响应或资源有限的场景，如在一些实时系统或简单的工程应用中。

其次，当数据呈现复杂或非线性特征，或者需要在较广的数据范围内进行插值时，牛顿插值法或其他高级插值方法可能更为适合。牛顿插值法尤其适用于数据点分布不均或者当插值点距离已知数据点较远时，因为它能更好地捕捉数据的整体趋势和细微变化。但同时，也要意识到这种方法计算上更为复杂，可能需要更多的时间和计算资源。在选择插值方法时，还应考虑实际操作的便利性和可行性。例如，在一些需要快速且频繁计算的应用中，过于复杂的计算方法可能不太实际，即使它们在理论上提供更高的准确性。

再次，实际应用中的数据质量和可用性也是重要考虑因素。如果数据存在噪声或误差，高阶插值方法可能会放大这些误差，导致不稳定的结果。在这种情况下，选择一种更稳健的方法，如线性插值，可能更为恰当。还需要考虑数据的获取成本和频率。

最后，还需要考虑应用的特定需求，例如时间敏感度、计算资源的可用性以及预期的结果精度。在一些要求快速响应的应用中，如实时监控系统，快速而简单的线性插值可能更为适用。而在科研或工程设计等领域，精度非常重要且可以容忍更长的计算时间，复杂的插值方法如牛顿插值可能更合适。

总之，选择最合适的插值方法需要综合考虑数据特性、应用需求、计算资源和精度要求，从而在实际性和精确度之间找到最佳平衡。

5 结语

综上所述，通过对线性插值法和牛顿插值法在玻璃液体温度计修正值计算中的准确性和适用性进行比较分析。研究表明，虽然线性插值法因其简单性和计算效率在一些情况下非常有效，但在处理复杂或非线性数据时，其准确度可能受限。相比之下，牛顿插值法能够更精确地适应复杂的温度响应曲线，尽管它的计算过程更为复杂。因此，选择哪种插值方法应基于数据特性、准确性需求和实际操作的便利性，以在实际性和精确度之间找到最佳平衡。