高考数学解题中数形结合思想的应用

赵世鹏

(武夷山市第二中学,福建 武夷山 354300)

数形结合思想是数学语言和直观图形的有机结合,能够在解题中通过图形性质来说明数的事实,或者用数的精准性来阐明图的某些特征.驱使学生把抽象思维和直观思想整合起来,从不同视角分析和思考问题,使其形成新的解题思想,拓展他们的解题思路.高中数学教师在平常的解题训练中应指导学生准确应用数形结合思想,把数和形巧妙结合到一起灵活运用,使其把抽象化、复杂化的数学试题变得具体化、简单化,有效提高他们的解题效率[1].

1 由数到形的转换途径

在高考数学解题训练中,要想更好地应用数形结合思想,教师首先需指导学生学会从数到形进行转化,能够解决以下三个方面的数学试题.

(1)处理方程或者不等式问题时,应用数形结合思想能够将问题转化成两个图象的交点位置关系问题,然后结合函数的图象和性质展开解答.通过由数到形的转化,把文字性内容变得直观化,学生可以直接观察函数图象同坐标轴的交点情况,或者根据方程对应的函数图象找出不等式、不等式组,他们再结合这方面的知识展开解题,最终快速、准确地求得结果[2].

A.b<0,c>0 B.b>0,c<0

C.b<0,c=0 D.b≥0,c=0

解析结合题干中提供的已知信息可以画出函数f(x)的图象,如图1所示.通过对图象的观察和分析可知,由于关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0存在7个不同的实数解,所以当f(x)=0时需要有3个解,f(x)≠0时需要有4个解,由此能够确定当b<0,c=0时满足题设条件,故选C.

图1 例2题图

图1 例1解析图

(2)集合作为学生步入高中阶段以后接触到的第一个数学知识点,虽然难度一般,却是学习函数知识的前奏与基础,也是高考数学中的必考知识点之一.在处理集合类试题时,有时无需计算,可以直接使用韦恩图的方式,也就是对数形结合思想的应用,通常用圆来表示集合,利用两个圆是否相交来判断这两个集合是否存在公共元素,从而省略掉繁杂的计算步骤[3].

例2 如图2所示,I是全集,M,P,S为I的三个子集,那么阴影部分所表示的集合为____.

解析通过对图象的观察、分析和研究能够发现,M∩P的子集与IS的子集均是阴影部分,所以阴影部分集合为(M∩P)∩IS.

(3)解析几何作为高中课程体系中难度相对较大的一类知识,涉及的题目难度也较大,在高考数学试卷中还通常同其他知识联系到一起成为综合题,对学生的解题能力有着较高要求,他们极易陷入困境之中.

例3 已知点P为直线l:3x+4y+8=0上的一个动点,PA与PB为圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B两点是切点,C为圆心,那么四边形PACB的面积最小值是多少?

图3 例3解析图

2 由形到数的转换途径

在高考数学解题教学中,针对数形结合思想的应用,除从数到形这种情形以外,还有一种由形到数的转换,能够解决以下两类试题.

(1)解析法.在高考数学解题教学中,部分题目给出的图形较为简单,通过直接观察很难看出规律所在.这时,教师可以指引学生应用数形结合思想,适当地给图形赋值,像角度和边长等,或者根据题意构建直角坐标系,使其利用坐标之间的代数关系把几何图形表示出来,有助于他们形成明朗、清晰的解题思路.

(2)向量法.由形到数的另外一种表现形式即为向量,利用向量来表示几何图形,结合向量知识解答几何图形中有关夹角与距离等问题,可以达到把抽象几何图形转换成代数计算的效果.

例5 已知平面向量α,β(α≠0,β≠0)满足|β|=1,且α与α-β的夹角是120°,那么|α|的取值范围是什么?

3 数形之间的相互转换

对于高考数学解题教学而言,要想更好地应用数形结合思想,不仅可以采用上述两种途径,实现单向转换,还能够进行数与形之间的双向转换.即在同一道题目中对数形结合思想进行多次使用,将学生的思路变得更为开阔,让他们找到简便的解题思路与方法,使其体会到数形结合思想的妙用.

由裂项相消求和得到S100<3,故选A.

4 结束语

总的来说,在高考数学解题教学活动中,数形结合思想有着极为广阔的应用空间.但教师需意识到数学思想的培养并非一蹴而就,要练习大量的试题,指引学生从以形助数、以数解形、数形互换三个方面切入,驱使他们灵活转变解题思路,快速找到解题的切入点,能够自觉、准确地应用数形结合思想,使其找到解答数学试题的窍门,为高考做好准备.