板结构多模态动力吸振设计方法

彭 磊, 邓子伟, 刘 鹏, 孙启航, 张保成

(中国海洋大学 工程学院 机电工程系, 山东 青岛 266404)

0 引 言

海洋平台的振动噪声会影响平台的安全性和工作人员的舒适性，对平台的正常作业带来多方面的挑战，如何有效实现平台的减振降噪是当前专家学者广泛关注的问题[1]。海洋平台是由船体外板、甲板、舱壁等组成的复杂板架结构，进行板结构的振动控制研究，有助于化繁为简地探索平台复杂多模态的振动演化机制。

针对平台舱室、甲板等板结构常用的减振方法有加筋加肋[2]、敷设阻尼材料[3]、安装动力吸振器[4]等。加筋加肋可改善结构频率达到频率避让的目的，但改善结构的处理方式仅能调节结构的频率，结构的共振特性仍然存在，对于宽频能量引起的振动存在局限性。敷设黏弹性阻尼材料可耗散振动能量、明显降低结构共振峰的响应，但阻尼材料的减振性能与模态应变能相关，对低阶模态振动的抑制效果并不理想[5]。动力吸振器具有结构简单、可靠性强、无需外界能源等优点，应用更为广泛。ZHU等[6]研究抑制薄板振动的分布式动力吸振器的参数优化问题，推导得到分布式动力吸振器的参数优化公式，在此基础上采用分布式吸振器对薄板前三阶模态进行振动控制。王克肖等[7]推导附加动力吸振器的薄板结构声辐射效率计算方法，研究动力吸振器对薄板声辐射效率的调控作用。高聪等[8]针对海洋平台上层建筑低频线谱的振动控制难题，以海洋平台板架结构为例研究分布式动力吸振器的布放位置、数量对减振效果的影响规律。然而海洋平台中的板结构大多为对称结构，存在频率相同或相近的密集模态，目前对密集模态主导的多个模态耦合振动的吸振研究较少，关于动力吸振器设计方法的系统性研究还不够深入。

本文基于上述研究中存在的不足，建立薄板与动力吸振器的耦合模型，从理论上研究动力吸振器的质量比、阻尼比、频率比和安装位置等4个参数的设计问题。在此基础上，形成一套用于板结构多模态减振的动力吸振器设计方法，将该方法应用于舱室模型的振动控制，获得的仿真结果可验证平台板结构动力吸振方法的有效性。

1 理论分析

1.1 分析模型

薄板与单个动力吸振器耦合的系统模型如图1所示。

图1 安装动力吸振器的薄板模型

薄板受到简谐激励f(t)，动力吸振器的质量、阻尼和刚度分别为m1、c1和k1。根据结构动力学，该系统的运动方程为

(1)

式中：M、C、K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；x(t)为系统的振动位移。激励力向量F(t)的表达式为

(2)

式中：Φ=[φ1(x，y)，φ2(x，y)，φ3(x，y)，…，φJ(x，y)]T为薄板的模态振型向量，其中J为薄板参与振动的模态数量。

当一个结构的振动模态在目标频率范围内可很好地分离时，振动响应通常由单个模态控制[9]。假设薄板的振动响应由其第i阶模态控制，这时系统的运动方程可简化为

(3)

式中：Mi、Ci、Ki分别为薄板第i阶模态的模态质量、模态阻尼和模态刚度；m1、c1、k1分别为动力吸振器的质量、阻尼和刚度；x1为动力吸振器的位移；φi为薄板第i阶模态的振型；φil为薄板第i阶模态振型在动力吸振器安装位置处的幅值。

将式(3)进行拉普拉斯变换并求解得到第i阶模态位移响应的复振幅为

(4)

式中：Xi(s)为xi(t)的拉普拉斯变换；Fi，g(s)=φiF(s)为广义力在第i阶模态的分量，其中F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

令s=jω，其中ω为激励力频率。整理可以得到位移频响函数为

(5)

对式(5)求导可得到速度响应和加速度响应的频响函数为

(6)

为便于研究，引入5个无量纲参数：

(7)

式中：μ为动力吸振器质量与薄板第i阶模态的模态质量之比；f为动力吸振器频率与薄板第i阶模态固有频率的比值；g为激励力频率与薄板第i阶模态固有频率的比值；ζi为薄板第i阶模态的阻尼比；ζk为动力吸振器的阻尼比；ω1为动力吸振器的固有频率；ωi为薄板第i阶模态的固有频率。

将式(7)代入式(5)和式(6)，位移、速度和加速度分别用下角标di、ve和ac区分，得到第i阶模态3个响应量的归一化频响函数分别为

(8)

式中：

(9)

1.2 动力吸振器最优参数

动力吸振器的减振性能与其参数密切相关，安装在连续结构上的动力吸振器共有4个参数需要设计，分别是动力吸振器的质量、阻尼、刚度和安装位置。其中，质量根据主系统的质量来选定，通常指定为与主系统质量的比值，表示为质量比μ。质量确定后，刚度可由动力吸振器的固有频率得到，频率指定为与主系统固有频率的比值，表示为频率比f。阻尼则以临界阻尼比ζk表示。质量比、阻尼比和频率比的表达式在式(7)中已给出。

(1)动力吸振器的安装位置。为便于讨论，忽略薄板的阻尼。未安装动力吸振器时，薄板的位移频响函数为

(10)

式中：KP和MP分别为薄板的刚度矩阵和质量矩阵，表达式分别为

(11)

根据式(11)，式(10)还可写为

(12)

安装动力吸振器后，薄板的位移频响函数为

(13)

式中：m1、k1、c1分别为动力吸振器的质量、刚度和阻尼；(xa，ya)为动力吸振器安装位置的坐标。

根据式(10)和式(12)，式(13)可重新写为

(14)

式中：ωa为动力吸振器的频率。

将薄板第i阶模态作为目标模态，假设ωi-1、ωi和ωi+1为相邻模态的固有频率。若ωi-1、ωi和ωi+1的值相差较大，当激励力频率ω在ωi附近时，有：

(15)

保持其他参数不变，薄板的振动响应由第i阶模态主导，目标频率处的振动不受其他模态的影响，这时第i阶模态为离散模态。对于离散模态，动力吸振器安装在目标模态振型的幅值最大点效果最佳[10]。

若ωi-1、ωi和ωi+1的值相近，则3个模态为密集模态，当激励力频率ω在ωi附近时，有：

(16)

这时薄板的振动响应由3个密集模态共同主导，仅针对第i阶模态设置吸振器，吸振器也会与其他两阶模态耦合振动，又由于振型的不同，动力吸振器的参数对于其他两阶模态不是最优参数，会产生不利振动，导致达不到理想的减振效果。

当薄板包含阻尼时，安装动力吸振器的薄板的位移频响函数为

(17)

这时薄板的模态为复模态，阻尼的引入并不会影响薄板的固有频率，可用极点的虚部近似固有频率，上述结论仍然适用于阻尼薄板[11]。

(2)质量比的选定。已有研究[12]表明质量比越大，动力吸振器的减振性能越强。但质量比并非越大越好，随着质量比的增大，主系统响应降低的幅度有限，在设计质量比时需要综合考虑吸振性能与经济性。

(3)频率比和阻尼比。这2个参数可通过优化设计公式得到，位移和加速度是平台减振常用的目标响应量，吸振的目标函数为

(18)

当位移为目标响应量时，最优频率比和最优阻尼比的优化公式[13]分别为

(19)

和

(20)

当加速度为目标响应量时，最优频率比和最优阻尼比的优化公式[13]分别为

(21)

和

(22)

2 板结构动力吸振方法

根据第1节的研究对板结构动力吸振方法的流程进行总结，该方法可分为振动特性分析、受控模态与目标响应量确定、动力吸振器的安装位置和数量确定、动力吸振器最优参数确定、吸振效果验证以及补正设计共6个步骤。动力吸振器设计方法的流程图如图2所示。

图2 板结构动力吸振方法流程图

各个步骤的说明如下：

(1)振动特性分析。振动特性分析是对板结构的自由振动和受迫振动进行分析。自由振动分析是为了得到板结构的固有频率、模态振型和模态质量等模态参数。受迫振动分析是根据板结构实际工况施加激励力，确定考核区域得到板结构的频响曲线，获得结构的动态振动特性。

(2)受控模态与目标响应量确定。在受迫振动特性分析的基础上，根据实际振动控制要求，确定待控制的目标模态和响应量。响应量包括位移、速度和加速度等3种。平台通常选择位移和加速度作为目标响应量。其中：位移响应会导致结构的疲劳、变形、碰撞或断裂；加速度响应则与人体舒适度相关。

(3)动力吸振器的安装位置和数量确定。对于离散模态，应选择目标模态的振型幅值最大点作为动力吸振器的安装位置。对于密集模态，吸振器的最佳安装位置应使目标模态的振型幅值尽可能大，使其他频率相近模态的振型幅值尽可能小。动力吸振器的数量由其安装位置决定。

(4)动力吸振器最优参数确定。动力吸振器的安装位置确定后，还差动力吸振器的质量、频率和阻尼即可得到所需动力吸振器的全部参数。吸振器的常用质量比范围为0～0.2[14]，频率比和阻尼比可通过优化设计公式计算得到。

(5)吸振效果验证。设计完动力吸振器后需要通过数值计算或有限元仿真对吸振器的减振结果进行检验，若吸振效果不理想则需要后续的补正设计。

(6)补正设计。补正设计是在现有动力吸振器的基础上对其参数进行调整，先对比附加吸振器后形成的2个共振峰的相对偏差：若吸振器2个共振峰相对偏差较小，需要增大吸振器的质量；若吸振器2个共振峰相对偏差较大，对动力吸振器的频率比和阻尼比进行调整可提升减振效果。频率比的增大会使2个共振峰中低阶的共振峰增大，使高阶的共振峰减小；频率比的减小会使高阶的共振峰增大，使低阶的共振峰减小；阻尼比的增大会降低2个共振峰的峰值，但会降低2个共振峰之间频带的减振效果[15]。可根据此规律对2个共振峰进行调整。

3 舱室动力吸振应用

第2节对板结构中动力吸振器的设计流程进行总结，形成了板结构动力吸振方法。因此，基于该方法，以一个舱室模型为具体应用对象，通过对舱室的舱壁进行振动控制来验证其有效性。

3.1 舱室模型

舱室的结构形式参考文献[3]，舱室的整体尺寸为长3.0 m、宽2.7 m、高2.5 m。舱壁的厚度为0.006 m。在舱室的6个舱壁内面采用加强肋结构。加强肋的高度为0.1 m，其截面为0.1 m×0.01 m的矩形。加强肋的尺寸和分布如图3所示。

图3 舱室内部加强肋的尺寸和分布

按照上述尺寸进行建模，舱室模型如图4所示。舱室材料均选用结构钢，弹性模量E=2×1011Pa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3。舱室的阻尼比设置为0.01。

图4 舱室模型

3.2 舱室振动特性分析

对舱室的自由振动进行分析。单元尺寸设置为0.1 m，舱室有限元模型共包含单元50 610个。舱室底部设置固定支撑。分析得到舱室前6阶模态的固有频率和振型如图5所示。

图5 舱室前6阶自由振动模态及振型

将舱室顶部的壁板作为振动考察区域，对顶部舱壁的受迫振动进行分析。在顶部舱壁的法线方向施加大小为1 000 N的简谐激励力。由于舱室前6阶模态的频率都在50 Hz以内，因此在0～50 Hz范围内对激励力进行扫频，扫频间隔为0.2 Hz。激励点和考核点位置如图6所示。

图6 激励点和考核点在顶部舱壁的位置

考核点的频响曲线如图7所示，共有5个共振峰，即有5阶模态参与了振动。根据自由振动的分析结果，这5阶模态分别为第一、二、四、五、六阶模态。由于考核点和激励点在第三阶模态振型的节线上，因此没有激发第三阶模态的振动。在参与振动的5阶模态中，第一、五、六阶模态的共振峰相距较远，可视作离散模态。第二、四阶频率相近，是密集模态。下文根据板结构动力吸振方法设计动力吸振器对参与振动的5阶模态进行振动控制。

图7 舱壁考核点频响曲线

3.3 动力吸振器设计及吸振效果验证

先确定吸振器的安装位置。第一、五、六阶模态为离散模态，因此吸振器安装在各自模态的振型幅值最大点。第二、四阶模态为密集模态，针对其中一阶模态的吸振器的安装位置应尽可能避开另一阶模态的影响。综合分析设置吸振的安装位置如图8所示。针对第一、二、四、五、六阶模态的动力吸振器分别为DVA1、DVA2、DVA4、DVA5和DVA6。

图8 动力吸振器安装位置

安装位置确定后，计算动力吸振器的最优参数还需要目标模态的模态质量和动力吸振器安装位置处目标模态振型的幅值大小。模态质量和振型幅值可在自由振动分析中得到。吸振器的质量、数量以及根据参数设计公式得到的吸振器刚度和阻尼如表1所示。

表1 动力吸振器最优参数

安装动力吸振器前后，舱壁振动的频率响应对比曲线如图9所示。第一阶模态的位移响应降低90.6%(从11.24 mm至1.05 mm)，加速度响应降低92.2%(从214.70 m/s2至16.62 m/s2)。第二阶模态的位移响应降低35.9%(从1.03 mm至0.66 mm)，加速度响应降低32.4%(从31.73 m/s2至21.44 m/s2)。第四阶模态的位移响应降低61.2%(从1.70 mm至0.66 mm)，加速度响应降低63.4%(从58.63 m/s2至21.44 m/s2)。第五阶模态的位移响应降低51.5%(从0.66 mm至0.32 mm)，加速度响应降低48.3%(从34.71 m/s2至17.95 m/s2)。第六阶模态的位移响应降低89.7%(从5.61 mm至0.58 mm)，加速度响应降低88.9%(从488.90 m/s2至54.25 m/s2)。由结果可知，采用本方法设计的动力吸振器取得了理想的减振效果，有效控制舱壁多个模态的振动。尤其是第二、四阶模态所处的频段，动力吸振器在抑制2个共振峰振动的同时并没有引发其他不良振动，这验证了所总结的板结构动力吸振方法的有效性。

图9 舱壁减振前后频率响应对比曲线

3.4 补正设计

在第3.3节中，所设计的动力吸振器取得了良好的减振效果，如果想要提升减振效果，可对动力吸振器进行补正设计，通过调整动力吸振器的参数来提升其吸振性能。以第一阶和第五阶模态的位移响应为例进行说明。

由图9(a)可知，第一阶和第五阶模态新产生的共振峰并非等高，第一阶模态的左侧共振峰偏高，第五阶模态的右侧共振峰偏高。这是由于针对第一阶和第五阶模态的动力吸振器安装位置相同，且安装位置都为各自模态振型的幅值最大点。尽管两者为离散模态，但动力吸振器相对非目标模态相当于一个附加质量，会影响舱室的模态，从而导致2个共振峰的高度不同。此外，第五阶模态参与振动的程度小，其共振峰较低，右侧非共振峰处的振动也会对其产生影响，这也是其右侧共振峰偏高的原因。

根据补正设计方法，调节频率比可调整2个共振峰的相对大小：对于第一阶模态，动力吸振器的频率比应减小；对于第五阶模态，动力吸振器的频率比应增大。补正后动力吸振器的参数如表2所示。

表2 补正后的动力吸振器参数

补正前后减振效果的对比如图10所示。第一阶和第五阶模态的位移响应分别降低91.5%(从11.24 mm至0.95 mm)和57.6%(从0.66 mm至0.28 mm)。对比补正前的动力吸振器，减振效果分别提升0.9个百分点和6.1个百分点，由此可见，通过补正设计可在一定程度上提高动力吸振器的减振效果。

图10 补正设计前后减振效果对比

4 结 论

根据板结构的频响公式从理论上探讨多个模态耦合振动时动力吸振器的最佳安装位置，分析动力吸振器质量比的设计问题，给出动力吸振器阻尼比和频率比的优化设计公式，形成一套用于板结构减振的动力吸振器的设计方法，该方法共有6个步骤，分别是：振动特性分析、受控模态与目标响应确定、动力吸振器的安装位置和数量确定、吸振器最优参数确定、吸振效果验证、补正设计。将该方法应用于舱室模型的振动控制，相关结论如下：

(1)动力吸振器对密集模态的振动抑制效果差是因为这时振动响应由多个模态共同主导。吸振器的最佳安装位置应使目标模态振型的幅值尽可能大，使其他模态振型的幅值尽可能小。

(2)在舱壁的减振控制中，第一阶模态减振效果最佳，其位移和加速度响应分别降低90.6%和92.2%。这验证了所总结的板结构动力吸振方法的有效性。

(3)对动力吸振器进行补正设计后，针对舱壁第一阶和第五阶模态位移响应的减振效果分别提升0.9个百分点和6.1个百分点，补正设计可提升动力吸振器的性能。