指向结构化的“图解复习”——以“垂线与平行线”整理与复习为例

◎ 江苏省南京市浦口区实验学校 张媛媛

《小学数学课程标准（2022版）》指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”无论数量关系还是空间形式都存在于结构之中，我们都需要用数学的眼光和思维探求其中的关系。数量或图形关系能够促进知识结构的建构，结构又能加深图形或数量关系的理解。本文以“垂线与平行线”复习为例，通过结构化的解读、梳理和提炼，让学生认识整体板块、搭建知识模块、整合单元整体，引导学生在夯实图形认识的基础上梳理整体框架，沟通相互联系，进而培养学生触类旁通、自主学习的能力。

一、结构化解读，认识整体板块

结构化解读是基于学生的已有认知和数学知识的逻辑顺序，突出学习内容的结构化，凸显教学的整体性和一致性，使学生在学习过程中形成良好的认知结构、思维结构和能力结构。“垂线与平行线”是苏教版四年级上册第八单元的教学内容，共10个课时，主要内容包括：认识直线和射线，角的认识、度量和分类，认识垂线和平行线。从知识逻辑顺序上，第一部分是基于二年级已学的线段和角，继续认识射线、直线和角，学会角的度量，包括角的分类与画出指定度数的角；第二部分是同一平面内不重合的两条直线的位置关系，垂线与平行线的概念，以及作垂线和平行线的方法。

“垂线与平行线”单元学习序列的最后一课时是“整理与练习”，它是按照“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评价与反思”四个板块来呈现的。“回顾与整理”板块可以引导学生运用“图解复习”的方式回忆旧知，沟通知识之间的联系，促进学生形成合理的认知结构。“练习与应用”板块侧重于通过不同梯度的练习，帮助学生巩固所学内容，增强学生的空间观念，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。“探索与实践”板块，包含动手实践、自主探索、合作交流，让学生在操作中体会角、垂线和平行线的特征，从而对“垂线和平行线”这一单元有一个全新的认识。“评价与反思”板块是对本单元所学知识的过程和方法的提炼与总结，通过自我评价、生生评价、师生评价的形式，培养学生自觉反思的意识，以此激励学生不断增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

二、结构化梳理，搭建知识模块

1.融通“线”的知识，建构图解整理的框架

线的认识是小学数学空间与图形的起源，直线、射线、线段是最简单、最基本的图形，也是研究其他复杂图形的基础。学生在二年级时已初步认识线段，但没有归纳线段的本质特征，因此学生在四年级再次学习有关“线”的知识时需要进一步提炼。苏教版四年级上册第八单元通过寻找线段、射线、直线三种线的联系与区别，让学生深刻理解不同线的特征。复习这一单元知识时，学生应在课前进行自主整理，如利用表格整理、结构图、思维导图等多种方式经历图解整理和融通知识的再现过程，学生分享时可以清晰地说出线段、直线、射线的共同点和不同点。另外，在交流研讨中，学生还会发现射线和线段都是直线的一部分。图解融通以“线”为聚焦点，向端点、长度、形态这三块进行关联、辨析，形成“线”的结构，图解整理的形式一目了然，清晰地呈现三条线的特点，也展现了知识点之间的联系。

2.整理“角”的知识，经历图解比较的过程

“角”的知识在苏教版教材中共涉及两次。第一次是二年级初步认识角，重点落在感悟角的特征，第二次是四年级时学习角，是对角的概念、大小、分类进行了细化，其目的是侧重理解和分析角的性质。基于对教材的整体把握，学生需要对“角”的知识重构和再认识。角是一个简单又重要的平面图形，角究竟如何而来？在二年级第一次接触角时，从结构特征上发现角是由一点引出两条射线所组成图形。四年级再次学习时学生对角有了新认识，从旋转运动上发现角可以看作一条射线绕它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，见图1。像这样从直观到抽象，从静态到动态的螺旋上升，概念升华，正符合小学生的认知发展规律。在复习过程中梳理“角”的来源，理清“角”的延伸，以追本溯源的形式让学生慢慢地理出“角”的知识框架，才能最大限度地促进学生深度学习，延伸学生数学思维，提升学生复习效果。

图1 角的结构图

3.解构“位置关系”，感悟图解分析的意义

对于两条直线的位置关系，学生在生活中已有许多表象的认识，但由于小学生的空间想象能力不够丰富，很难在脑海中架构出不同的位置关系模型。在复习时可以通过两组对比作品（见图2）来真正理解“平行”的本质，以及垂直与相交的关系。在对比作品（1）中，两条线看似不相交，但通过延长发现它们终会相交，这与平行的本质“永不相交”冲突。在对比作品（3）（4）中，两条直线都相交，只是图2（4）的两条线相交成的是直角，也就是说这两条直线不仅相交，而且还是互相垂直的。

图2 角的知识图

学生通过图与图的对比，架构起同一平面内线与线、线与角之间的联系，在对比中激活已有经验，唤醒旧知。学生整体感悟两条直线之间的关系结构图，学习结构图中的局部知识，融通不同概念之间的联系，促进学生思维向深处蔓延生长，学生的思维水平和知识掌握程度在复习中不断变化，由理论的单点结构发展成多元结构。因此，同一平面内线与线之间的“位置关系”在学生脑海中应运而生。

三、结构化提炼，整合单元整体

1.重构单元内容，促进核心素养落地

教师从学生已有认知思维和知识的逻辑顺序出发，基于学习目标、核心内容、教学实施等几个方面引导学生整合单元内容。课前布置任务让学生自主尝试整理，学生围绕核心词“线”“相交”“互相平行”“互相垂直”“角”，初步建立单元框架，如图3。学生通过交流分享和思维碰撞，单元框架在辨析中不断丰富，核心内容之间的内隐关系在学生的剖析中逐渐明确，线的特征、角的形成、位置关系在学生头脑中留下印记，学生的空间观念和推理意识得到发展，课后学生完善自主整理的单元知识图，促进了学生思维的进阶。

图3 垂线与平行线整体框架图

2.勾连关联知识，推进“教学评”一体化

学生通过图解融通的复习过程，已初步架构起线与角的联系，那究竟如何运用这些知识解决思维层面的新问题以及操作层面的新难题，评价习题就显得尤为重要。基于同一数学模型设计两道评价题，如图4所示。

图4 同一数学模型设计两道评价题

学生在做习题1时，发现以A点为起点有线段AB、AC、AD、AE；以B点为起点有线段BC、BD、BE；以C点为起点有线段CD、CE；以D点为起点有线段DE；学生观察并记录得到4＋3＋2＋1。习题2模型类似于习题1，只是由找“线”变为找“角”，基本的数学方法和数学思想是一致的。这样一组系统性、实践性、应用性和反思性的练习，让学生深刻地感受到知识的相通，自然会加深对图形本质属性的理解，从而达到“做一题”而“通一类”的效果，培养学生举一反三的能力。两道评价练习的完成情况恰能反映学生从知识层面的学习到能力层面的培养及应用层面的实践，从而实现教学评的一致性。

3.拓宽知识结构，构建深度学习课堂

深度学习着眼于学生对数学本质的理解，有助于学生思维从低阶向高阶发展，“垂线与平行线”的学习结合学生对角的已有认知，在整理与复习时学生认识到角其实是一个平面图形，与线段、平面图形类似，它的度量需要一个标准单位度量，即1°角，含有几个1°角，角的大小就是几度。画角工具除量角器以外，用一副三角尺也可以画角，通过引导学生合作探究，三角尺可以画哪些度数的角，在交流和计算中进一步增强对角的度量的认识。同时学生在画角、算角、量角的过程中逐步熟悉三角尺，加强对两把形状不同的三角尺的区分，学生观察、计算、比较，发现直角三角形每个角都是15的倍数，它们的和或差也是15的倍数。学生参与丰富的数学活动，凸显角的本质，延伸对角的度量。显然，学生在这样的活动驱动下对角的认识从浅显走向深度，优化认知结构，空间观念得到发展。

“垂线与平行线”这一单元知识是相辅相成的，线段、射线、直线的认识是为角的定义抽象作铺垫；角的度量是经历从静态过渡到动态分类和灵活比角、画角。整个复习以“线的知识”“角的知识”“位置关系”为线索，在结构化“图解复习”过程中，融通、关联，再关联、再融通，形成一个完整的、崭新的知识体系。只有这样循序渐进地复习，学生的能力才能得到发展，综合素养才能得到提高。