2021年复旦大学强基计划第3题的多视角解答

李 勇

(贵州省贵阳市息烽县第一中学,贵州 贵阳 551100)

真题呈现AD是△ABC的角平分线,AB=3,AC=8,BC=7,求AD的长.

1 解法探究

视角1 勾股定理求长度.

在非直角三角形中求长度是高中解三角形问题中的一个常见问题.学生往往都是用正、余弦定理来求解,其实有时通过作辅助线——构造直角三角形,然后利用勾股定理求长度也还是比较简单的[1].

解析1过点A作CB的垂线,交CB的延长线于点O.

在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2=9.

在Rt△AOC中,OC2+OA2=AC2=64.

则OC2-OB2=55.

又OC=OB+BC=OB+7,

又BC=BD+DC=7,

视角2正、余弦定理求长度.

正、余弦定理是解三角形问题的两个基本定理.对于在“爪”型三角形中求长度,往往需要在两个或两个以上的三角形中找它们之间的关系(可以是角的关系,也可以是边的关系),借助这种关系在两个或两个以上的三角形中用正、余弦定理来解.但由于选择的关系不同,使用的正、余弦定理也不相同,进而有了不同的思路,不同的解法[2].

在△ABD中,由余弦定理,得

DB2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD.

①

在△ACD中,由余弦定理,得

DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD.

又因为AD是△ABC的角平分线,

所以∠BAD=∠CAD.

所以cos∠BAD=cos∠CAD.

②

在△ABD中,由余弦定理,得

AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠ADB.

③

在△ACD中,由余弦定理,得

AC2=DC2+AD2-2DC·AD·cos∠ADC.

又因为∠ADB+∠ADC=π,

所以∠ADC=π-∠ADB.

所以cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB.

④

在△ABC中,由余弦定理,得

在△ABD中,由余弦定理,得

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB.

因为∠BAC的角平分线交BC于点D,

所以∠BAD=30°.

在△ABD中,由余弦定理,得

DB2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD.

视角3 面积法求长度.

用面积法在“爪”型三角形中求长度,往往需要先弄清楚两个或两个以上的三角形的面积之间的关系,通过关系式明白需要计算哪些三角形的面积,接下来想方设法计算这些三角形的面积,然后把它们代入上面的关系式中即可解出长度.但由于选择的三角形不同,使用的面积公式不同,进而有了不同的解法[3].

因为AD是△ABC的角平分线,

所以∠BAD=∠CAD=30°

因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,

解析7因为AD是△ABC的角平分线,

所以∠BAD=∠CAD.

即8S△ABD=3S△ACD.

设AD=x.

由海伦公式,得

视角4 坐标法求长度.

坐标法是解析几何中的最基本的研究方法.通过坐标系,把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来,从而把几何问题转化为代数问题,再通过代数方法研究几何图形的性质,如长度、夹角等.因此平面几何中的许多问题都可以用坐标法加以解决,但由于建立的坐标系不同,使用的方法也不一样,进而有了不同的解法.

如图1,建立平面直角坐标系.

图1 解析8示意图

⑤

⑥

所以∠BAC=60°.

因为∠BAC的角平分线交BC于点D,

所以∠BAD=∠CAD=30°.

如图2,建立平面直角坐标系,

图2 解析9示意图

因为AB=3,AC=8,

视角5 向量法求长度.

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如长度、夹角等都可以由向量的线性运算和数量积运算表示出来,因此平面几何中的许多问题也都可以用向量运算的方法加以解决.

解析10由三角形的内角平分线定理,得

又因为AB=3,AC=8,即3DC=8BD.

视角6 三角形角平分线长公式求解.

求三角形的角平分线长,除了构造直角三角形用勾股定理求解,正、余弦定理求解,面积法求解,坐标法和向量法求解外,有时还可以直接使用三角形的角平分线长公式求解,不过由于题设中已知条件的不同,导致了公式的不同,解法的不同.

2 结束语

总之,高中教材中是没有角平分线的相关内容的,在初中也是仅仅学了点皮毛,但都还不一定记得.因此,对于绝大多数学生来说,甚至对有些教师来说,在解此类问题时可能也就局限于用高中教材中所学的正、余弦定理等知识来解答,能想到面积法、坐标法、向量法的都是比较少的,而使用这些知识解答往往运算量比较大,耗时较多,所以在非必要的时候,不建议使用,尤其是做选择题、填空题时更是不建议使用.不用它们,有人会问用什么呢?其实与角平分线有关的定理、性质、公式是非常多的,而这些定理、性质、公式需要教师们平时通过读书、看报、上网查阅等途径掌握相关的内容.只有教师掌握了,才能使更多的学生得以掌握,只有学生掌握了,才能在解题中绕开“笨”的方法,采用“秒杀”法,达到优化解题的目的.