连珠成链——整体认知一元一次方程

周艳

一、为什么要学习方程

刚步入初中的同学们在学习这一章时，往往存在这样的困惑：一些问题既然可以用小学的算术方法来解决，为什么到了初中，还要用方程来解决呢？下面，我们就以小学阶段同学们非常熟悉的“鸡兔同笼”问题为例，来谈谈两种解法的差别。

例1 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

算术法：我们假设35个头全是鸡的，那么足相应有35×2=70（只），而实际足有94只，多出了24只。在将鸡当成兔子的过程中，每只兔子少算了2只脚，于是兔子有24÷2=12（只），鸡的数量为35-12=23（只）。

方程法：假设笼中的鸡有x只，则鸡脚有2x只，根据“共有35头”，可得兔子有（35-x）只，兔脚有4·（35-x）只。根据“共有94足”，可列出方程2x+4·（35-x）=94，解方程即可得出鸡与兔子的数量。

从本质上来说，算术方法是根据题目中的已知数，再结合条件，推理求解未知结果，而列方程恰恰相反，方程法是把未知当作已知来用，用字母表示未知量后，结合题目中的数量关系，建立相应的等式去求解。从理解层面看，算术法中的假设并不是每个同学都能想到并熟练运用的，需要一定的技巧，但是方程打破了已知条件的限制，顺应同学们的思维发展，更容易理解和应用。因此，较算术方法而言，方程法有一定的优越性。

二、“一元一次方程”的学习内容

在了解了为什么要学习方程后，下面，我们再来看看初中伊始，同学们接触到的第一类最简单、基础的一元一次方程要学习哪些内容：（1）一元一次方程的概念；（2）一元一次方程的解；（3）一元一次方程的解法；（4）用一元一次方程解决问题。知道了要学习哪些内容后，就相当于知道了我们要“到哪里去”。一片片零散的知识碎片如同一颗颗明珠，将它们串联在一起，便会得到一条完整的知识链。

三、“一元一次方程”的学习路径

整个初中阶段，所有与方程相关的探索学习都遵循图1所示的路径：

为了将一元一次方程的碎片知识系统化，下面，我们从4个方面来进行整体认知。

1.一元一次方程的概念

例2 ［苏科版数学教材七（上）96—97页］（1）篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分。某篮球队赛了12场，共得20分，怎样描述其中数量之间的相等关系？

（2）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？

（3）我们知道，按图2的方式搭n条小鱼，需要［8+6（n-1）］根火柴棒。

若搭n条“小鱼”用了140根火柴棒，怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？

（4）今年小红5岁，爸爸32岁。如果x年后小红的年龄是爸爸年龄的1/4，怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？

通过以上4个具体实例，我们得到2x+（12-x）=20，1/3x-4=1/4x-1，8+6（n-1）=140，5+x=1/4（32+x）这4个方程，在经历归纳、抽象、概括、比较后，可以得到一元一次方程的共同特点，归纳得到一元一次方程是“只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）”的方程。

2.一元一次方程的解

首先，我们要知道什么是方程的解？方程的解是“能使方程等号两边的值相等的未知数的值”。那么，一元一次方程的解自然能理解为使一元一次方程两边的值相等的未知数的值。在例2的第（4）题中，我们可以得到一元一次方程5+x=1/4（32+x），分别将2、3、4、5代入，哪一个值能使方程两边的值相等？当x=4时，方程左边的值为9，右边的值也为9，因此x=4是一元一次方程的解。由此可知x=a是方程的解的形式。

3.一元一次方程的解法

对于一个一元一次方程，我们不可能将所有的数都代入试一遍，因此，我们需要找到解方程的通法。其实，解一元一次方程的过程就是利用等式的基本性质进行恒等变形，将一个复杂的方程最终转化成x=a的形式。

例如，上述方程5+x=1/4（32+x），我们进行去分母，将方程中的分数转化为整数，得到20+4x=32+x，移项，得3x=12，再化系数为1，得x=4。

4.建立一元一次方程模型，解决实际问题

一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型之一。方程的出现源于解决实际问题的需要。面对实际问题，我们通过对问题中的数量关系进行分析，建立一元一次方程，从而解决问题。

再探“鸡兔同笼”问题。问题中的核心就是两个相等的数量关系：鸡头+兔头=35；鸡足+兔足=94。我们可以设不同的未知数，从而得到多种解法。除利用上述方法得到方程2x+4（35-x）=94以外，同學们不妨尝试设兔的数量是x只，或设鸡足有x只，或设兔足有x只，便可以得到不一样的方程。

而对于“2x+4（35-x）=94”这个方程而言，它不仅可以刻画鸡兔同笼问题，还可以被赋予销售问题、行程问题、面积问题等不同背景，解决不同问题。如：

例3 超市里橘子单价为2元/kg，苹果单价为4元/kg，小明共买了两种水果35kg，用去94元，问小明购买的橘子和苹果数量各有多少？

利用不同的设未知数的方法，可以得到不同的方程，而同一个方程又可以适用于不同的问题背景。最后，希望方程的学习可以给同学们带来不一样的精彩。

（作者单位：江苏省南京市齐武路初级中学）