带色散的四阶抛物型方程的紧致差分格式

李冉冉,王红玉,开依沙尔·热合曼

(新疆大学 数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)

带色散的四阶抛物型方程是色散方程与四阶抛物型方程的结合,在扩散、渗流、热传导等领域得到广泛应用。在过去的几十年里,研究者们对该类抛物型偏微分方程进行了大量的理论和数值研究,由于带色散的四阶抛物型方程的精确解一般不容易得到,因此相关的数值处理引起了许多学者的关注。因此,对带色散的四阶抛物型方程构造高精度稳定的数值格式是非常重要的问题之一。

本研究考虑如下一维带色散的四阶抛物型方程的初边值问题:

(1)

式中:α、β为常系数且不同时为零,f、g1、g2为已知充分光滑的函数,u为待求未知量。

三阶、四阶空间导数项常见于复杂的偏微分方程,如KdV方程、RLW方程、Kuramoto-Sivashinsky方程等,因而许多学者对包含高阶导数项的偏微分方程的数值格式进行了研究[1-11]。文献[1]用局部间断Petrov-Galerkin和TVDRK3方法求解了非线性色散方程;文献[2]对该类方程构造了时间方向上具有二阶精度、空间方向上具有四阶精度的差分格式;文献[3]针对KdV方程的初边值问题构造了时间和空间方向上都具有二阶精度的差分格式;文献[4]提出一种求解广义Rosenau-KdV方程的有限差分方法,数值结果表明该方法在时间和空间方向上分别达到了二阶和四阶的精度;文献[5]提出一种时间二阶精度、空间四阶精度的差分格式来求解Rosenau-KdV-RLW方程;文献[6]结合四阶差分格式和TVDRK3方法求解了Kuramoto-Sivashinsky方程,文献[7]对该类方程构造了时间二阶精度、空间四阶精度的差分格式;文献[8-12]给出色散方程和四阶抛物型方程的各种数值方法,不过这些数值方法仅适用于周期边界条件;文献[13]给出了两点边值问题的四阶紧致差分格式,文献[14-15]将该格式应用到了Burgers方程的数值模拟中;文献[16]对双曲型电信方程的空间变量用四阶紧致差分格式,时间变量采用三次Hermite插值法,提出求解该方程的四阶精度的格式。本研究结合四阶紧致差分格式和三次Hermite插值法,构造出带色散的四阶抛物型方程的时间空间都具有四阶精度的无条件稳定的差分格式。

1 空间离散

(2)

将式(2)写作矩阵形式:

LxU′=MxU+b1。

(3)

(4)

式(4)写作矩阵形式:

LxxU″=MxxU+b2。

(5)

利用式(3)和式(5),空间变量的三阶、四阶导数的近似有:

(6)

(7)

将式(6)和式(7)代入方程(1),得到常微分方程组:

(8)

2 三次Hermite插值法

三次Hermite插值多项式Q(x)可以写成[17]:

Q(x)=w(x0)v0(x)+w(x1)v1(x)+w′(x0)V0(x)+w′(x1)V1(x)。

在下列定理1中,给出了三次Hermite插值的误差。

定理1[17]设有两个不同的点x0、x1,且w∈C4[x0,x1]。如果Q(x)是三次Hermite插值多项式,则在区间[x0,x1]中的每个x都对应于[x0,x1]中的一个点η,有

(9)

根据等式(9)和定理1,可以得到积分公式:

(10)

常微分方程(8)应用三次Hermite插值法(10),则在Dirichlet边界下的带色散的四阶抛物型方程(1)的差分格式:

(11)

因此,式(1)的差分格式为:

(12)

3 稳定性分析

(13)

将式(13)代入格式(12),有

显然S2≥0,因此|ξ|≤1,表明使用式(6)和式(7)近似式(1),格式(12)是无条件稳定的。

4 数值实验

为了验证本研究格式的可靠性,用所提方法进行数值计算,给出数值算例的各种误差及收敛阶。其中,L∞、L2误差和收敛阶的定义如下。

数值例子1色散方程

表1中给出色散方程在不同Δx、Δt下,当T=2时的格式(12)的L∞、L2误差和收敛阶。从数值结果可以看出该格式在空间和时间方向上都达到了预期的四阶精度。表2针对色散方程在T=2,Δx=1/40下,给出不同Δt时L2误差和收敛阶对比。可以看出,当空间变量离散为式(8),时间变量离散为Crank-Nicolson格式时时间方向只有二阶精度,本研究格式可以达到四阶精度,且具有更小的误差。

表1 T=2时不同Δx、Δt时的L∞、L2误差和收敛阶

表2 T=2、Δx=1/40,不同Δt时的L2误差和收敛阶比较

数值例子2四阶抛物型方程

表3给出四阶抛物型方程在不同Δx、Δt下,当T=8时的本研究格式(12)的L∞、L2误差和收敛阶。结果表明该格式在空间和时间方向上都具有四阶精度,这与格式的理论结果相吻合。表4中对该方程给出空间变量离散为式(8),时间变量离散为Crank-Nicolson格式和本研究格式(12)的L2误差及时间方向收敛阶的对比,数值结果表明三次Hermite插值法比Crank-Nicolson更具有精确性。

表3 T=8时不同Δx、Δt时的L∞、L2误差和收敛阶

表4 T=4、Δx=1/10,不同Δt时的L2误差和收敛阶比较

数值例子3带色散的四阶抛物型方程

表5中给出了带色散的四阶抛物型方程在不同Δx下,当T=1时刻的本研究格式(12)上的L∞、L2误差及其收敛阶。从数值结果可以看出,该格式在空间方向上达到四阶精度,且随着Δx的减小,计算结果更精确。表6中给出空间变量离散为式(8)、时间变量离散为Crank-Nicolson格式和本研究格式(12)的L2误差及时间方向收敛阶的比较,数值结果表明本研究格式的L2误差比Crank-Nicolson格式小2～4个数量级,说明研究的格式具有更高的精度。

表5 T=1、Δt=Δx,不同Δx时的L∞、L2误差和收敛阶

表6 T=1、Δx=1/10,不同Δt时的L2误差和收敛阶比较

5 结论

本研究针对具有Dirichlet边界条件的带色散的四阶抛物型方程,空间的三阶导数项和四阶导数项用四阶精度紧致格式离散,时间方向利用三次Hermite插值法,构造出一种时间空间同时具有四阶精度的无条件稳定的差分格式,用傅里叶方法证明了所提格式的无条件稳定性。数值实验中采用本格式分别计算了色散方程、四阶抛物型方程、带色散的四阶抛物型方程等三种类型方程的算例,并与该三类方程的Crank-Nicolson格式进行了数值比较,结果表明本研究格式比Crank-Nicolson格式更具有精确性。从表1、表3、表5可知,本格式在空间方向上达到了四阶的精度;从表2、表4、表6可知,本格式在时间方向上也达到了四阶精度,数值结果与理论相符合。另外,该格式可以通过利用局部一维化方法推广到二维和三维带色散的四阶抛物型方程问题的数值计算上。