双(G/G′,1/G)展开法求解(3+1)维mKdvZK 方程和(3+1)维YTSF 方程的新孤子解
2024-01-26孙峪怀韩梦娜
杨 超,孙峪怀,韩梦娜
(四川师范大学 数学科学学院,四川 成都 610066)
非线性演化方程(NLEEs)被广泛应用于固体物理、相对论物理、光纤、化学物理、化学运动学、流体力学以及平面波传播、河流流动等方面,促进了物理学、化学和材料科学的发展,非线性演化方程的研究越来越受到关注。因此,学者们提出了许多求解非线性演化方程的方法,如雅各比椭圆函数展开法[1]、辅助方程法[2]、改进F展开法[3]、Hirota 双线性[4]、广义Kudryashov 法[5]、exp 函数法[6]、tanh 函数法[7]和改进的(G/G′)展开法[8]、一次积分法[9]、改进Khater 法[10]和扩展直接代数法[11]等。许多学者都倾向于使用双(G/G′,1/G)扩展法,这种方法比之前的技术更加高效可靠。例如Chowdhury 等[12]研究纳米离子电流方程和孤子方程,得到三角函数解和双曲函数解,Iqbal 等[13]给出修正Zakharov-Kuznetsov 方程和Gerdjikov-Ivanov 方程的t型、Kink 型、钟型、奇异解以及完整行波解的周期奇异解。Khatun 等[14]给出修正Camassa-Holm(MCH)方程的双曲函数、三角函数和有理函数,以及广义(3+1)维时空(gCH-KP)方程表示的孤波解。此外定义了以下(3+1)修正Korteweg-de vries-Zakharov-Kuznestsov 方程[15]
其中,U(x,y,t)是该方程的因变量,t是时间变量,x,y,z是空间变量,系数b非零。Tasbozan 等[16]用直接代数方法求解方程(1),Yaslan 等[17]确定解以及几种不同类型的mKdVZKE 解,Arslan 等[18]统一了解析方法求解不同分数参数的孤子解。
对于(3+1)维Yu-Toda-Sassa-Fukuymama(YTSFE)方程[19]
其中,U(x,y,t)是该方程的因变量,t是时间变量,x,y,z是空间变量。
Cevikel 等[19]使用扩展tanh-coth 法、sine-cosine 方法和(G/G′)展开法求解方程(2)的周期解和周期奇异解。本文用双(G/G′,1/G)展开法讨论λ不同取值范围时(3+1)维mKdvZK 方程和(3+1)维YTSF 方程从而获得其新形式的精确解。
1 双(G/G′,1/G)展开法求解过程
考虑以下非线性演化方程(NLEEs)
步骤1行波变换
将式(4)代入式(3),得到常微分方程
步骤2假设方程(5)的精确解具有如下形式:
且ϕ,ψ满足等式
其中μ,λ是待求常数。
以下分类讨论基于上述G(ξ)常微分方程的通解。
对于λ<0,
对于λ=0,
其中A1、A2为任意常数。
步骤3将式(6)代入方程(5),合并与ϕ和ψ相关的同类项,使其系数均为零,得到一系列关于未知参数的方程组,然后根据关于G(ξ)的常微分方程的通解,将未知参数代入式(6)中的方程,从而得到非线性演化方程的精确解。
2 求解(3+1)维mKdvZK 方程
对方程(1)进行行波变换
由此得到
对式(16)进行一次积分,可以得到
通过平衡式(17)中的最高阶线性项和最高阶非线性项,得到n=1,可以假设方程(1)有如下形式的解:
情况1对于λ<0,
将方程(1)的结果代入式(18),根据式(9)和式(10)得出以下精确解:
其中ξ=my+nz,b=b。
其中ξ=my+nz+kt,b=b。
其中ξ=my+nz,b=b。
情况2对于λ>0,
将方程(1)的结果代入式(18),根据式(11)和式(12)得出以下精确解:
其中ξ=my+nz,b=b。
其中ξ=my+nz+kt,b=b。
情况3对于λ=0,
将方程(1)的结果代入式(18),根据式(13)和式(14)得出以下精确解:
其中ξ=my+nz,b=b。
当参数A1,A2,μ,l,m,n,λ,a0,a1,b1取特殊值时,u4,u7的三维图和二维图如图1 和图2 所示。
图1 u4 三维图和二维图Fig.1 3D and 2D drawings of u4
图2 u7 三维图和二维图Fig.2 3D and 2D drawings of u7
3 求解(3+1)维YTSF 方程
对方程(2)进行行波变换
由此得出
平衡式(17)中的最高阶线性项和最高阶非线性项,得出m=1,则认为方程(2)有如下形式的解:
情况1对于λ<0,
将方程(2)的结果代入式(29),根据式(9)和式(10)得出以下行波解:
其中ξ=x+y+z-ct。
其中ξ=x+y+z-ct。
情况2对于λ>0,
将方程(2)的结果代入式(29),根据式(11)和式(12)得出以下行波解:
其中ξ=x+y+z-ct。
情况3对于λ=0,
将方程(2)的结果代入式(29),根据式(13)和式(14)得出以下行波解:
当参数A1,A2,μ,y,z,c,λ,a0,a1,b1取特殊值时,u1,u7的三维图和二维图如图3 和图4 所示。
图3 u1 三维图和二维图Fig.3 3D and 2D drawings of u1
图4 u7 三维图和二维图Fig.4 3D and 2D drawings of u7
4 结论
本文通过行波变换和代入变换将(3+1)维mKdvZK 和(3+1)维YTSFE 转化为常微分方程,然后利用双(G/G′,1/G)展开法得到两个方程的新精确解。对于mKdvZK,其中u1、u4与文献[15]中式(4.29)相似,u5与文献[18]中式(4.32)相同,同时u1、u2、u3、u6、u7、u8与已有的文献不同。对于YTSFE,其中u1、u2、u3与文献[19]中式(5.28)、(5.29)相同,u6与文献[19]中式(5.30)相似,同时u4、u5、u7与现有的文献不同。该方法适用于求解非线性演化方程,能够提供了大量新的精确解,在实际应用中具有重要意义。