立足“新定义” 着力“新探究”

［摘 要］文章对2024年河南省中考数学第23题进行解法研究，并从两个方面对该试题进行评价：一是“新定义”重在理解，“新探究”彰显能力；二是新情境素养立意，巧设问自主画图。此外，还基于“考教结合”原则，提出在教学过程中应注重数学概念的理解，加强数学思想的引领，重视综合与实践活动的开展，旨在实现以考促教、以考促学的目标。

［关键词］新定义；新探究；中考题

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0004-03

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出，试题结构要提高探究性、开放性、综合性试题比例。探究性试题既注重考查基础知识、基本技能，又注重考查分析问题、解决问题的能力。对中考题进行研究能深化学生对基础知识的理解，有助于学生数学思维品质的提升。

一、试题呈现

（2024年河南省中考数学第23题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验。请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究。

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形。

（1）操作判断

用分别含有[30°]和[45°]角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有" " " " " " " " （填序号）。

（2）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质。下面研究与对角线相关的性质。

如图2，四边形[ABCD]是邻等对补四边形，[AB=AD]，[AC]是它的一条对角线。

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若[BC=m]，[DC=n]，[∠BCD=2θ]，求[AC]的长（用含[m]，[n]，[θ]的式子表示）。

（3）拓展应用

如图3，在[Rt△ABC]中，[∠B=90°]，[AB=3]，[BC=4]，分别在边[BC]，[AC]上取点[M]，[N]，使四边形[ABMN]是邻等对补四边形。当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出[BN]的长。

二、试题解法研究

本题为几何新定义探究题，探究路径为“定义—性质—应用”，具有很强的探究性和开放性。一道好的考题应能同时发挥评价和导向的双重功能，对中考题解法的研究，不仅能拓宽教学路径，还能有效实现以考促教、以考促学的目标。

本题第（1）问的答案（即②④）容易根据题设中给出的邻等对补四边形定义直接得出，因此本文对此不再赘述。下面重点从不同思路出发对第（2）问和第（3）问进行分析，并给出以下不同的解法。

针对第（2）问中的第①小问。

思路1：基于“截长补短”构造全等三角形。

解法1：如图4，延长[CB]至点[E]，使[BE=DC]，连接[AE]。因为四边形[ABCD]是邻等对补四边形，所以[∠D+∠ABC=180°]；因为[∠ABE+∠ABC=180°]，所以[∠ABE=∠D]；又因为[AB=AD]，得[△ABE] ≌[△ADC]（SAS），于是有[∠E=∠ACD]，[AE=AC]，所以[∠E=∠ACB]，所以[∠ACD=∠ACB]。

思路2：基于旋转构造全等三角形。

解法2：如图4，将[△ADC]绕点[A]顺时针旋转，得到[△ABE]，由旋转的性质得[∠E=∠ACD]，[∠ABE=∠D]，[AE=AC]。因为四边形[ABCD]是邻等对补四边形，所以[∠D+∠ABC=180°]，于是[∠ABE+∠ABC=180°]，故[C]，[B]，[E]三点共线。因为[AE=AC]，所以[∠E=∠ACB]，故[∠ACD=∠ACB]。

解法3：如图5，将[△ABC]绕点[A]逆时针旋转，得到[△ADE]，同解法2可证[∠ACD=∠ACB]。

思路3：构造辅助圆。

解法4：如图6，[因为]四边形[ABCD]是邻等对补四边形，所以[∠B+∠D=180°]，所以点[A]，[B]，[C]，[D]四点共圆，因为[AB=AD]，所以[AB=AD]，所以[∠ACD=∠ACB]。

思路4：基于角平分线的判定构造全等三角形。

解法5：如图7，作[AE⊥BC]于点[E]，作[AF⊥CD]，交[CD]的延长线于点[F]，所以[∠AEB=∠F=90°]，因为四边形[ABCD]是邻等对补四边形，所以[∠ADC+∠B=180°]，又因为[∠ADC+∠ADF=180°]，所以[∠B=∠ADF]。因为[AB=AD]，所以[△ABE ]≌[△ADF]（AAS），所以[AE=AF]，又因为[AE⊥BC]，[AF⊥DF]，所以[CA]平分[∠BCD]，即[∠ACB=∠ACD]。

针对第（2）问中的第②小问。

思路1：基于“三线合一”构造直角三角形。

解法1：如图8，在第（2）问的第①小问的解法1、解法2的图形（图4）上作[AF⊥BC]于点[F]，由第（2）的第①小问得[BE=DC=n]，[∠ACB=12∠BCD=θ]，[AE=AC]，所以[CF=12CE=12（BC+BE）=m+n2]，所以在[Rt△AFC]中，[AC=CFcos∠ACF=m+n2cosθ]。

思路2：基于角平分线的性质构造全等三角形。

解法2：如图9，过点[A]分别作[AE⊥BC]于点[E]，[AF⊥CD]于点[F]由第（2）问的第①小问得[∠ACB=12∠BCD=θ]，所以[AE=AF]，又因为[AB=AD]，可证[△ABE ]≌[△ADF]（HL），所以[BE=DF]，所以[CE+CF=CE+DF+CD=CE+BE+CD=BC+CD=m+n]。易证[△AEC ]≌[△AFC]，所以[所以][CE=CF]，所以[CE=m+n2]，所以在[Rt△AEC]中，[AC=CEcos∠ACE=m+n2cosθ]。

针对第（3）问。

由已知条件及勾股定理容易求得[AC=5]，[sinA=45]，[sinC=35]因为四边形[ABMN]是邻等对补四边形，所以[∠ABM+∠ANM=180°]，可以得到[∠ANM=90°]，分情况讨论：

1.当[AB=BM]时

思路1：基于三角函数构造直角三角形。

解法1：如图10，在[BC]上截取[BM=3]，作[MN⊥AC]于点[N]，连接[BN]。由第（2）问中的第①小问得[∠ANB=∠MNB=45°]，作[BD⊥AC]于点[D]，在[Rt△ADB]中，[BD=AB·sinA=3×45=125]，在[Rt△BDN]中，[BN=BDsin∠DNB=12522=1225]。

思路2：基于探究结论求解。

解法2：如图11，取[BM=3]，[CM=1]，所以在[Rt△CNM]中，[MN=CM·sinC=1×35=35]，[CN=CM·cosC=1×45=45，]所以[AN=5-45=215]。根据第（2）问中的第②小问探究结论[BN=m+n2cosθ]，令[m=35]，[n=215]，[θ=45°]，[BN=m+n2cosθ=35+2152cos45°=1225]。

2.当[MN=NA]时

思路1：基于三角函数构造直角三角形。

解法1：如图12，在[BC]上取一点[M]，使[∠CAM=45°]；作[MN⊥AC]于点[N]，连接[BN]。根据第（2）问中的第①小问得[∠ABN=∠CBN=45°]，作[ND⊥BC]于点[D]。在[Rt△BDN]中，设[BD=ND=x]，则[BN=2x]，[CD=4-x]，在[Rt△CDN]中，[tanC=NDCD=34]，所以[x4-x=34]，解得[x=127]，所以[BN=1227]。

思路2：基于探究结论求解。

解法2：如图13，在[Rt△AMN]中设[AN=MN=x]，则[CN=5-x]，在[Rt△CMN]中，[tanC=MNCN=34]，所以[x5-x=34]，解得[x=157]，所以[MN=157]，[CM=MNsinC=15735=257]，所以[BM=4-257=37]，根据第（2）问中的第②小问的探究结论得[BN=AB+BM2cos∠ABN]，所以[BN=3+372cos45°=1227]。

3.当[BM=MN]时

思路：利用角平分线构造全等三角形。

解法：如图14，作[∠BAC]的角平分线，交[BC]于点[M]；作[MN⊥AC]于点[N]，连接[BN]，可证[△ABM ]≌[△ANM]（AAS），所以[AB=AN]。与题意不符，此种情况舍去。

4.当[AB=AN]时

同“当[BM=MN]时”思路，可证这种情况与题意不符，此种情况舍去。

综上所述，[BN]的长为[1225或1227]。

三、试题评价

（一）“新定义”重在理解，“新探究”彰显能力

本题属于“新定义”类型题，旨在让学生在已有的几何图形知识和经验的基础上，对新定义“邻等对补四边形”进行探究，从而考查学生的几何分析、探究、应用能力。本题通过问题设计逐步引导学生进行探究：第（1）问是概念辨析，第（2）问是性质探究，而第（3）问则要求学生综合运用所学性质解决问题。本题不仅考查了学生适应新情境、接受新知识、认识新事物的能力，还考查了学生的阅读理解能力、自主学习能力，以及数据处理、新知识迁移和应用能力。本题旨在培养学生的几何直观、空间想象和逻辑推理能力。

（二）新情境素养立意，巧设问自主画图

本题以“新定义”为情境载体，旨在考查学生即时适应新情境的能力、即时探究新知的能力以及即时应用结论的能力。同时，通过让学生在新情境中体验数学研究过程，发展数学素养。特别是第（3）问在给定四边形[ABMN]是邻等对补四边形的前提下，要求求出[BN]的长。这需要学生根据邻等对补四边形的定义，以“一组邻边相等”为分类条件进行自主画图。这一过程考查了学生的几何直观能力、空间想象能力、阅读理解能力、逻辑推理能力以及作图能力等。

四、教学导向

（一）关注数学概念的理解

在实际教学中，教师应加强数学概念的教学，通过数学概念的引入、明确、辨析和应用等环节，提升学生对数学概念的理解和感知能力。只有当学生充分理解“新定义”问题中涉及的概念，他们才能明确“新定义”成立的条件，并运用新的解题思路进行“新探究”。

（二）注重数学思想的引领

教师在教学过程中应着重渗透数学思想。几何图形的“新定义”问题，需要学生在已建立的几何图形知识体系的基础上，对引入的新概念及其性质进行研究。通过理解新的几何图形概念、探究其性质、运用其性质解决新问题，可有效渗透数形结合思想，发展学生的空间想象能力和几何直观能力。教学中，教师还应注重培养学生分类讨论的意识与习惯。通过渗透分类讨论思想，引导学生在解决“新定义”问题时根据概念的条件进行分类讨论，以找出所有可能结果。

（三）重视综合与实践活动的开展

中考数学以解决实际问题为导向，其中以真实问题、真实情境为载体的综合与实践类题型的分值在逐年增加。因此，数学课堂教学应重视教材中的“综合实践”内容，深入挖掘教学素材，以培养学生的应用意识、创新意识、建模能力以及实践能力，提升他们分析和解决实际问题的能力。同时，应注重开展跨学科融合教学，引导学生整合各学科知识，培养跨学科解决问题的能力。

综上所述，教师应加强对“新定义”题型的解题教学，引导学生在分析、理解、感悟问题的基础上培养抽象能力和模型观念，提升分析问题与解决问题的能力。

（责任编辑" " 梁桂广）