Janus-Helmholtz 换能器的振动模态谐振频率理论分析研究

2024-02-21张羿双桑永杰1陈永耀1吴帅

物理学报 2024年3期

关键词：振子换能器谐振

张羿双桑永杰1)2)† 陈永耀1)4)‡ 吴帅

1) (哈尔滨工程大学,水声技术全国重点实验室,哈尔滨 150001)

2) (海洋信息获取与安全工业和信息化部重点实验室(哈尔滨工程大学),哈尔滨 150001)

3) (哈尔滨工程大学水声工程学院,哈尔滨 150001)

4) (青岛哈尔滨工程大学创新发展中心,青岛 266000)

1 引言

目前,水声换能器正朝着低频、大功率、小型化、宽带和深水工作的趋势发展[1].常见的几种水声换能器,如Tonpilz 换能器、弯张换能器、圆环换能器以及电动式换能器等,均无法同时满足低频、大功率、小尺寸、宽带、深水工作的需求.Tonpilz换能器具有大功率、宽带和深水工作的特性,但低频Tonpilz 换能器体积庞大;弯张换能器能够以小尺寸实现低频、大功率发射,但工作深度受限;电动式换能器体积小、重量轻且能宽带发射,但效率低并且工作深度不足.

20 世纪90 年代,Le Gall 等提出的Janus-Helmholtz 换能器兼具了低频、大功率、宽带、深水工作等特点[2–6],使得其在远距离声通信、深海地质勘探等领域得到了广泛应用[7,8].Janus-Helmholtz 换能器主要结构包括一只Janus 换能器和两个圆筒形腔体.其中Janus 换能器是由辐射盖板、预应力螺栓、PZT 晶堆和中间质量块构成的双面辐射纵振动换能器.Janus-Helmholtz 换能器在水中工作时,导纳曲线上出现两种谐振,其一为驱动振子谐振,即Janus 换能器的纵向模态谐振,其二为Helmholtz 谐振腔的液腔模态谐振.液腔谐振由驱动振子激励产生,两种模态谐振耦合使得换能器能够实现宽带发射.由于Janus-Helmholtz 换能器结构上的溢流特点,其工作深度可达数千米.目前,国内外学者对基于Janus-Helmholtz 换能器的基础结构,提出了多种创新结构以适应更广泛的应用领域.张振雨等[9]研究了顺性管对两种谐振频率和带宽的影响;伊子旭等[10]提出了一种具有宽体液腔的Janus-Helmholtz 换能器来增强两种谐振的耦合;李世平等[11]研究了由压电陶瓷圆管和Janus共同驱动的Janus-Helmholtz 换能器的性能;桑永杰等[12]提出通过增加外液腔来拓展换能器的工作带宽,还设计了一种外液腔Janus-Helmholtz 换能器以改善径向辐射的性能[13].

上述研究中均认为Janus-Helmholtz 换能器的导纳曲线上,在低频处的第1 个谐振为液腔谐振,而高频处的第2 个谐振是驱动振子的纵向谐振.这种结论产生的原因主要有:

1) Janus-Helmholtz 换能器的液腔形状并非经典的Helmholtz 结构,难以利用经典结构的谐振频率公式求解精确的液腔谐振频率数值解.研究者主要基于先验知识来判断Helmholtz 液腔谐振: 由于腔体内流体的体积模量远低于驱动振子的弹性模量,因此液腔谐振频率通常低于驱动振子的谐振频率.

2) 电导曲线的第1 个谐振峰比较尖锐,这与液腔谐振的特性相符.此外,电导曲线的第1 个谐振频率远低于Janus 换能器在空气中的纵向振动的谐振频率.基于传统纵振动换能器的研究结果,纵振动换能器的纵向谐振频率不会在水中大幅度下降.

然而,实验结果显示上述结论存在疑点.Le Gall 等[4]在Helmholtz 谐振腔中填充了顺性管后实验研究发现,第2 个谐振频率受顺性管数量的影响明显.考虑到顺性管对谐振腔内流体的等效顺性有显著影响,而流体的等效顺性是决定液腔谐振频率的关键参数,他们就两个谐振频率提出了一种新的解释: 两个谐振均为纵向振动与液腔振动的耦合谐振,谐振腔内流体的质量和驱动振子的弹性模量对第1 个谐振频率起主要影响作用,而驱动振子的动态质量和腔体的弹性模量则主要对第2 个谐振频率产生影响.遗憾的是,文中并未对这一猜测提供合理的解释.

本文基于一个Janus-Helmholtz 样机模型,使用等效电路法和有限元法确定了Janus-Helmholtz换能器中两种模态的位置关系,进而对驱动振子在水中的谐振频率大幅度下降、大尺寸腔体的Helmholtz 液腔谐振频率较高等现象给出解释.研究结果可以加深对Janus-Helmholtz 换能器结构及性能特点的理解,并且对改善Janus-Helmholtz 换能器的性能提供技术支持.

2 Janus-Helmholtz 换能器样机

本文用到的Janus-Helmholtz 换能器样机的结构示意图以及照片分别如图1(a),(b)所示.文献[14]中已对换能器样机的性能参数进行详细阐述.两个不锈钢腔体通过3 个T 形支架与Janus在换能器的节面相连.腔体的内壁与辐射盖板的外边沿之间留有一道3 mm 的狭缝,以确保辐射盖板的自由边界条件.压电晶堆通过聚氨酯包覆来实现水密.换能器的尺寸标识符号如图2 所示.换能器的主要结构尺寸和使用材质的性能参数如表1—表3 所列.样机的总长度和最大直径分别为0.436 m和0.316 m.

表1 换能器的尺寸(单位: m)Table 1. Dimensions of the transducer (Unit: m).

表2 换能器金属部分的材料属性Table 2. Material properties of metal used in the transducer.

表3 压电晶堆PZT-4 的材料属性Table 3. Material properties of PZT-4 used in the transducer.

图1 换能器样机的结构示意图及照片 (a) 结构示意图;(b) 照片Fig.1.Structure diagram and photo of the prototype: (a) Structure diagram;(b) photo.

图2 换能器的1/2 模型及其尺寸标识Fig.2.Half transducer and its dimensions.

在外场测试了换能器样机的导纳、发送电压响应、声源级以及指向性,测试深度40 m.电导曲线的仿真结果以及测试结果如图3 所示.对比曲线可知,测试结果与仿真结果符合较好.电导曲线的测试结果显示,第1 个谐振频率为1155 Hz,第2 个谐振频率为2303 Hz.依据传统的观点解释,第1个谐振为Helmholtz 液腔谐振,而第2 个谐振为驱动振子纵向谐振.

图3 电导测试及仿真结果Fig.3.Test and simulation results of conductivity.

3 驱动振子纵向振动谐振频率分析

使用有限元方法对空气中的驱动振子谐振频率进行分析.使用ANSYS 软件建立Janus 换能器的二分之一轴对称模型,并进行空气中的模态分析和谐波响应分析,空气中分析时忽略辐射面的辐射质量,在中间质量块的中心线上施加对称边界条件.仿真得到的模态和电导纳曲线分别如图4(a)和图4(b)所示.模态分析结果显示,由于Janus 换能器的圆锥形辐射面较大,纵振动模态在辐射面处呈现了弯曲振动的成分,后续的将辐射面视为圆面活塞模型具有一定的近似性.有限元分析结果显示,空气中的驱动振子谐振频率为2241 Hz.

图4 换能器空气中的有限元分析结果 (a) 模态分析结果;(b) 电导纳曲线Fig.4.Modal analysis results and admittance curves of the Janus-Helmholtz transducer in air: (a) Modal analysis result;(b) admittance curves.

根据声辐射理论,在水中的纵向振动谐振频率由于辐射质量的存在应该有所降低,图3 中电导曲线的第2 个谐振频率为2303 Hz,却大于空气中的谐振频率值,因此第2 个谐振频率为Janus 纵向振动谐振频率是存疑的.但如果第1 个谐振频率为Janus 换能器在水中的纵向振动谐振频率,比起空气中的谐振频率几乎降低了一半,这不符合对于纵振动换能器传统的认识: 水中的辐射质量并不会显著地改变纵振动换能器的谐振频率.表4 列出了文献[12,13,15–17]中有关纵振动换能器在空气中和水中的谐振频率比较.可以看出,通常纵振动换能器在水中的谐振频率较空气中有所下降,但不会像Janus-Helmholtz 换能器那样,几乎下降了一半.

表4 几种纵振动换能器空气中和水中谐振频率的比较Table 4. Comparison of resonance frequencies of several typical longitudinal vibration transducers in air and water.

接下来的分析中,将使用Janus 换能器的四端网络等效电路来计算驱动振子水中的谐振频率.由于Janus 换能器具有结构对称性,并且节面在中间质量块的中心线上,因此仅考虑Janus 换能器的二分之一模型.Janus 换能器的二分之一模型可以分成如图2 所示的若干部分.忽略各部分的孔洞及预应力螺杆,并且仅考虑一维的纵向振动.每个部分的结构尺寸和材料属性分别如表1—表3 所列.

Janus 换能器的机电等效图如图5 所示.从左至右的T 形网络分别对应中间质量块、压电晶堆以及辐射盖板的过渡部分、圆锥部分和圆柱部分.Zr为辐射盖板的辐射阻抗.

图5 水中1/2 Janus 换能器的机电等效图Fig.5.Electromechanical equivalent circuit of the half Janus transducer in water.

在图5 中,R0=105Ω 和Zm0=50 Ω 分别是换能器的介电损耗阻和机械损耗,二者均为经验值.C0和φ分别为压电晶堆的静态电容和机电转换系数,可分别表示为

其中S2为压电陶瓷片的横截面积,与辐射盖板较小一侧的横截面积相等分别为PZT-4 的机电耦合系数、介电常数和柔性系数;t0=0.005 m 为压电陶瓷片的厚度.

图5 中其余各个部分的表达式如下[18,19]:

其中ρi,ci和ki分别为换能器各部分所使用材料的密度、声速和波数;ρw,cw和kw分别为水的密度、声速和波数;S1为中间质量块的横截面积;S3为辐射面的面积; J1(x) 为一阶贝塞尔函数;H1(x)为一阶汉克尔函数.

Janus 换能器的电导纳可以写成如下形式:

式中,Zm是Janus 换能器机械端的阻抗,它可由(10)式—(13)式计算得到

由(9)式计算得到Janus 换能器在水中的理论电导纳,结果如图6 所示.Janus 换能器在水中的纵向谐振频率为1460 Hz,该结果与Janus-Helmholtz 换能器仿真及测试的电导曲线的第1 个谐振频率较为接近,而与第2 个谐振频率相差较大.在理论计算过程中,忽略了大尺寸辐射盖板的弯曲振动,弯曲振动的耦合效应会降低纵向谐振频率,并且使结果更接近仿真及测试曲线的第1 个谐振频率.

图6 基于四端网络等效电路理论计算得到的水中电导纳曲线Fig.6.Theoretical result of admittance in water using fourterminal network equivalent circuit.

上述理论分析中,在计算辐射质量时用到了如下几个假设: 1) 辐射盖板前、后表面的面积是相等的;2) 辐射面视为无限大刚性障板上的活塞辐射模型;3)两个辐射盖板之间不存在互辐射.而在实际情况下,这3 个假设并不能全部满足,所以计算得到的辐射质量并不精确.接下来通过有限元法确定空气中Janus 换能器等效电路中的参数以及水中4 个辐射面的辐射质量,并将理论与仿真结果结合来计算水中的纵向谐振频率.该方法考虑了两个辐射盖板间的互辐射并且在结构尺寸上没有限制,因此得到的计算结果是精确的.

对Janus 换能器进行空气中的谐波响应分析,得到的电导纳曲线如图4(b)所示.空气中Janus 换能器在纵向谐振频率附近的等效电路图如图7(a)所示.

图7 空气中Janus 换能器的等效图 (a)等效电路图;(b)机电等效图Fig.7.Equivalent circuit of the Janus transducer in air:(a) Electrical equivalent circuit;(b) electromechanical equivalent circuit.

根据图4(b)所示电导曲线,可分别求得图7(a)中的等效电阻Re、等效电容Ce以及等效电感Le[20]:

其中Q为机械品质因数;fr为纵向谐振频率;f1和f2为半功率点频率,即对应G1=G2=0.707Gmax的两个频点.

将等效电路图转化为图7(b)所示的机电等效图,其中机械损耗阻Rm、等效机械柔顺系数Cm,以及等效机械质量Mm分别为

其中φ=13.16 由(2)式计算得到.

当换能器在水中工作时,水介质引入的辐射抗仅为质量抗,机电等效图中辐射阻Rr与4 个辐射面的辐射质量Mr串联连接.如图8 所示为Janus换能器在水中的机电等效图.

图8 水中Janus 换能器的机电等效图Fig.8.Electromechanical equivalent circuit of the Janus transducer in water.

为研究辐射质量,通过水中的谐波响应分析提取4 个辐射面的平均位移u和压强p(r),求解水对辐射面的反作用力[21]:

辐射阻抗Zr可以表示为

其中v=jωu为辐射面的平均速度,r为每个辐射面的半径.

辐射质量计算式为

在第1 个谐振频率处4 个辐射面上的辐射质量为33.2 kg.根据

计算得到Janus 换能器的纵向谐振频率,相比理论结果1460 Hz,(24)式计算得到的结果与仿真结果1140 Hz 和测试结果1155 Hz 更为接近.

根据上述分析,第1 个谐振应为驱动振子谐振.同时,也可以看出,空气中和水中的谐振频率几乎相差一倍,有必要对水中驱动振子谐振频率大幅度下降的现象做出解释.

图9 比较了Janus-Helmholtz 换能器和典型纵振动换能器的结构差异.典型的纵振动换能器辐射面较小,可以看作是无限大刚性障板上的单面活塞.Janus 换能器辐射面积较大,并且4 个辐射面均参与了声辐射.因此,两种结构的辐射质量存在显著差异.

图9 Janus-Helmholtz 换能器与典型纵振动换能器的结构对比 (a) Janus-Helmholtz 换能器结构示意图;(b) 典型纵振动换能器结构示意图Fig.9.Structural comparison between Janus-Helmholtz transducer and typical longitudinal vibration transducer:(a) Structure diagram of Janus-Helmholtz transducer;(b) structure diagram of typical longitudinal vibration transducer.

根据(8)式,4 个辐射面上总的辐射质量Mr为

在谐振频率处,4 个辐射面总的辐射质量达到28.7 kg.(20)式中,Janus 换能器自身的等效机械质量为14.85 kg,由水中的声辐射引入的辐射质量是等效机械质量的近两倍.

根据(25)式计算的Janus 换能器和典型纵振动换能器辐射质量的比较如图10 所示,其中典型纵振动换能器只有一个面参与声辐射,且辐射面半径为Janus 换能器的一半.图10 结果表明,Janus 换能器的辐射质量远高于典型纵振动换能器,这也就解释了表4 数据结果,相比于典型纵振动换能器,Janus 换能器在水中的纵向谐振频率大幅度降低.

图10 Janus 换能器和典型纵振动换能器辐射质量的比较Fig.10.Radiation mass comparison between Janus transducer and typical longitudinal transducer.

机械品质因数Q与辐射质量Mr存在如下关系:由(26)式可知,较大的辐射质量会大幅度增大水中纵向振动模态的机械品质因数,这是造成Janus-Helmholtz 换能器电导曲线在纵向谐振频率附近峰值尖锐的主要原因.

4 Helmholtz 液腔谐振的分析

Janus-Helmholtz 换能器中的液谐振腔形状较为特别,长期以来缺乏相关的理论分析求出液腔谐振频率的解析解.近年来,由于有限元在水声换能器设计领域的广泛应用,使得利用有限元软件求解复杂结构液腔谐振频率成为了可能.本文使用ANSYS 软件来分析Helmholtz 液腔振动模态,求解其谐振频率.

图1(b)中样机的支撑部件与Janus 换能器在节点平面相连.这些支撑部件对Janus 换能器的谐振频率影响较小,且由于支撑部件的尺寸远小于水中波长,不会对声辐射造成影响.为节省计算时间,在有限元建模中忽略支撑部件,并且仅建立二维轴对称模型.图11(a)是腔体充液的换能器有限元模型,模型包含Janus 换能器,两个腔体和腔体内的流体.在流体与结构体的交界处施加流固耦合边界条件,在液腔辐射面处施加声压为零边界条件.使用非对称的模态频率提取方法提取液腔的谐振频率和液腔模态的声压分布.仿真分析的第1 个Helmholtz 液腔谐振模态的声压分布如图11(b)所示,谐振频率为2598 Hz,与测试曲线的第1 个谐振频率相差较大.

图11 腔体充液换能器的有限元模型与模态分析结果 (a)有限元模型;(b) 模态分析结果Fig.11.Finite element model and acoustic modal analysis result of the Helmholtz resonator: (a) Finite element model;(b) acoustic modal analysis results.

在上述模态分析过程中,由于软件求解的要求,未对外部流体进行建模,因此接下来对辐射口处的辐射质量进行求解以修正辐射口的长度,以模拟Helmholtz 谐振腔的精确尺寸.研究中采用有限元分析的方法,在图11(b)所示结构基础上建立流体中的有限元模型,在辐射面处的单元上赋予结构自由度并设置法向振速v,求解辐射面处的声压p频响结果,获取该镶嵌在有限长圆柱体上的径向辐射器的辐射阻抗其中S0为液腔的辐射面积,分离虚部并除以角频率获得辐射质量为4.37 kg,则可求出辐射口的修正长度为25.46 mm.辐射口修正长度后的有限元模型以及模态分析结果分别如图12(a),(b)所示.Helmholtz 液腔谐振频率为2277 Hz,与测试电导纳曲线的第2 个谐振频率2303 Hz 基本一致.综上所述,第2 个谐振为Helmholtz 液腔谐振.

图12 辐射口修正长度后的有限元模型与模态分析结果 (a) 有限元模型;(b) 模态分析结果Fig.12.Finite element model with radiation mass and analysis results of the Helmholtz resonator: (a) Finite element model;(b) acoustic modal analysis results.

图12(b)声压分布揭示了一个有趣的现象,声压沿换能器的对称平面呈对称分布,并且由两个辐射盖板的背面向辐射口逐渐降低.因此,可以判断,每个腔体包围的流体形成了一个单独的Helmholtz 共振腔,即Janus-Helmholtz 换能器里存在两个尺寸相同、呈面对面放置的液腔.当忽略两个液腔之间的互辐射时,Janus-Helmholtz 换能器的液腔谐振频率和由一只腔体构成的液腔谐振频率基本上是相等的,如图13(a)所示.在之前的研究中将换能器中的液腔形状视为经典的Helmholtz谐振腔结构(图13(b))来求解液腔谐振频率的等效方法是不合理的.

图13 求解Helmholtz 液腔谐振频率的两种等效方法 (a) 正确的等效方法;(b) 错误的等效方法Fig.13.Two equivalents for solving the Helmholtz resonance frequency: (a) Correct equivalent;(b) incorrect equivalent.

如图14(a)所示,若两个腔体的长度不一致,则在电导曲线的第2 个谐振频率附近将会出现两个峰.图14(b)有限元分析结果验证了这一猜想,进一步证明了第2 个谐振为Helmholtz 液腔谐振.

图14 腔体长度不等的Janus-Helmholtz 换能器结构示意图及谐波响应仿真结果 (a) 结构示意图;(b) 谐波响应仿真结果Fig.14.Janus-Helmholtz transducer with unequal length housings and harmonic analysis simulation results: (a) Structure diagram;(b) harmonic analysis simulation results.