心形叶片中的数学

迟琳琳

在大自然中，有很多数学的奥秘。一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作由一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成的（如图1、图2）。

我们能否利用所学的二次函数的知识提出并解决一些问题呢？

问题1 我们能否建立平面直角坐标系，确定心形叶片下部轮廓线所对应的二次函数表达式呢？

如图3，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作二次函数图像的一部分，且过原点，顶点D的坐标为（2，-1），据此可以确定此二次函数的表达式吗？

小明是这样想的：由顶点D的坐标为（2，-1），可以设此二次函数的表达式为y=a（x-2）2-1，a≠0。因为图像经过（0，0），可求得a=[14]，所以二次函数的表达式为y=[14]（x-2）2-1。

自然界中有些植物身上有纷繁复杂的图案，仔细观察，甚至有惊人的秩序和构造。因此，我们要善于用数学的眼光观察现实世界。

问题2 如图3，画出心形叶片的对称轴（直线AB），A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，2），过点H（6，0）的直線分别交抛物线和直线AB于点E、F，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB于点G。我们能否求出叶片的宽度EE′呢？

小颖是这样想的：∵A（-2，0）、B（0，2），∴OA=OB=2。∴∠ABO=45°。

∴AH=HF=8。

在y=[14]（x-2）2-1中，当x=6时，y=3。

∴E（6，3）。∴EF=5。

∵EF∥OB，∴∠GFE=∠ABO=45°。

∵E、E'是叶片上的一对对称点，

∴EE'=2EG，EG⊥FG。

∴△EFG是等腰直角三角形。

∴EG=[22]EF=[522]。∴EE'=[52]。

当现实中的实物抽象为数学问题时，我们就可以利用数学知识，通过运算、推理得到结论。因此，我们也要善于用数学的思维思考现实世界。

问题3 小李在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作二次函数y=mx2-4mx-20m+5图像的一部分。当天，小李发现幼苗叶片下方轮廓线正好可以看作二次函数y=[14]（x-2）2-1图像的一部分，直线PD与水平线的夹角为45°（如图4）；三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上（如图5）。能否求出此时幼苗叶子的长度QD′呢？

小李是这样想的：∵直线PD与x轴成45°角，直线PD可以看作一个一次函数的图像，因此设它的表达式为y=-x+b。把点D（2，-1）代入，得-1=-2+b，解得b=1。联立[y=14（x-2）2-1，y=-x+1，]解得[x=-2，y=3，]或[x=2，y=-1。]∴P（-2，3）。

同理，OP也可以看作一个一次函数的图像，可求出它的表达式为y=[-32]x，则D′（2，3）。把D′（2，3）代入y=mx2-4mx-20m+5，∴4m-8m-20m+5=3，解得m=[112]。∴二次函数的表达式为y=[112]x2[-13]x+[103]。联立[y=-32x，y=112x2-13x+103，]

解得x1=-4，x2=-10。

∵幼苗越长越张开，∴x2=-10不合题意，舍去。∴Q（-4，6）。

作QH⊥PD'，交D'P的延长线于点H（如图6）。

∴QD′=[（-4-2）2+（6-3）2]=[35]。

此时幼苗叶子的长度为[35]。

对问题的追问，是我们学习数学的好习惯。我们只有不断地深入探索与发现，才能越发感受到自然界的神奇，也能发现“数学是一切科学的基础”。

（作者单位：江苏省南京市第十八中学）