基于随机控制理论的一种最优投资消费模型

摘 要：給定一个具有两种资产的市场，其中，一种资产为债券，另一种资产为股票。同时，假定市场中的利率是浮动的、假定市场中具备通货膨胀、假定投资者的目标为资产效用与消费效用的最大化，在忽略资产与现金的转化所需的时间以及消费所需的时间的情况下，基于随机控制理论，通过求解一个HJB方程，得出了使投资者效用最大的最优投资消费模型。

关键词：随机控制；浮动利率；通货膨胀；HJB方程；最优投资消费模型

随着金融市场与金融衍生品的不断发展，有关金融数学的研究越来越具有现实意义。在有关金融数学的研究中，最优投资的相关问题一直是非常重要的研究方向。近年来，一些学者分别在理论层面和具体模型中做出了有价值的研究，本文在前人工作的基础上，给出了更具参考意义的最优投资消费模型。

1 模型假设

假设投资者在［0，T］时间段内进行投资，在任意时刻t∈［0，T］，市场上均有两种资产，其中一种为债券，另一种资产为股票，t时刻债券的利率为r（t），其变化过程满足：

dr（t）=b［μ1-r（t）］dt+σ1dW1（t）

债券在t时刻的价格为S1（t），其价格过程满足：

dS1（t）=S1（t）r（t）dt

股票在t时刻的价格为S2（t），其价格过程满足：

dS2（t）=S2（t）{［μ2+r（t）］dt+σ2dW2（t）}

假设投资者在t时刻拥有的资产为X（t），同时，为考虑通货膨胀对于投资消费所带来的影响，本文引入单位商品价格K（t），其不指代某一具体商品，只体现货币购买力的变化，其价格过程满足：

dK（t）=K（t）［μ3dt+σ3dW3（t）］

同时，本文得到投资者在t时刻拥有的资产的实际价值X*（t）=X（t）K（t）。

在以上模型中，b、μ1、μ2、μ3、σ1、σ2、σ3>0、W1（t）、W2（t）、W3（t）为布朗运动，其中，W1（t）与W2（t）的相关性为ρ12，W1（t）与W3（t）的相关性为ρ13，W2（t）与W3（t）的相关性为ρ23，即：dW1（t）dW2（t）=ρ12dt，dW1（t）dW3（t）=ρ13dt，dW2（t）dW3（t）=ρ23dt，且K（0）=1。

为简化复杂的现实因素，本文假设资产与现金的转化可瞬间完成，现金可瞬间用于消费，资产连续产生收益，消费连续进行，即：总资产中投资某一资产的比例可连续变化，全部资产在消费发生前可连续产生收益。同时，本文记投资者在t时刻投资股票的资产比例为π（t），投资债券的资产比例为1-π（t），消费率为c（t）；记投资者的资产效用函数u1（x）=xpp，消费效用函数u2（x）=xpp，其中0<p<1。

根据伊藤公式，本文给出投资者的资产实际价值满足的过程：

dX*（t）=dX（t）K（t）=1K（t）dX（t）+X（t）d1K（t）+dX（t）d1K（t）

同时，本文给出投资者的资产满足的过程：

dX（t）=X（t）［1-π（t）］dS1（t）S1（t）+X（t）π（t）dS2（t）S2（t）-X（t）c（t）dt

=X（t）［r（t）+π（t）μ2-c（t）］dt+X（t）π（t）σ2dW2（t）

d1K（t）可根据伊藤公式计算得出，其满足：

d1K（t）=-1K2（t）dK（t）+1K3（t）dK（t）dK（t）

=-1K（t）［（μ3-σ23）dt+σ3dW3（t）］

结合dtdt=dW1（t）dt=dW2（t）dt=dW3（t）dt=0，投资者的资产实际价值满足的过程可表示为：

dX*（t）=X*（t）［r（t）+π（t）μ2-c（t）-μ3+σ23-π（t）σ2σ3ρ23］dt

+X*（t）π（t）σ2dW2（t）-X*（t）σ3dW3（t）

投资者希望找到最优的投资消费比例使得自己的资产效用与消费效用的总和的期望值最大，其中，资产效用只与T时刻的资产相关，消费效用在［0，T］时间段内产生，即：对于全部控制α（π（t），c（t）），投资者希望找到最优的控制，使得该控制满足：

maxαEu1（X*（T））+∫T0u2（X*（t）c（t））dt

2 最优投资消费组合的表示

根据以上描述，本文定义值函数的表达式如下：

V（t，r，x*）=maxαEu1（X*（T））+∫Ttu2（X*（s）c（s））ds|r（t）=r，X*（t）=x*

显然可以得到：V（T，r，x*）=u1（x*）。同时，本文假设值函数二阶连续可微，下面推导HJB方程。

将控制记为：α（π（s），c（s））=α1（π（s），c（s））s∈［t，t+h］

α2（π（s），c（s））s∈（t+h，T］

于是有：V（t，r（t），X*（t））E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+V（t+h，r（t+h），X*（t+h））

根据伊藤公式，可以得到：V（t+h，r（t+h），X*（t+h））=V（t，r（t），X*（t））+∫t+htVs+Vrb［μ1-r（s）］+VX*X*（s）［（r（s）+π（s）μ2-c（s）-μ3+σ23-π（s）σ2σ3ρ23）］+122Vrrσ21+122VX*X*［X*（s）］2［π2（s）σ22+σ23-2π（s）σ2σ3ρ23］+2VrX*X*（s）［π（s）σ1σ2ρ12-σ1σ3ρ13］ds+∫t+htVrσ1dW1（s）+∫t+htVX*X*（s）π（s）σ2dW2（s）-∫t+htVX*X*（s）σ3dW3（s）

简记为：V（t+h，r（t+h），X*（t+h））=V（t，r（t），X*（t））+A。令B=∫t+htVrσ1dW1（s）+∫t+htVX*X*（s）π（s）σ2dW2（s）- ∫t+htVX*X*（s）σ3dW3（s）。于是有：E［V（t+h，r（t+h），X*（t+h））］=V（t，r（t），X*（t））+E［A-B］。

结合V（t，r（t），X*（t））E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+V（t+h，r（t+h），X*（t+h）），可得：E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+A-B

SymbolcB@0

令h→0，結合r（t）=r、X*（t）=x*，可推出HJB方程：maxα{Vt+b（μ1-r）Vr+12σ21Vrr+x*［r+π（t）μ2-c（t）-μ3+σ23-π（t）σ2σ3ρ23］Vx*+12（x*）2［π2（t）σ22+σ23-2π（t）σ2σ3ρ23］Vx*x*+x*［π（t）σ1σ2ρ12-σ1σ3ρ13］Vrx*+u2［x*c（t）］}=0

根据HJB方程，对π（t）与c（t）分别使用一阶条件，得：

x*（μ2-σ2σ3ρ23）Vx*+（x*）2［π（t）σ22-σ2σ3ρ23］Vx*x*+x*σ1σ2ρ12Vrx*=0

du2［x*c（t）］dc（t）-x*Vx*=0

据此，本文得到最优π（t）与c（t）的表达式：

π（t）=（σ2σ3ρ23-μ2）Vx*+x*σ2σ3ρ23Vx*x*-σ1σ2ρ12Vrx*x*σ22Vx*x*

c（t）=V1p-1x*x*

3 最优投资消费组合的求解

将最优π（t）与c（t）的表达式代入HJB方程，可将HJB方程整理为：

Vt+b（μ1-r）Vr+12σ21Vrr+12（x*）2σ23（1-ρ223）Vx*x*+x*σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）Vrx*+x*r-V1p-1x*x*-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22Vx*-

［（σ2σ3ρ23-μ2）Vx*］22σ22Vx*x*+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12Vx*Vrx*σ22Vx*x*-（σ1σ2ρ12Vrx*）22σ22Vx*x*+Vpp-1x*p=0

考虑到V（T，r，x*）=u1（x*），故本文假设HJB方程的解满足：V（t，r，x*）=（x*）ppf（t，r）。其中，f（T，r）=1。

在此假设下，本文对V（t，r，x*）求各阶偏导，得：

Vt=（x*）ppft  Vr=（x*）ppfr  Vx*=（x*）p-1f  Vrr=（x*）ppfrr  Vrx*=（x*）p-1fr  Vx*x*=（p-1）（x*）p-2f

将各阶偏导代入方程整理，得：

r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）pf+ft+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］fr+12σ21frr-σ21ρ212pf2r2（p-1）f+（1-p）fpp-1=0

为进一步化简方程，本文做如下假设：f（t，r）=g1-p（t，r）。其中，g（T，r）=1。

在此假设下，本文对f（t，r）求各阶偏导，得：ft=（1-p）g-pgt  fr=（1-p）g-pgr  frr=-p（1-p）g-1-pg2r+（1-p）g-pgrr

将各阶偏导代入方程整理，得：

［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-pg+gt+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］gr-σ21（1-ρ212）pg2r2g+12σ21grr+1=0

本文给出结论，方程的解满足：g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r）

其中，h（t，r）满足：

［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-ph+ht+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］hr-σ21（1-ρ212）ph2r2h+12σ21hrr=0

且h（T，r）=1。下面证明该结论：

定义算子τ，满足：

τg=［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］gr-σ21（1-ρ212）pg2r2g+［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-pg+12σ21grr

于是得到：gt（t，r）+τg（t，r）+1=0。将τ作用于g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r），可得：τg（t，r）=∫Ttτh（s，r）ds+τh（t，r）

同时，在g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r）两侧关于t求偏导，可得：

gt（t，r）=-h（t，r）+ht（t，r）=-h（T，r）+∫Ttht（s，r）ds+ht（t，r）

将以上三式结合，可以得到：

gt（t，r）+τg（t，r）+1=-h（T，r）+∫Ttht（s，r）ds+ht（t，r）+∫Ttτh（s，r）ds+τh（t，r）+1=0

记C（t，r）=τh（t，r）+ht（t，r），结合h（T，r）=1，可得：∫TtC（s，r）ds+C（t，r）=0

显然可以得到：C（T，r）=0。将∫TtC（s，r）ds+C（t，r）=0两侧对t求偏导，可得：Ct（t，r）-C（t，r）=0。

解得：C（t，r）=D（r）et。结合C（T，r）=0，可得：D（r）=0，即：C（t，r）=0，故结论得证。

本文在此处对方程进行最后一次化简，假设：h（t，r）=exp［P（t）+Q（t）r］，其中，P（T）=Q（T）=0。

在此假设下，本文对h（t，r）求各阶偏导，得：

ht=［P′（t）+Q′（t）r］exp［P（t）+Q（t）r］

hr=Q（t）exp［P（t）+Q（t）r］

hrr=Q2（t）exp［P（t）+Q（t）r］

将各阶偏导代入方程整理，得：

r［Q′（t）-bQ（t）+p1-p］+［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（t）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（t）+P′（t）=0

由于方程对任意r成立，故方程的解满足：Q′（t）-bQ（t）+p1-p=0

P′（t）+［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（t）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（t）=0

结合P（T）=Q（T）=0，分别求解以上两个方程，可得：Q（t）=p［1-eb（t-T）］b（1-p）

P（t）=∫Tt{［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（s）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）- （σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（s）}ds

将求得的解依次代入π（t）與c（t）的表达式，即可得到最优投资消费组合的解析解。

参考文献：

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作者简介：张洪天（1999— ），男，汉族，山东人，研究生，研究方向：金融数学。