大跨度桥梁非线性颤振理论与试验研究

李 凯，蔡春声，韩 艳，宋 俊

(1.长沙理工大学土木工程学院，长沙 410114；2.西北工业大学航空学院，西安 710072；3.东南大学交通学院，南京 211189)

颤振是一种可能导致桥梁倒塌的发散性自激振动，因此是大跨桥梁和超大跨桥梁设计的控制性因素之一。自从1940 年美国旧Tacoma 大桥因颤振发生风毁后，桥梁颤振问题受到了国内外土木工程界和力学界的高度重视，并经过几十年的研究发展出了较为完善的线性颤振设防理论体系而被广泛应用至今[1-8]。线性颤振设防理论保证了几十年来国内外几十座超大跨桥梁的成功建成，如主跨1280 m 的金门大桥、主跨1991 m 的明石海峡大桥、主跨1650 m 的西堠门大桥、主跨1688 m的虎门二桥、主跨1700 m 的杨泗港大桥和主跨2023 m 的1915 恰纳卡莱大桥等。然而，随着桥梁跨度的进一步增长，从线性颤振设防理论出发，完全避免大跨桥梁在设计风速范围内进入颤振已经越来越难特别是在台风易发地区建造的超大跨径跨海桥梁，颤振检验风速通常很高，有的超过85 m/s，甚至 90 m/s[9]。可见，颤振设防已成为限制大跨桥梁跨径进一步发展的瓶颈问题。此外，为满足线性颤振设防要求，部分已建超大跨桥梁也支付了巨额的设计建造成本[10-11]。

近年来，越来越多的学者通过风洞试验或数值模拟研究发现，许多桥梁断面的颤振并不是如线性颤振理论预测的那样骤然发散的，而是在相当长的风速范围内表现为自限幅的极限环振动，稳态振幅随风速的增加而缓慢增加[11-17]，国内外学者称其为“软颤振”。“软颤振”是相对线性颤振理论中的发散性“硬颤振”而提出来的，它是一种现象层面的描述，航空领域通常称其为“极限环颤振”[18]，其本质是由各种非线性因素(结构/气动/间隙/接触非线性)导致的非线性极限环振荡行为，因此本文中将其称为非线性颤振。事实上，旧Tacoma 桥的破坏过程也并非是突发性的“硬颤振”失稳破坏，而是主梁经历了近70 分钟的大幅振动后(最大振幅约30°～35°)，因吊索被逐根拉断而坍塌的[19]。大跨桥梁主梁轻柔，其振动属于典型的“大位移、小应变”问题。因此，依据“软颤振”特征，若在设计风速范围内依据结构应力状态保证主体结构足够安全的前提下，像涡振那样允许大跨桥梁可接受的限幅振动，充分利用其颤振后状态的安全储备，不仅可以大幅降低大跨桥梁设计建造的成本，更有望为进一步增加大跨桥梁的跨径提供一个广阔的空间。

实现上述后颤振韧性设防理念的首要问题在于准确把握各种典型桥梁断面的非线性颤振特性。由于桥梁断面形式丰富多样，近年来，国内外学者通过风洞试验和数值模拟研究观察到了丰富的非线性颤振现象，根据自由度耦合程度与现象，可大致归纳为以下三类：限幅颤振现象、“软颤振”现象，强自由度耦合颤振后现象。限幅颤振现象由MATSUMOTO 和DAITO[20]在-3°攻角的П 型主梁断面上观察到，表现为在折减风速5～10 范围内，发生明显的大幅扭转极限环振动，超出此风速范围，大幅振动消失。“软颤振”现象没有明显的振幅急剧增加的临界点，一般表现为弱自由度耦合振动或单自由度扭转振动，通常出现在比较钝的断面，如H 型断面[21]、双边肋主梁断面[22]、和大攻角流线型箱梁断面[23]等。强自由度耦合颤振后现象则一般出现在流线型较好的桥梁断面[17]和薄矩形断面[14]，其通常表现为当超过临界点后，振幅迅速增大，但当振幅较大时也会由于自激力的非线性效应出现自限幅极限环振荡，同时弯扭耦合效应很强。除了上述典型特征，还有诸如软颤振起振风速与风速路径有关[14]和颤振振幅依赖于初始振幅[15,24]的非线性现象。朱乐东等[13]在双边肋主梁断面、中央开槽箱梁断面、半/全封闭箱梁断面4 种典型桥梁断面的风洞试验中还观察到了小振幅激励衰减、大振幅激励发散、软颤振需要初始激励和软颤振后缓慢发散等复杂的风致振动现象。值得一提的是，现有研究拓宽了对桥梁颤振行为多样性和复杂性的认识，但由于目前主要基于传统节段模型弹簧悬挂装置(存在大幅颤振时弹簧倾斜摆动的问题)开展非线性颤振研究，导致研究的振幅范围并不大[13,17,22-23]。其次，由于箱型断面在超大跨桥梁上应用更普遍，导致目前研究主要集中在这类断面上，而针对三维特征更显著的桁架主梁断面则很少，对于桁架断面中的双层桁架断面则更鲜见。实际上，即使是同类型的断面，局部的细微差别，如栏杆，检修道等附属结构的位置，高度等也会对非线性颤振响应产生较大影响[5,25]。更多不同断面的非线性颤振风洞试验研究是很有必要的，能进一步促进学者们对非线性颤振规律的归纳总结和认识。

实现上述后颤振韧性设防理念的核心问题在于能够在设计阶段较为准确地计算出大跨桥梁的非线性颤振响应。为此，国内外学者针对一些典型断面发展了各种非线性自激力模型以预测非线性颤振响应[26-38]。鉴于断面软颤振时弯扭耦合效应较弱，GAO 等[22]和ZHANG 等[23]分别针对某双边肋主梁和某流线型箱梁断面分别提出了多项式形式的单自由度非线性自激力模型，然而这种简化是否合适将会在本文中进一步探讨。单自由度模型不能考虑弯扭耦合效应，为此，NÁPRSTEK等[26]、GAO 等[27]、WU 等[15]针对不同断面分别提出了多项式形式的两自由度弯扭耦合非线性自激力模型，其中WU 等[15]提出来的模型专门用于预测带有迟滞效应的弯扭耦合非线性颤振响应。李凯[28]提出了一种针对两自由度耦合非线性颤振的建模框架，该框架包括了对弹簧悬挂系统非线性效应、非风致气动力非线性效应，风致气动自激力非线性效应的建模方法，并通过典型桁架主梁断面的风洞试验交叉验证了该框架的正确性。值得一提的是这类多项式类型的模型针对不同的断面，或同一断面的不同攻角，甚至是同一断面局部构造的细微差别，其具体项的形式可能都是不同的，因此十分不利于工程应用。另外，多项式模型是时频混合模型，难以用于时域分析。为此，一些学者提出了卷积形式的纯时域非线性自激力模型[29-30]。而考虑到卷积形式的时域模型计算量极大的问题，刘十一[32]和ZHOU 等[33-34]又基于状态空间法提出了非线性凝聚子系统的纯时域气动力模型。一方面这些时域模型的参数都是通过CFD 数值模拟获取力和位移信号校准的，模型精度本身依赖于CFD 湍流模型的精度，因此仍需风洞试验验证；另一方面，部分模型待识别参数太多，离工程应用还有一定距离。近年来，随着人工智能技术的发展，神经网络等“黑箱”模型也逐渐用于非线性气动力建模[35-38]。这些模型的训练数据也同样来自于CFD 数值模拟，此外模型的泛化能力和可解释性一直是该类“黑箱”模型面临的巨大挑战。整体而言，近些年学者们在非线性自激力模型的构建和非线性颤振分析方面取得了丰硕的成果，但依旧还有很多问题亟需研究。如以往主要通过二维断面的风洞试验或数值模拟研究如何构建非线性自激力模型，却鲜有进一步关注桥梁结构的三维多模态耦合效应或全阶模态耦合效应对非线性颤振的响应及相关影响机制。以往虽构建了个别纯时域非线性自激力模型并进行了时域颤振分析，但模型参数却需CFD 数值模拟校准，且也没有探究气动非线性和结构非线性双重耦合影响下，几何非线性效应对非线性颤振的影响及相关机制，而这些都是更准确预测实际桥梁非线性颤振响应的关键因素。

由于桥梁断面的复杂性及多样性，非线性颤振的机制和相关计算理论并未形成统一共识，因此，桥梁断面的非线性颤振依旧是一个开放的热点问题，亟需更多的探索和研究。针对上述不足，并为方便读者对非线性颤振理论与分析方法有比较全面的了解，本文首先简要阐述了弱非线性系统振动参数非线性特性的表征方法，并基于非线性振动参数建立了基于自由振动风洞试验识别幅变颤振导数的方法。然后，系统阐述了本文发展的基于幅变颤振导数的多/全模态耦合三维非线性颤振频域分析理论，并基于幅变颤振导数提出了一种幅变有理函数描述的纯时域非线性自激力模型和可考虑结构、气动双重非线性效应的三维非线性颤振时域分析方法。最后，以某大跨四主缆双层钢桁悬索桥为研究对象，通过大振幅节段模型风洞试验研究了其断面的非线性气弹特性，探究了多/全模态耦合效应和几何非线性效应对其三维非线性颤振的影响，揭示了几何非线性效应对该桥非线性颤振的影响机制。

1 非线性颤振分析理论

1.1 弱非线性系统振动参数非线性特性表征方法

为方便阐述，以单自由度扭转节段模型振动系统为例，其在均匀流下的自激振动控制方程为：

式中：I为模型单位长度的质量惯性矩； α 、和分别为扭转方向的位移、速度和加速度；cs,α和ks,α分别为节段模型的结构阻尼系数和结构刚度系数，由于非线性的存在它们被描述为运动状态(位移和速度)的函数；Mse,non(α,)为非线性自激力矩。式(1)可进一步改写为：

式中：cse,α和kse,α为气动阻尼和刚度系数，同样由于非线性它们被描述为运动状态的函数；由于气动力相对惯性力和弹性恢复力是高阶小量，因此桥梁非线性颤振是典型的弱非线性振动系统。为此根据非线性振动理论的平均法[39]，式(2)可近似等效为：

式中，Aα为瞬时扭转振幅，它是时间的缓变量。由式(3)可以发现弱非线性系统振动参数的非线性可以通过参数随振幅的变化来近似等价描述，相对于将非线性振动参数描述为时变位移和速度的函数，这种描述更为简单，更易于表征非线性的演化规律。对于弯扭耦合颤振，振动参数除了振动频率和阻尼比，还包括振动模态(即竖向扭转振幅比和相位差)，因此，在后文研究中将通过把它们描述为振幅的函数来表征它们的非线性特性。

1.2 幅变颤振导数识别方法

单自由度扭转节段模型系统(简称SDOFα 系统)在均匀流下的非线性自激振动控制方程可写为：

式中：ωα0和 ξα0分别为SDOFα 系统的结构圆频率和阻尼比，且都为振幅的函数；ρ 为空气密度；U为平均风速；k=bω/U为折减频率；B=2b为桥面宽度；和为幅变颤振导数。由式(4)可导得(Aα)和(Aα) 的闭合解为：

式中：v=ρb4/I；ωα,1和ξα,1分别为风速U下单自由度系统的扭转模态频率和阻尼比，可通过节段模型自由振动风洞试验的位移信号萃取。

竖向和扭转两个自由度节段模型系统(简称2DOFhα 系统)在均匀流下的非线性自激振动控制方程可写为：

式中：m为模型单位长度的竖向质量； ξh0和 ξα0分别为2DOFhα 系统在无风环境下的竖向和扭转结构阻尼比，包含了机械阻尼和非风致附加阻尼两部分；ωh0和ωα0分别为竖向和扭转结构圆频率，同样地，他们都是振幅的函数；和(i=1, 2, 3, 4)表示幅变颤振导数。根据双模态耦合颤振闭合解[40]，2DOFhα 系统竖向模态分支的模态频率ωh和阻尼比ξh的闭合解可写为：

由式(8)和式(9)可知，ωh和ξh都由结构项，非耦合气动项和扭转耦合气动项三部分组成。研究表明[41]竖向模态分支的扭转耦合气动项ωh0(μvΦ′cosφ′)-1/2和-0.5μvΦ′sinφ′贡献微弱，可忽略不计，这在后面的试验研究中也会得到验证。因此，幅变颤振导数(Ah)和(Ah)的闭合解可近似写为：

式中：μ=ρb2/m；ωh和ξh可通过2DOFhα 系统自由振动风洞试验的竖向模态分支位移信号萃取。

其中：

其中：

从以上推导可以发现识别8 个幅变颤振导数的关键在于通过自由振动响应位移信号识别幅变结构参数ωh0、ξh0、ωα0、ξα0和幅变模态参数ωα1、ξα1、ωh、ξh、ωα、ξα、Ψ、ψ。Hilbert-黄变换技术结合EMD 分解技术可用于萃取自由振动响应的瞬时振幅A(t)和瞬时相位θ(t)特性，具体细节参见文献[11, 28]。那么瞬时频率ω(t)，瞬时阻尼比ξ(t)，瞬时振幅比Ψ(t)和瞬时相位差ψ(t)可通过下式计算：

一旦获得瞬时结构参数、模态参数和瞬时振幅，上述幅变结构参数和模态参数也可获得，幅变颤振导数即可基于上述公式获得。需要说明的是，在识别某折减风速下的和时，需对已预先识别的和在折减风速区间内进行插值以获得该折减风速下的值代入计算。图1 进一步给出了幅变颤振导数识别的具体流程。

图1 基于自由振动风洞试验的幅变颤振导数识别流程Fig.1 Flowchart of extracting amplitude-dependent FDs based on free vibration wind tunnel tests

以上只谈及了与竖向扭转运动相关的8 个幅变颤振导数的识别，类似的，通过节段模型两自由度侧向扭转耦合系统(2DOFpα 系统)也可识别其他与侧向运动相关的幅变颤振导数。基于2DOFpα系统侧向模态分支信息，幅变颤振导数(Ap)和(Ap)的闭合解可近似写为：

式中：η=ρb2/mp，mp为模型单位长度的侧向质量；ωp0和ξp0分别为侧向结构圆频率和阻尼比；ωp和ξp分别为2DOFpα 系统侧向模态分支的模态频率和阻尼比，可通过该系统自由振动风洞试验的侧向模态分支位移信号萃取。

其中：

其中：

1.3 三维多/全模态耦合非线性颤振频域分析方法

均匀流下，离散为n个自由度的三维桥梁结构的非线性自激振动控制方程可写为：

式中：Ms、Ks和Cs分别为n×n阶的结构整体质量、刚度、阻尼矩阵；Ks由弹性刚度矩阵Ke和几何刚度矩阵Kg组成；和X分别为节点加速度、速度和位移向量；Fse,non为节点非线性自激力向量。单位长度主梁上受到的非线性自激力(包括自激升力，阻力和扭矩)可描述为如下幅变颤振导数的形式：

式中：h、p和α 分别为竖向、侧向和扭转位移；和(i=1, 2, ···, 6)为幅变颤振导数，其为折减频率k和振幅Ar(r=h、p或α)的函数。在模态坐标下，节点位移向量X=Φq，其中Φ 为模态振型矩阵，q为广义模态位移向量。具体地，主梁竖向、侧向、扭转动力位移响应h(x,t)、p(x,t)、α(x,t)可由前N阶结构固有模态近似为：

式中：hj(x)、pj(x)、αj(x)分别为主梁第j阶固有模态在竖向、侧向和扭转三个方向的振型；qj(x)为第j阶模态的广义位移；x为主梁桥跨位置；t为时间。因此，主梁在模态坐标下的非线性自激振动控制方程可写为：

式中：M=ΦTMsΦ=diag[mj]、K=ΦTKsΦ=和C=ΦTCsΦ=diag[2mjξsjωsj]分别为结构广义质量、刚度、阻尼矩阵；mj、ξsj、ωsj分别为第j阶模态的模态质量、阻尼比和频率；Ad和As分别为气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵，它们是模态振型和颤振导数的函数。Ad和As中对应的第i阶及第j阶模态参与的元素为：

其中：

给定风速给定振幅下，令q(t)=q0eλt，则状态空间方程式(47)的求解可转化为如下复特征值问题：

式中：λ=-ξω+iω≈-ξω+iω为系统复模态频率；ξ 为系统模态阻尼；ω为系统模态频率。A0为一个2N×2N的矩阵，对式(50)进行复特征值求解可得到N对复共轭特征值和N对复共轭特征向量：

式中：λj为第j阶模态分支的复模态频率；ξj和ωj分别为第j阶模态分支的模态阻尼和频率；q0j为对应第j阶模态分支的复模态振型。由式(52)可得第j阶模态分支下的第k(k=1, 2, 3, ···,N)阶结构固有模态的参与幅值|q0k|j和相位φk j分别为：

因此，模态分支j的响应在物理坐标系下可写为：

式中：φj为与向量Φq0j相关的相位角；与模态分支j相关的跨向位置x处的位移可以进一步具体写为：

式中：r=h、p或α，为物理坐标系下的竖向，侧向和扭转位移；r0(x)为主梁在r方向的振动幅值；φr(x)为主梁在r方向的运动相位，其中：

式中，ri(r=h、p或α)表示结构第i阶固有振型。显然，从式(57)可以发现，主梁不同位置处的运动相位是不一致的，同时各运动方向之间也存在相位差。由式(56)可知，主梁在模态分支j下各处的运动振幅受各结构固有模态在该分支下的参与幅值|q0i|j和相位φij的影响。

在传统多模态耦合线性颤振分析中，主要通过搜索各模态分支的模态阻尼在一定风速区间内随风速的演化规律来确定颤振临界风速。借鉴这样的思路，在多模态耦合非线性颤振分析中，颤振导数描述为折减风速(折减频率)和振幅的函数，因此可将风速和振幅构成的空间内的每一个点都看成一个线性系统，通过搜索各模态分支的模态阻尼在该空间中的演化规律即可获得非线性颤振响应。在传统线性颤振分析中，特定风速下的颤振频率是无法预先给出，即该风速下的颤振导数无法预先确定，因此一般通过对频率进行迭代的方法来求解[3-5]。同样地，在非线性颤振的分析中，特定风速特定振幅下的颤振频率也是无法预先给出。此外，由于特定风速和振幅下各结构固有模态的参与信息(参与程度)是未知的，主梁展向各处的振幅和颤振导数取值也就是未知的(即A0是未知的，特征方程无法求解)。因此，在非线性颤振的分析求解中，除了要对频率进行迭代求解以外还需要对主梁各处的振幅进行迭代求解。而由于主梁各处的振幅由各结构固有模态的参与幅值和相位确定(如式(56)所示)，其本质是对固有模态的参与幅值和相位的迭代。

根据以上思路，以第j阶模态分支为例阐述多模态耦合非线性颤振的分析框架。由于需要搜索风速和振幅空间的模态阻尼特性，首先需确定第j阶模态分支计算的振幅搜索位置。一般而言，第j阶模态分支由第j阶结构固有模态发展而来，尽管由于气动耦合效应，其他结构固有模态成分会参与贡献进来，但该分支仍以第j阶结构固有模态的贡献为主。再者由于桥梁颤振通常发生在扭转模态，且颤振导数也主要表现为对扭转振幅的强依赖性。因此，振幅搜索位置通常可选为第j阶结构固有模态扭转方向振型的最大值位置xmax,j处(对于发生竖向模态颤振的断面，如驰振，可做相应调整)。如对于一阶正对称扭转模态，振幅搜索位置可定为跨中处，而对于一阶反对称扭转模态，振幅搜索位置则可定为1/4 或3/4 跨处。主梁的初始迭代振幅形态可假定为第j阶结构固有模态的振型(或其他任意振幅形态，但可能增加迭代步数)，当xmax,j处的扭转振幅为Aα时，主跨x处的扭转振幅可通过下式计算：

而主跨x处的竖向和侧向振幅则可以通过主梁振幅形态r0所确定的关系计算(主梁振幅形态指主梁各处的运动振幅r0(x)构成的形态，其概念与传统振型的概念类似，主梁各处的值没有物理含义没有单位仅反映一种振幅形态)。给定风速和振幅下，整个迭代过程就是在不断更新主梁振幅形态r0，直到r0稳定收敛为止。综上所述，多模态耦合非线性颤振分析框架包含对风速和振幅空间的搜索以及搜索过程中对频率和振幅形态的双层迭代过程。为更清晰阐述该框架，图2 给出了三维多模态耦合非线性颤振分析的具体流程图(以模态分支j为例)。

图2 多模态耦合非线性颤振分析框架流程图Fig.2 Flowchart of the proposed multimode nonlinear flutter analysis framework

如式(56)所示，主梁各处的振幅由各结构固有模态的参与幅值和相位确定。因此，在图2 所示的流程中，对振幅形态的迭代本质是对各结构模态参与幅值和相位的迭代。为此定义了如下广义位移幅值收敛因子γi和广义位移相位收敛因子ηi以判断迭代收敛性：

式中，N为考虑的结构模态总数，当所有结构模态的γi和ηi在第d和第d+1 两个相邻迭代步之间的值小于容差ε 时(即γi<ε 且ηi<ε)，则停止迭代，其中ε 应该接近于0。

通过搜索风速和振幅空间模态阻尼为0 的点(即ξj(Un,Ar)=0)即可获得三维非线性颤振的响应(即三个方向稳态振幅随风速的演化规律)。此外，对所有模态分支进行上述分析，即可获得所有可能表现出非线性颤振的模态分支的后颤振响应。

多模态耦合颤振分析基于结构响应可以通过几个固有模态来近似描述，这会导致一个更重要的问题，即选择哪些模态是合适的，而这往往是基于经验的。总而言之，多模态方法无法考虑桥梁所有模态(尤其包括主缆主塔振动为主的模态)对非线性颤振的贡献，因此，需要进一步发展全阶模态耦合的非线性颤振分析方法。HUA 等[4]提出了桥梁结构三维线性颤振分析的物理坐标法(又称全阶模态法)，并在ANSYS 有限元平台实现了颤振分析。本文建立的全阶模态耦合非线性颤振分析方法的思路与上述多模态方法的思路是基本一致的，只是在线性颤振求解部分采用HUA 等提出的全阶模态线性颤振分析方法。具体的，将式(40)的Fse,non移到方程的左边并进行阻尼复特征值分析可获得n对复共轭特征值及与之对应的复共轭特征向量，其中第j阶复共轭特征值和特征向量为：

特征值实部ξj为模态阻尼；ωj为模态频率。据此，物理坐标下对应模态分支j的桥梁三维颤振运动可描述为：

其中：

式中，Aj和 φj为桥梁颤振时所有节点自由度的运动振幅和相位向量。与多模态方法类似，全阶模态方法也需要对主梁各节点的振幅进行迭代计算以确定各节点的颤振导数取值。由式(62)可知主梁振幅受特征向量的幅值Aj=2|pj+iqj|控制，因此同样定义节点幅值收敛因子μi用于主梁振幅迭代计算的判定依据：

式中，i为节点自由度编号，由于桥梁颤振由主梁主导，一般选择主梁上的节点竖向、扭转、侧向自由度即可。当主梁所有节点的幅值收敛因子μi小于容差ε 时，即可停止节点振幅的迭代。全阶模态耦合非线性颤振分析的流程与多模态方法类似，不再赘述。

1.4 三维非线性颤振时域分析方法

桥梁结构大幅振动时的结构非线性效应显著，其对非线性颤振的影响将是显著的，然而上述多/全模态耦合分析方法只能考虑气动非线性效应，无法考虑结构非线性行为，其主要原因在于幅变颤振导数描述的非线性自激力模型是时频混合型的。为此本节将构建一种纯时域非线性自激力模型并与非线性有限元结合发展一种可同时考虑结构和气动非线性的时域分析方法。借鉴幅变颤振导数描述的非线性自激力模型的思路，提出如下幅变脉冲响应函数结合有理函数描述的纯时域非线性自激力模型(简称幅变IRF 型非线性自激力模型)：

其中：

式中，k=1, 2, 3,···,n，n为离散的振幅点总数。当一定振幅范围内的n越大，式(69)和式(70)越能近似描述连续振幅变化下的自激力非线性特性。Lser为有理函数逼近的纯时域自激力[42-43]，以Lseh为例：

式中，有理函数系数An和dn可基于已识别的幅变颤振导数采用文献[42 - 43]的非线性最小二乘拟合方法确定。

将上述构建的纯时域非线性自激力模型(即幅变IRF 型非线性自激力模型)与非线性有限元模型进行结合即可进行大跨桥梁三维非线性颤振响应的纯时域全过程演化分析，整个计算过程在有限元软件ANSYS 中进行。

2 大振幅非线性颤振特性

2.1 风洞试验技术简介

在桥梁颤振研究中，节段模型试验的主要目的在于研究断面的气动性能，并要求基于缩尺节段模型试验获取的气动参数能够适用于实际桥梁的计算。因此，节段模型机械/结构参数的稳定性是准确把握桥梁断面气动性能的必要前提，同时非线性越弱的结构参数越利于准确把握气动性能。对于大振幅的弯扭耦合非线性颤振风洞试验研究中，传统弹簧悬挂节段模型自由振动装置(如图3(a)所示)存在以下两个明显的缺陷：1)竖向弹簧会发生显著倾斜，进而导致竖向和扭转刚度的几何非线性效应显著。2)竖向弹簧自身发生倾摆振动，对系统形成复杂的难以量化的非线性阻尼效应(即结构阻尼不稳定)。扭转振幅越大，上述两个缺陷越明显，不仅不利于大振幅非线性颤振行为的研究，更为重要的是还会给非线性气动参数的识别引入显著的误差。为解决这一弊端，借鉴XU 等[44]最近提出的大振幅装置，设计制作了如图3(b)所示的改进的新型大幅自由振动弹簧悬挂装置(该装置在风洞中的布置如图4 所示)。改进的新型装置通过刚性轴在轴承内自由旋转，保证主梁刚性模型在大幅竖向和扭转耦合振动的过程中，刚性吊臂仅做竖向运动而不做扭转运动，从而保证上弹簧仅发生竖向伸缩变形而不发生侧向倾斜且仅提供竖向刚度不提供扭转刚度，下弹簧仅发生竖向伸缩变形而不发生侧向倾斜，并同时提供竖向刚度和扭转刚度。不论扭转振幅大小，均不会引起弹簧侧向倾斜和摆振的问题，也就不会给系统引入非线性刚度和不可量化的非线性阻尼问题。通过灵活调控上弹簧刚度k1，下弹簧刚度k2和带外槽轮毂的半径r三个变量可达到任意桥梁的竖向和扭转刚度的目标值。对于不同的桥梁结构参数，不需要更换不同的轮毂半径，因为可调变量是富余的，选择一个半径适中的轮毂即可。基于该装置能够更准确地识别大幅振动下的非线性气动参数。

图3 节段模型自由振动风洞试验装置Fig.3 Spring-suspended device for section model wind tunnel test

图4 某桁架断面节段模型风洞试验布置图(新型装置)Fig.4 Typical truss section model in wind tunnel(the novel device)

2.2 典型双层桁架断面非线性颤振特性

以某双层桁架悬索桥为背景，开展自由振动风洞试验研究典型双层桁架断面的非线性颤振特性，该桥初设理论跨径组合为502 m+1650 m+518 m=2670 m，主缆采用了不同矢跨比的四主缆设计方案，为国内首次采用，如图5 所示。该主梁横截面布置如图6 所示，钢桁加劲梁宽32 m，高9.5 m，采用双层桁架布置。

图5 某大桥桥型布置图 /mFig.5 Arrangement of a protype bridge

图6 典型双层桁架主梁断面布置图 /mmFig.6 Section of the double-deck steel truss girder

设计了单自由度扭转节段模型系统和两自由度(竖向和扭转)节段模型系统分别进行非线性颤振试验。通过在来流方向设置横向约束钢丝和垂直流向设置竖向约束钢丝来分别限制节段模型侧向和竖向位移，此时为SDOFα 系统。当去掉竖向约束钢丝时即为2DOFhα 系统。对比这两个系统的非线性气弹响应可深入探究竖向振动所致的气动耦合效应对非线性颤振响应的影响及其机制。

所有试验工况如表1 所示，工况B1 和工况B2 分别在工况A1 和工况A2 的基础上增加了结构阻尼；工况C1 和工况C2 分别在工况A1 和工况A2 的基础上改变质量和质量惯性矩并进而改变了扭弯比和结构阻尼比。工况B 和工况C 用于交叉验证幅变颤振导数识别方法的可靠性和参数识别的准确性。

表1 节段模型试验工况与参数 (初始风攻角0°)Table 1 Main dynamic parameters of all aeroelastic tests (initial attack angle 0°)

图7 给出了工况A1(SDOFα 系统)在U=9.89 m/s时的位移响应时程。可以发现，当没有初始激励时，SDOF 系统表现出了典型的极限环振荡(LCO)行为，振幅从0°缓慢发展到7.8°左右稳定。当有很大扭转振幅的初始激励时，振幅同样衰减至7.8°左右稳定，可见该风速下仅存在一个稳定的LCO。SDOFα 系统表现为明显的单自由极限环颤振行为。为方便对比，图8 进一步给出了该风速下工况A2(2DOFhα 系统)的位移响应。可以发现2DOFhα 系统的竖向和扭转位移都表现为自限幅的极限环振荡行为，且他们的卓越频率是一致的，同时他们的振幅演化趋势也基本保持一致，可见是典型的耦合了显著竖向位移的扭转模态颤振。值得关注的是2DOFhα 系统的扭转稳态振幅约为10.1°，远大于SDOFα 系统的7.8°。由于工况A2 的扭转结构阻尼整体上略小于工况A1，并不能直接表明竖向运动的参与直接降低了系统的稳定性。为此，图9 进一步量化了该风速下两系统的气动阻尼，其中非耦合气动阻尼即为SDOFα 系统的气动阻尼，耦合气动阻尼为相对SDOFα 系统，2DOFhα系统由于竖向自由度的参与引入的气动阻尼。可以发现，耦合气动阻尼始终为负，且相对非耦合气动阻尼，耦合气动阻尼的幅变特性要弱很多，其随振幅变化的整体趋势基本可以用一条水平的直线描述。可见，竖向运动的参与为系统提供了耦合气动负阻尼，促使同一风速下，2DOFhα 系统的气动负阻尼比SDOFα 系统大，进而导致2DOFhα系统的扭转稳态振幅大于SDOFα 系统。非耦合气动阻尼和结构阻尼的幅变特性很显著，表现出显著的非线性，因此他们的强非线性是触发LCO 的关键因素，而耦合气动阻尼的弱非线性则主要起到降低系统稳定性，增大稳态振幅的作用。

图7 工况A1 不同初始激励条件下的非线性颤振响应(U=9.89 m/s)Fig.7 Nonlinear flutter response of Case A1 under different initial conditions (U=9.89 m/s)

图8 工况A2 不同初始激励条件下的非线性颤振响应(U=9.89 m/s)Fig.8 Nonlinear flutter response of Case A2 under different initial conditions (U=9.89 m/s)

图9 工况A2(2DOFhα 系统)模态阻尼解构成分对比(U=9.89 m/s)Fig.9 Modal damping and aerodynamic damping vs.torsional amplitude for Case A2(2DOFhα System, U=9.89 m/s)

图10 给出了工况A1(SDOFα 系统)和工况A2(2DOFhα 系统)的稳态振幅(Aα表示扭转振幅，Ah表示竖向振幅)随风速的演化规律。可以发现，两系统的稳态振幅都随风速的增加而缓慢增大，表现为典型的软颤振行为。对于2DOFhα 系统，竖向振幅的增长速率随着风速的增加而逐渐增大，表明弯扭耦合强度逐渐增强。正如前述，竖向运动的参与引入了耦合气动负阻尼，因此2DOFhα系统的稳态振幅始终大于SDOFα 系统。另外，2DOFhα 系统的颤振临界风速也比SDOFα 系统低。然而，需要说明的是，在小振幅阶段工况A2 的结构阻尼要小于工况A1，且临界风速附近的竖向振幅微弱，几乎可以忽略，因此竖向自由度的参与是否会降低临界风速将在后文进一步分析，这实际上涉及到一个重要的问题，在非线性颤振研究中，能否因为竖向运动参与程度低，而将两自由度耦合非线性系统简化为单自由度非线性系统。

图10 工况A1 和工况A2 稳态振幅的试验值与预测值对比Fig.10 Comparison between experimental and predicted values of stable amplitudes for Case A1 and Case A2

图11 进一步给出了不同振幅下(1°～14°) SDOFα系统扭转模态频率和气动阻尼比随风速演化规律。对于模态频率，其随风速的增加而减小，随振幅的增加也减小，但减小的幅度并不是很大，说明在测试风速区间内，气动刚度效应较弱。对于气动阻尼，可以发现：随着风速的增长，所有振幅下的气动阻尼缓慢由正向负递减，随着振幅的增长，模态阻尼缓慢由负向正增大，形成“风速增大，气动阻尼降低系统稳定性；振幅增大，气动阻尼提高系统稳定性” 这一整体演化特征，由该特征进一步驱使系统零模态阻尼的振幅随风速的增加而增大是导致稳态振幅随风速增加而增大的关键内在机制。此外，还可以发现：在低风速下，气动阻尼幅变特性微弱，表明低风速下的气动非线性很微弱，随着风速的增加，气动阻尼的幅变程度越来越强，表明气动非线性也越来越强。

图11 工况A1(SDOFα 系统)不同振幅下扭转模态频率和气动阻尼比随风速的演化规律Fig.11 Modal frequency and aerodynamic damping ratio vs.wind speed under different amplitudes for Case A1(SDOFα system)

为获取2DOFhα 系统气弹行为中竖向模态分支的信息，需对系统进行竖向扭转耦合激励。图12 给出了U=7.59 m/s 时大幅竖向扭转耦合激励后的位移响应及相应的频谱图(VB 表示竖向模态分支，TB 表示扭转模态分支)。位移响应频谱中存在两个卓越频率fh(竖向模态分支频率)和fα(扭转模态分支频率)。首先观察竖向模态分支，可以发现竖向位移中含有显著的fh和fα而扭转位移中没有观察到明显的fh，这表明竖向模态分支几乎不含气动耦合效应，即竖向位移产生的耦合扭矩很弱，因此竖向模态分支的耦合气动项贡献可以忽略。这一特性满足1.2 节中推导和闭合解时的近似假定条件(即式(10)和式(11))。其次，观察扭转模态分支可以发现，竖向位移和扭转位移中都含有较为明显的fα。这表明扭转模态分支含有明显的气动耦合效应，即扭转位移产生的耦合升力较显著。值得一提的是，试验中扭转模态分支的气动耦合效应是随着风速的增加而增强的。该风速下，竖向位移中以fα成分占主导，这是因为竖向模态分支快速衰减，发生了扭转模态极限环颤振，显著的气动耦合效应驱使竖向位移以fα进行极限环振荡。因此，为获得足够显著的竖向模态信息，在较高风速下，尤其是在颤振临界点及其后的风速区间需进行大幅的竖向激励试验。

图12 工况A2 大幅弯扭耦合激励下的自由振动响应特性(U=7.59 m/s)Fig.12 Characteristics of aeroelastic responses under large vertical-torsional coupled excitation for Case A2 (U=7.59 m/s)

采用无相位差的带通滤波技术对位移响应进行滤波可获取仅含竖向模态的位移响应，基于该响应即可识别获得竖向模态分支的频率和阻尼特性。同理，采用滤波技术可获取仅含扭转模态的位移响应，基于该响应即可识别扭转模态分支的模态参数(频率，阻尼比，振幅比和相位差)。

图13 给出了基于工况A1 和工况A2 识别的8 个幅变颤振导数 (如式(10)和式(11)所示，和和Ah有关， 但和Aα无关)。基于上述识别的颤振导数计算了工况A1、工况A2、工况B1、工况B2、工况C1 和工况C2 的非线性颤振响应并与试验值进行对比(如图10、图14 所示)，可以发现所有工况下试验值与预测值都吻合的很好，颤振临界点的预测值和试验值也都很接近。这表明幅变颤振导数识别方法是可靠的，且本文识别的幅变颤振导数具有很高的精度。因此，本文发展的幅变颤振导数识别方法具备用于实桥非线性颤振分析的巨大潜力。

图13 幅变颤振导数Fig.13 Amplitude-dependent flutter derivatives

图14 工况B1、工况 B2、工况C1 和工况C2 稳态振幅试验值与预测值对比Fig.14 Comparison between experimental and predicted values of stable amplitudes for Cases B1, Cases B2, Cases C1 and Cases C2

为回答前面竖向自由度的参与是否是降低颤振临界风速的原因之一，计算了2DOFhα 系统和SDOFα 系统在结构阻尼比都为0.3%的线性阻尼下的非线性颤振响应，如图15 所示。可以发现，竖向自由度的参与确实能够降低颤振临界风速，同时随着风速的增加，2DOFhα 系统的扭转稳态振幅越来越大于SDOFα 系统。图16 进一步给出了2DOFhα 系统扭转模态阻尼的耦合气动阻尼项和非耦合气动阻尼项随风速和振幅的演化规律。可以发现，竖向自由度引入的耦合气动阻尼在低风速下很小几乎为零，随着风速的增加，向负阻尼方向逐渐增大。这就是为什么2DOFhα 系统的颤振临界点低于SDOFα 系统，并且随着风速的增加2DOFhα 系统的稳态振幅越来越大于SDOFα 系统的原因。另外，非耦合气动阻尼在低风速下幅变特性很小，随着风速的增加幅变特性越来越强，而耦合气动阻尼的幅变特性在研究风速区间内始终很弱。由此可知，气动非线性随着风速的增加而变得越来越强，该气动非线性主要贡献给了非耦合气动阻尼，而耦合气动阻尼始终是一个偏线性的气动阻尼成分。此外，以上分析还表明：对于非线性颤振，即使观察到竖向自由度参与程度很低，也不能简单地将其简化为单自由度系统，因为其本身无法反映两自由度系统的内在耦合机制。事实上，竖向自由度参与程度低可能只是内在耦合机制在该结构参数下外化表现时较弱而已，但在其他结构参数下却未必。

图15 2DOFhα 和SDOFα 系统扭转稳态振幅(ξh0=ξα0=0.3%)Fig.15 Torsional amplitudes of 2DOFhα and SDOFα Systems (ξh0=ξα0=0.3%)

图16 模态阻尼耦合项和非耦合项演化规律Fig.16 Coupled and uncoupled terms of modal damping vs.wind speed

3 大跨桥梁三维非线性颤振分析

3.1 三维多/全模态耦合非线性颤振分析

采用ANSYS 对图5 所示悬索桥进行有限元建模，通过模态分析获得了该桥的固有动力特性。图17 给出了该桥前20 阶主要固有模态主梁竖向、侧向、扭转方向的振型。其中：Mode 4 为一阶正对称竖弯振型；Mode 7 以一阶正对称扭转振型为主，含有较为明显的侧弯振型；Mode 8 以二阶正对称侧弯为主，含有较小的一阶正对称扭转成分；Mode 13、Mode 16、Mode 17、Mode 18 以主缆振型为主，但含有较为明显的主梁振型，尤其是耦合了较为显著的主梁扭转振型，因此可能对非线性颤振有一定影响。通常颤振计算中至少选择Mode 4 和Mode 7 组合进行分析。为研究多模态气动耦合效应对非线性颤振的影响，计算了不同结构模态组合下模态分支7 的非线性颤振响应，其中侧向相关颤振导数通过准定常假定计算获得。模态组合工况如表2 所示。

表2 不同结构模态组合计算工况Table 2 Cases with different combinations of structural modes

图17 大桥主要结构固有模态的主梁振型(振型归一化)Fig.17 Structural mode shapes of the prototype bridge (Normalization of modal shapes)

图18 给出了表2 中不同工况下的主梁跨中非线性颤振稳态振幅(结构阻尼比为0.3%)，可以发现，相对工况1，考虑Mode 6 (二阶正对称竖弯) 后，工况2 的扭转振幅在局部风速区间(38 m/s～42 m/s)略大于工况1，其他风速下吻合较好；而对于竖向振幅，随着风速的增加，工况1 明显越来越大于工况2，说明Mode 6 对非线性颤振影响很大尤其是竖向振幅，因此必须考虑该模态。在工况2 的基础上进一步考虑Mode 1 得到工况3，可以发现工况3 的扭转和竖向振幅基本与工况2 一致，而工况3 的侧向振幅明显小于工况2，说明Mode 1主要影响非线性颤振的侧向振幅。Mode 8 以二阶正对称侧弯振型为主但是耦含一定程度的一阶正对称扭转振型，因此该模态对非线性颤振的影响是值得分析的，对比工况3 和工况4 可知，考虑Mode 8 后扭转振幅增大了，但在稳态振幅很小时增大的并不明显，而在稳态振幅大于5°后有显著增大，另外竖向振幅也有小幅提升，侧向振幅有了明显的减小。可见Mode 8 对非线性颤振响应影响较大，不考虑会低估扭转和竖向稳态振幅。对比工况4 和工况5 可以发现，二者的扭转、竖向和侧向振幅都几乎完全重合，说明前10 阶模态内除第1 阶、4 阶、6 阶、7 阶、8 阶模态外的其他模态对模态分支7 主导的非线性颤振几乎没有影响可以忽略。相对工况5，工况6 的扭转振幅在稳态振幅较大时略大，竖向振幅几乎没变化，侧向振幅也在稳态振幅较大时偏大。初步推断主要是受Mode 13 和Mode 18 的影响，因为Mode 13 和Mode18 虽然以主缆振型为主，但也耦含了一阶正对称扭转振型和一阶正对称侧弯振型，尤其是Mode 13含有较为显著的一阶正对称扭转振型。可见一些更高阶的模态也是有考虑的必要的，尤其是在非线性颤振振幅较大时。以风速41 m/s 为例，工况6的跨中扭转、竖向、侧向振幅分别为8.9°、0.278 m、0.29 m，而工况1 的跨中扭转、竖向、侧向振幅分别为7°、0.46 m、0.32 m。相对工况6，工况1 的跨中扭转振幅相对低估了21%，跨中竖向振幅相对高估了65%，实际上竖向振幅不是高估也是低估，因为二者的振幅形态不一致，工况6 的竖向振幅最大位置不在跨中(如图19 所示)。总而言之，多模态耦合效应对非线性颤振的影响很大，不考虑会低估非线性颤振振幅。

图18 不同结构固有模态组合下的非线性颤振响应Fig.18 Nonlinear flutter responses under different combinations of structural modes

图19 U=41 m/s 时不同结构固有模态组合下的主梁振幅形态Fig.19 Mode shape of cases with different combinations of structural modes (U=41 m/s)

为观察不同结构模态组合对主梁振幅形态的影响，图19 给出了U=41 m/s 各工况稳态振幅时的主梁振幅形态。由于各工况的稳态振幅不一样，为方便对比，都以跨中扭转振幅进行归一化。由图19 可知，对于扭转振幅形态，各工况是完全一致的。对于竖向振幅形态，工况1 为一阶正对称竖弯形态，而工况2 在考虑了Mode 6 后变为“双峰”形态，明显耦合了一阶正对称竖弯(Mode 4)和二阶正对称竖弯(Mode 6)形态，其振幅最大值不在跨中，而在接近1/4 跨的位置，这是上述工况2 的跨中竖向稳态振幅显著小于工况1 的主要原因。其他结构模态对竖向振幅形态的影响较小。对于侧向振幅形态，主要在考虑了Mode 1 和Mode 8 后有了较大变化，因为这两个模态主要为对称侧弯模态。他们受侧向自激力影响参与到侧向振动中，从而影响了全跨侧向振幅形态。

图20 以U=41 m/s 为例进一步量化了不同结构模态组合工况下的模态阻尼。可以发现考虑Mode 6 后，工况2 的模态阻尼在4°～10°振幅内有明显减小导致0 模态阻尼的振幅更大，这是上述考虑Mode 6 后工况2 的扭转稳态振幅在局部风速区间略大于工况1 的根本原因。对比工况2 和工况3 可知考虑Mode 1 后模态阻尼完全没有改变，因此上述扭转稳态振幅和竖向稳态振幅也没有改变，但是Mode 1 为一阶正对称侧弯振型，受侧向自激力影响参与到侧向振动中对侧向稳态振幅有影响。在工况3 的基础上进一步考虑Mode 8 可知模态阻尼整体减小了，即气动负阻尼增大了，因此上述稳态振幅也就增大了。对比工况4 和工况5发现模态阻尼基本没有变化。对比工况5 和工况6可知高阶模态的参与微弱地降低了模态阻尼，因此对稳态振幅影响较小。图21 给出了U=41 m/s时稳态振幅阶段各结构模态的参与幅值，可以发现Mode 4、Mode 6、Mode 7 为对非线性颤振有主要贡献的结构模态，其中Mode 6 与Mode 4 的参与幅值基本相当，因此只考虑Mode 4 和Mode 7进行非线性颤振分析显然不妥。另外Mode 1、Mode 8、Mode 13、Mode 18 也对非线性颤振有贡献，虽然参与程度相对较小，但对阻尼敏感的非线性颤振也会产生一定影响，尤其是当非线性颤振振幅较大时影响较为明显。

图20 U=41 m/s 时不同工况下的模态阻尼演化规律图Fig.20 Modal damping of different Cases (U=41 m/s)

图21 U=41 m/s 时工况6 结构固有模态参与幅值Fig.21 Magnitude of each structural mode (U=41 m/s)

采用全阶模态耦合分析方法计算了该桥模态分支7(Mb 7)和模态分支9(Mb 9)的非线性颤振响应并与多模态耦合分析结果进行对比，如图22 所示，其中多模态方法为表2 中工况6 的模态组合。图22 中模态分支7 为跨中响应，模态分支9为1/4 跨的响应。由图22 可知，扭转振幅在10°以内时，全阶模态的稳态振幅与多模态吻合的很好；当振幅大于10°以后，全阶模态的稳态振幅略大于多模态的稳态振幅。可见当振幅足够大时，采用多模态分析方法可能会低估非线性颤振的稳态振幅，因此有必要进行全阶模态分析获得更准确的非线性颤振响应。多模态方法没有考虑潜在的对三维非线性颤振有贡献的更高阶的模态，这些更高阶的模态主要可能是含有相对显著对称扭转振型的模态(类似于Mode 13 和Mode 18)。尽管这些高阶模态的参与幅值很小，但当振幅足够大时，其对模态阻尼的影响也足够显著已不可忽视。由于非线性颤振响应本身对阻尼十分敏感，较小的阻尼变化可能导致较大的振幅差别，因此也就导致了图22 中在振幅足够大时，全阶模态方法预测的振幅偏大于多模态方法。因此，当振幅足够大时，采用全阶模态分析方法获得更准确的非线性颤振响应也是有必要。

图22 多模态与全阶模态方法计算的非线性颤振响应对比Fig.22 Comparison of nonlinear flutter responses from multimode and full-mode methods

3.2 三维非线性颤振时域分析

为研究几何非线性对非线性颤振的影响，采用1.3 节和1.4 节介绍的方法计算了如表3 所示的6 种工况。为保证时域与频域分析的气动力是完全一致的，在频域分析中采用的是基于有理函数系数拟合后反算的颤振导数(称为拟合的颤振导数)，计算中未考虑侧向相关自激力。此外有理函数系数拟合的准确性也预先通过了验证，同时时域计算也进行了时间步无关性检验，最终计算时间步长设为0.01 s。频域和时域分析中采用的阻尼模型都是经典的瑞利阻尼模型。考虑的几何非线性效应包括悬索桥的应力刚化效应和大变形效应。

表3 三维非线性颤振计算工况Table 3 Calculation cases of three-dimensional nonlinear flutter analysis

图23 给出了6 个工况的计算结果。对于不考虑结构阻尼的情况，可以发现当振幅较小时(＜4°)，频域方法(即全阶模态方法)与考虑应力刚化和大变形效应的时域方法吻合的很好，这主要是因为在振幅较小时几何非线性效应并不显著；随着振幅的进一步增大(>4°)，考虑应力刚化的时域方法逐渐小于频域方法，但减小的幅度并没有随着振幅的增加而进一步明显增大；而考虑大变形的时域方法则逐渐越来越小于以上两者，稳态振幅越大，减小的幅度也越大，这表明大变形效应对非线性颤振响应的影响会随振幅的增加而越来越显著。竖向稳态振幅表现出与扭转稳态振幅一致的规律。

图23 工况1～工况6 的跨中稳态振幅随风速的演化规律Fig.23 Stable amplitude vs.wind speed at mid-span(Case 1～Case 6)

对于结构阻尼为0.3%的情况，首先时域方法与频域方法的颤振临界点吻合的很好，其次在振幅较小时考虑应力刚化效应的时域方法与频域方法吻合较好，随着振幅的增长考虑应力刚化的时域方法逐渐小于频域方法，且减小幅度越来越大。而当考虑大变形效应后，稳态振幅降低的更为明显，即使在较小的振幅阶段也相差较大。考虑结构阻尼和不考虑结构阻尼的这种差异是由瑞利阻尼模型造成的，瑞利阻尼与刚度有关，因此当几何非线性导致几何刚度发生改变时，结构阻尼比也变了(本文中显然导致了扭转模态结构阻尼比的增大)。瑞利阻尼模型中由于几何非线效应改变结构阻尼的这种数值行为是否符合真实的物理行为是值得进一步探讨的。整体而言，考虑结构阻尼和不考虑结构阻尼的整体变化规律是一致的。

为进一步探究几何非线性效应降低非线性颤振振幅的原因，图24 给出了U=32 m/s 时跨中位移的发展时程，可以发现当振幅增长到一定程度，考虑大变形的扭转和竖向振幅都开始逐渐小于考虑应力刚化的振幅；对于竖向位移，随着振幅的增长竖向位移均值由零逐渐增大，表现为主梁被不断抬升，其中考虑大变形时主梁被抬升的更显著。图24～图26 进一步给出了图24 中位移响应的时频演化特征。可以发现考虑应力刚化时，随着振幅的增加扭转位移中开始逐渐出现微弱的3 倍频分量，竖向位移中也逐渐出现微弱的2 倍、3 倍、4 倍频分量；而当考虑大变形后，扭转和竖向位移中的倍频分量都相对显著增强了，同时还出现了更高倍频的分量。

图24 考虑应力刚化和大变形效应的跨中位移时程对比(U=32 m/s, ξs=0)Fig.24 Displacement time-history response at mid-span considering stress stiffening and large deformation effects(U=32 m/s, ξs=0)

图25 考虑应力刚化效应的跨中位移响应时频演化特征(U=32 m/s, ξs=0)Fig.25 Time-frequency spectra of mid-span responses considering the stress stiffening effect (U=32 m/s, ξs=0)

图26 考虑大变形效应的跨中位移响应时频演化特征(U=32 m/s, ξs=0)Fig.26 Time-frequency spectra of mid-span responses considering the large deformation effect (U=32 m/s, ξs=0)

进一步将U=32 m/s 时考虑大变形的主梁全跨位移响应按频率成分单独分解出来，并给出相应频率成分一个振动周期内的振动形态，如图27～图28 所示。首先观察扭转位移，在振幅较小时，3 倍频和5 倍频位移分量几乎为零；当基频扭转振幅达到1.5°左右时，3 倍频和5 倍频位移分量开始从零增加， 并在基频位移分量达到稳态振幅时也跟着进入稳态振动阶段。其中基频振型为一阶正对称扭转振型；3 倍频振型接近为三阶正对称扭转振型；5 倍频振型为更高阶的扭转振型。在稳态振动阶段，跨中位移的基频振幅约为5.5°，3 倍频振幅约为0.35°，约为基频振幅的6.3%，而5 倍频振幅很微弱。进一步观察竖向位移，高倍频振型为高阶的竖向振型，基本发展规律和扭转位移类似，不再赘述。值得一提的是竖向位移有一个零频的抬升，整个主梁被抬升为一阶正对称竖弯的形态，这是由几何非线性效应导致的，无法用频域方法预测。

图27 主梁全跨扭转位移分量特征 (U=32 m/s；ξs=0；大变形)Fig.27 Characteristics of torsional displacement components along the span (U=32 m/s；ξs=0; Large Deformation)

图28 主梁全跨竖向位移分量特征(U=32 m/s, ξs=0, 大变形)Fig.28 Characteristics of vertical displacement components along the span (U=32 m/s, ξs=0, Large Deformation)

综上可知，在非线性颤振起振的小振幅阶段几何非线性效应较微弱。随着振幅的增长，几何非线性效应逐渐越来越显著，并会诱发 “超谐共振”行为，主要表现为在主梁竖向和扭转两个方向出现以高阶振型进行的高倍频多频振动(需要注意的是，这些高阶振型并不是结构固有模态振型，因为在考虑几何非线性效应时，线性模态的概念已不再适用)，且振幅越大其超谐共振行为越明显，这是一种典型的非线性振动现象，常见于刚度非线性系统。在超谐共振过程中，基频振动的一部分能量转移到高倍频的振动中维持其振动(高倍频振动的能量源于预先已存在的基频振动)；同时，由于高倍频振动的折减风速更低，气动阻尼为正，高倍频振动的部分能量又被空气耗散掉。因此，高倍频振动相对于基频振动起到了吸能减振的作用(类似于调谐质量阻尼器的作用)，这是在考虑几何非线性效应后大跨度悬索桥的非线性颤振振幅减小的主要物理机制。

4 结论

为降低超大跨桥梁的设计成本和难度，亟需构建能够充分利用后颤振安全裕量的非线性颤振设防标准(即所谓抗风韧性设计)。在此背景下，本文简要介绍了本课题组在节段模型大振幅非线性颤振风洞试验研究，非线性气动力建模和模型参数识别方法，以及三维非线性颤振频域和时域计算理论等方面开展的系统性工作。以国内某初步设计阶段的四主缆双层桁架主梁断面悬索桥为背景，采用风洞试验、理论分析和有限元数值计算相结合的方法研究了该桥的非线性颤振特性，探究了多/全模态气动耦合效应以及几何非线性效应对该桥非线性颤振的影响。主要结论如下：

(1)该双层桁架断面的单自由度扭转系统和两自由度竖向扭转耦合系统都表现为典型的非线性极限环颤振行为，且两自由度系统的颤振临界点不仅低于单自由度系统，同时稳态振幅也大于单自由度系统，其原因在于竖向自由度引入了耦合气动负阻尼；耦合气动负阻尼随风速的增加而增大，其受振幅，竖向运动参与程度的影响很小，是一个偏线性的阻尼，因此，不能因竖向自由度运动参与程度低而简单地将两自由度系统简化为单自由度系统。另外，气动非线性随着风速的增加而变得越来越强，该气动非线性主要贡献给了非耦合气动阻尼，使得非耦合气动阻尼随着风速的增加表现出越来越显著的幅变特性，因此非耦合气动负阻尼的强非线性是触发极限环颤振的关键气动因素，而偏线性的耦合气动负阻尼则主要起到了降低系统稳定性，增大稳态振幅的作用。

(2)发展了一种基于节段模型自由振动风洞试验的位移响应识别幅变颤振导数的方法，采用该方法识别的幅变颤振导数能够准确预测原结构动力参数和变结构动力参数下的非线性颤振响应，可见方法是准确可行的。另外，除了方法的准确可行，新型大幅自由振动装置的辅助加持也使得识别的参数精度更高，振幅范围更大。

(3)建立了可考虑多/全模态气动耦合效应的三维非线性颤振响应频域快速预测方法，多模态气动耦合效应对非线性颤振的振幅和三维振幅形态都有显著影响，如不考虑将显著低估大跨桥梁的非线性颤振振幅，并可能错误评估其三维振动形态。另外，多模态方法的模态选择具有经验性，往往会忽略潜在的对三维非线性颤振有贡献的较高阶的模态，尽管这些高阶模态的参与幅值很小，但是当振幅足够大时，其对模态阻尼的影响也可能足够显著，如忽视将低估颤振振幅，因此，在振幅较大时，全阶模态分析是有必要的。

(4)几何非线性效应会随着振幅的增长逐渐越来越显著，并会诱发 “超谐共振”行为，主要表现为在主梁竖向和扭转两个方向出现以高阶振型进行的高倍频多频振动，且振幅越大其超谐共振行为越明显。在超谐共振过程中，基频振动的一部分能量逐渐转移到高倍频的振动中维持其振动，同时，由于高倍频振动的折减风速更低，气动阻尼为正，高倍频振动的部分能量又被空气耗散掉，因此，高倍频振动相对于基频振动起到了吸能减振的作用(类似于调谐质量阻尼器的作用)，这是在考虑几何非线性效应后大跨度悬索桥的非线性颤振振幅减小的主要物理机制。