考虑测量约束的非合作目标近距离快速导引控制方法

韩 月，曹 静，王 鑫，王 勇，何雨帆，孙守明

（宇航动力学国家重点实验室，陕西 西安 710000）

0 引言

近年来，随着航天技术的飞速发展，航天产业的高投入、高风险等特性也日渐突显。例如，航天器发生故障或燃料提前耗尽将严重影响其任务效益，并带来巨大的经济损失；废弃航天器不仅占用宝贵的轨位资源，还影响其他在轨航天器的安全运行［1］。为此，在轨卫星的故障维修、燃料加注、辅助机动及在轨制造与组装等在轨服务会逐渐成为航天领域的研究热点［2-4］。

在轨服务任务过程中，经常涉及追踪航天器快速导引至非合作目标的需求，如何设计有效可行的控制算法是一项关键技术。由于Clohessy-Wiltshire（C-W）方程有解析解，且形式简单，便于定性、定量分析和控制规律设计，因此在近程导引段通常采用C-W 制导。文献［6］提出了基于C-W 方程的多脉冲交会策略，并通过遗传算法进一步提高了控制精度。文献［7］研究了等时间间隔多脉冲制导方法，并且针对近程导引段，基于C-W 方程设计了闭环多脉冲制导与控制策略。文献［8］基于C-W 方程，将飞行时间和燃料消耗等性能指标作为控制约束，为近距离观测目标的最后逼近段设计了最优控制方案。考虑到实际应用过程中，卫星上各种测量设备均有视场约束，而在近程导引段撤离或逼近时，为满足卫星轨迹安全性要求，需要对卫星各种状态进行监视，这就要求卫星运动轨迹尽量保持在测量设备视场范围内［9］。文献［10］研究了基于C-W方程的滑移制导律，但是此算法没有考虑视场约束。文献［11］采用几何方法推导了视场角计算公式，从相对运动和绝对运动两个方面对接近段Vbar 的机动进行了分析。文献［12］在视场角约束下，采用解析和数值相结合的方法研究了交会对接Vbar 撤离的径向控制问题，但是该方法仅适应于机动点位于V-bar 上的特定情况下的近距离控制。

本文针对追踪星接近非合作目标时突发情况多、初始条件不确定等问题，对任意初始条件下径切联合控制双脉冲与视场角的解析关系，以及径切联合控制双脉冲控后效果评估方法进行研究，希望相关理论能为工程中追踪星接近非合作目标的近距离导引控制提供参考。

1 相对运动模型

定义在轨服务卫星为追踪星（Chaser），被服务卫星为目标星（Target）。以目标星轨道坐标系LVLH 为参考坐标系，原点在目标星的质心，3 个坐标轴分别为目标星所在轨道面的径向、切向和法向，如图1 所示。若目标星的位置速度分别为RT、，定义角动量h=RT×，则这3 轴的单位矢量可以表示为

图1 相对运动关系（LVLH 坐标系）Fig.1 Schematic diagram of the relative motion relationship（LVLH coordinate system）

假设双星运行在近圆轨道上，考虑到近距离快速导引的需求，可以以经典的C-W 方程为动力学模型：

式中：n为轨道平均角速度；x、y、z为追踪星相对于目标星的位置矢量在目标星轨道坐标系中的投影。

2 考虑测量角度约束的非合作目标近程导引控制方法

考虑到C-W 方程为线性微分方程，其解析解如下：

式中：x0、y0、z0和分别为初始相对位置和速度；t为转移时间。

假设初始时刻的相对位置速度为[r0v0]T，终端时刻的的相对位置速度为[r1v1]T，初始和终端施加的两脉冲矢量分别为Δv0和Δv1，则

式中：为第1 脉冲施加后的速度矢量；为第2 脉冲施加前的速度矢量。

式（3）整理后可得：

如果给定任意的相对位置速度，在时间较短的情况下，可以采用C-W 制导方法设计近距离导引控制策略。每次的脉冲大小的递推计算公式为

从原理上来讲，两组径切法3 个方向的脉冲实现任意相对位置的转移。针对追踪星接近非合作目标时突发情况多、初始条件不确定等问题。假设初始相对状态任意，考虑到面内外控制是解耦的［13-16］，本文只涉及面内控制策略设计方法。由于近距离快速导引控制过程中还需考虑测量角度约束，避免两脉冲之间的相对运动轨迹出观测视场。下面讨论2 种情况。

1）已知脉冲大小求解视场角。初始时刻施加径切脉冲（Δv0=-v0）后，追踪星在轨道面内的相对状态为，根据式（5），轨迹上任意点对目标星的视线斜率为

通过对上式求导，如式（11）可表示为

确定导数为0 的点，即为视线上斜率最大的点：

求解式（13），即可得到满足视线约束的转移时间，相对轨迹如图2 所示。由于式（13）为非线性方程，利用解析法难以求解，可以采用数值的方式进行求解。求解出最大视场角对应的时刻t后，代入式（10）就可求出最大视场角。

图2 基于视场约束的相对运动Fig.2 Schematic diagram of the relative movement based on the view field constraints

2）已知视场角约束求解满足视场角约束的脉冲大小。假设最大视场角为α，联立式（10）和式（11）可以求得两组解，分别如下：

其中：

在已知视场角约束的情况下，只要已知最大视场角时刻，可由式（14）直接求出要求允许的最大脉冲：

考虑到式（15）与视场角无关，因此为无效解。

上述模型是基于线性模型计算的，而在实际应用中需考虑轨道摄动，因此必须对上述计算结果进行修正，利用微分修正可以获得摄动条件下满足约束条件的径切联合双脉冲控制参数。微分修正的目标是通过不断调整优化变量，从而使目标逐渐达到期望值［17-20］。追踪星的终端状态为目标参数，双脉冲控制参数为优化变量，则有如式（17）非线性函数。

式中：f1、f2、f3、f4分别为Δv0x、Δv0y、Δv1x、Δv1y的函数。

式中：J为雅克比矩阵，其中

在初始条件下，对追踪星施加修正后的双脉冲控制参数Δvb，看是否满足追踪星终端状态，不满足时在此基础上加微小的摄动δ，使得追踪星的终端状态不断地逼近真实的终端状态，最终获得修正后的双脉冲控制参数。

3 基于相对偏心率矢量的径切联合控制控后效果评估

在实际应用过程中，由于轨控发动机受在轨运行条件和环境等因素的影响，发动机的推力大小存在一定的偏差［21-24］。因此，为提高控制精度，每次控后都需对控后效果进行评估，当次标定结果可作为下次控制的参考，据此可对点火时长进行修正，从而达到更精确的控制效果。因此，本文提出了一种径切联合控制的控后效果评估方法。

这里以GEO 轨道卫星为例，建立径切联合控制控后标定模型。根据径切脉冲对偏心率矢量的影响，分析控后轨道的偏心率矢量的变化［19］：

进一步根据式（9）计算实际控制量：

根据实际速度增量和理论速度增量进一步计算标定系数：

式中：Δvx和Δvy为理论控制量，根据本文第2 节计算得到。

式（23）得到的标定系数可以作为控后效果评估的准则，能够为后续径切联合控制的实施提供参考。

4 仿真算例

4.1 基于C-W 方程的径切联合控制算例

以地球同步卫星为例，参数设置如下：目标星运行在同步带上方1 km，追踪星相对目标星的初始位置为[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度为[0 0 0]T，终端位置 为[0 10 000 m 0]T，终 端速度为[1 m·s-10 0]T，2 次脉冲机动可达到预期位置和速度，整个过程机动时间为10 800 s。径切联控算法得到需要的2 次脉冲序列见表1。

表1 脉冲序列Tab.1 Impulse sequence 单位：m/s

追踪星达到预定的相对位置如图3 所示，此方法可以一步到位直接机动到指定位置，能够使追踪星与目标星的相对位置达到预期，表明基于C-W 方程的径切联合控制算法是有效的。

图3 相对状态变量随时间的变化曲线Fig.3 Variation curve of the relative motion states with time

4.2 考虑测量约束的径切联合控制算例

目标星运行在同步带上方1 km，追踪星相对目标星的初始位置为[0.110 m 13 969 m 0]T，初始速度为[0 0 0]T，终端位置为[200 m 20 000 m 0]T，终端速度为[1 m·s-10 0]T。

图4 基于视场约束的轨迹Fig.4 Trajectory diagram based on the view field constraints

已知追踪星相对于目标性的初始位置[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度为[0 0 0]T，以及轨迹的最大视线角α=-15°。

通过式（10）和式（11）可以计算出施加脉冲后追踪星在目标星轨道面内的相对状态，分别为

图5 满足计算条件的2 种轨迹Fig.5 Two kinds of trajectories satisfying the calculation conditions

4.3 基于相对偏心率矢量的径切联合控制标定算例

已知点火时刻轨道、理论熄火点轨道、实际熄火点轨道见表2，轨道历元为北京时间2022 年3 月21 日12 点整，理论速度增量在LVLH 坐标下的情况见表3。

表2 控前控后轨道根数Tab.2 Orbital elements before and after control

表3 标定系数Tab.3 Calibration coefficients 单位：m/s

由初始轨道和实际熄火点轨道，根据式（21）可以求得实际的径向速度增量和切向速度增量，进一步计算标定系数见表3，由此验证了本文提出的径切联合控制标定方法是可行的。

5 结束语

本文以在轨服务任务为背景，针对追踪星接近非合作目标时突发情况多、初始条件不确定等问题，基于C-W 方程提出了一种考虑测量约束的非合作目标近距离径切联合导引控制方法。先给出了在任意初始条件下视场角与脉冲之间的解析解；然后基于相对偏心率矢量建立了径切联合控制的控后效果评估模型；最后有针对性地进行了仿真验证。结果表明，所提方法可达预期。