精析结构 多解探究 关注思维 寻根探源——一道联考压轴题的解法探究与背景探源

巨小鹏

(陕西省汉中市龙岗学校,陕西 汉中 723102)

解析几何问题中,几何是思考的起点和终点,也是问题的缘起和归宿,代数化和“几何”特征是解决几何问题的工具.加深几何特征和曲线与方程有关概念的理解,从不同角度分析其几何结构,并寻求其思维方法根源,将解决问题思维结构化,以提升“猜想证明、化归转化、直观想象、数学运算、严谨逻辑推理和探索实践应用”等关键能力为目标,内化数学核心素养[1].

1 试题呈现

2 试题分析与解答

2.1 第(1)问解析

在△OPF1中,根据余弦定理,得

即3c2=7a2.

解法3(中线定理+余弦定理视角) 根据解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根据三角形中线定理,得

解法4(辅助线视角1) 根据解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

过点P作PH⊥F1F2于点H,则

在Rt△PHF1中,根据勾股定理,得

解法5(辅助线视角2) 根据解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

图1 解法5示意图

解法8(张角定理视角) 根据解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根据张角定理,得

又因为S△POF1=S△POF2,

所以|PF1|=2b.

根据正弦定理,得

2.2 第(2)问解析

图2 第(2)问解析图

代入b2x2-a2y2=0,化简,得

所以-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0.

即x2-2x0x+a2=0.

所以x1x2=a2.

评注设出P(x1,y1),Q(x2,y2),破题关键要利用过双曲线上一点的切线方程联立渐近线方程,根据韦达定理求得x1x2=a2,进而利用三角形面积解决问题,当然此题也可进行仿射变换仿射成反比例函数解决,不再赘述.本题是一类特殊的中心三角形,即双曲线的渐近线与切线围成的三角形称为渐切三角形.

3 试题背景探源

3.1 渐切三角形问题

(1)切点M为P,Q中点;

(2)△OPQ的面积为定值ab[2];

(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2b2=0.

即切点M为P,Q中点.

(2)当切线斜率不存在时,即x=±a,此时△OPQ的面积为定值ab;

当切线斜率存在时,证明参考2023届T8联考16题第二空解法.

3.2 高考试题背景探源

(1)求双曲线E的离心率;

(2)如图3,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一,四象限),且△AOB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.

图3 2014年高考福建理科19题图

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.

又因为△OAB的面积为8,

即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因为4-k2<0,所以△=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).

又因为m2=4(k2-4),所以△=0.

即l与双曲线E有且只有一个公共点.

4 结束语

本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系和渐切三角形的面积表示,考查学生对基本概念和基本性质的理解以及数学运算等核心素养.2015年湖北理科21题考查了椭圆中渐切三角形问题,后期会继续进行探究.