害虫-天敌种群广义系统模型的建立与几何分析

李晋芳,赵立纯,刘敬娜

(1.辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029;2.鞍山师范学院 数学学院,辽宁 鞍山 114007)

我国是农业大国,在农业生产过程中,农业害虫会直接导致农作物产量下降,据统计,在害虫重发时可造成农作物减产30%,因此,农业害虫的防治问题需要重点关注[1-2].害虫管理最常用的有物理、化学、生物等管理方法.物理管理方法包括灯光诱杀、颜色诱杀、偏好诱杀、阻隔分离等,这些方法有一定效果,但是投入资金大、 操作费时费力;化学管理方法会导致农产品农药残留超标,不仅危害人体健康,还会污染环境,容易使农业害虫产生抗药性,所以化学农药治理害虫不能够一劳永逸[3-4];生物管理方法可以克服上述问题.

一些害虫种群(如蚜虫)具有繁殖快、生命周期短的特点,经常出现暴发现象,突变理论能很好地描述这一现象.突变有七种基本模型,即折迭、尖点、燕尾、双曲、椭圆、蝴蝶及抛物脐点突变模型,一些学者常应用这七种模型描述害虫种群的生态机制.赵惠燕等[5-6]研究发现:基于不同影响因素,麦蚜生态系统符合折迭突变模型和尖点突变模型,从突变理论的角度证明了麦蚜危害关键期为灌装期,并提出了相应的管理方法.魏雪莲[7]建立害虫燕尾突变模型,解释了害虫种群数量的突跳和滞后现象.李祯等[8]建立害虫种群动态蝴蝶突变模型,解释了害虫种群的暴发现象.李建峰等[9]建立猕猴桃园节肢动物群落椭圆突变模型,并分析了群落稳定性,解释了害虫种群的暴发动态及原因.李媛[10]针对猕猴桃园节肢动物群落建立了椭圆与双曲两种突变模型,证明了双曲突变模型比椭圆突变模型在描述猕猴桃园节肢动物群落时更有优势.赵惠燕等[11]建立了抛物脐点突变模型,通过势函数法确定了其突变区域、突变临界点以及稳定性.上述模型皆用微分方程描述害虫种群的暴发现象.

针对害虫种群的生物管理,释放天敌是常用方法之一.由于天敌的捕食,害虫种群的数量会骤然减少,但天敌种群的消化相对缓慢,用微分方程难以描述这一过程,而代数方程和微分方程共同形成的广义系统模型是描述该过程的有力工具.本文基于尖点突变模型,建立害虫-天敌种群的广义系统模型,并利用几何分析方法,研究害虫与天敌种群的相互作用关系,为害虫种群暴发的理论研究提供了新思路.

1 模型建立

本文以蚜虫为例,建立害虫-天敌种群广义系统模型.由于蚜虫种群的天敌种群(如雀鸟)是脊椎动物,因此对蚜虫种群的捕获满足Holling-Ⅲ型功能反应,且其增长受到蚜虫种群的密度制约.假设在无敌种群的情况下,蚜虫种群满足Logistic增长,得模型

(1)

其中:x(t)表示雀鸟种群的种群密度,A>0表示半饱和常数,a*>0表示雀鸟(捕食者)的最大收获率,e*>0表示每单位收获猎物的新生雀鸟的数量,d>0为雀鸟(捕食者)的死亡率,y(t)表示蚜虫种群的种群密度,r*>0表示蚜虫种群的内禀增长率,K>0表示蚜虫的承载能力.

针对模型(1),基于蚜虫种群生命周期短和繁殖系数高的特点,蚜虫种群密度变化速率快,即r*高;而天敌种群(如雀鸟)密度的变化速率相对较慢,即e*低,且攻击性较强,即a*高,令

其中ε为充分小的数.

基于上述,模型(1)变为

(2)

其中c=e*a*=ea.

针对模型(2),令ε→0,则模型(2)变为

(3)

下面针对模型(3),探讨蚜虫种群快速达到平衡状态时雀鸟种群密度的变化规律.

2 几何分析

为了简化模型(3),参考文献[12],令

(4)

其中

模型(4)存在平衡点

其中

针对模型(4),利用定性理论,对上述平衡点进行几何分析.

由

得

再由

得

Γ3:y=0;Γ4:-Ry3+kRy2-Ry-kxy+Rk=0

通过改变参数D和k,研究平衡点个数及稳定性.由于Γ4的图像会随k的取值不同而改变,导致平衡点个数及其稳定性发生变化,具体如下:

基于D的不同,分如下几种情况:

情况1.1D≥1

图1 情况1.1的几何分析图

情况1.20

Γ2的上下移动会导致模型(4)的平衡点个数改变.

此条件下有两个平衡点(见图2),同理,得到定理2.

图2 情况1.2.1的几何分析图

此条件下有三个平衡点(见图3),同理,得到定理3.

图3 情况1.2.2的几何分析图 图4 情况2.1的几何分析图

基于D的不同,分如下几种情况:

情况2.1D≥1

情况2.20

Γ2的上下移动会导致模型(4)的平衡点个数改变.

此条件下有两个平衡点(见图5),同理,得到定理5.

图5 情况2.2.1的几何分析图

图6 情况2.2.2的几何分析图

进而得到定理6.

3 结论

由上述研究可得如下生物解释:

本文基于不同时间尺度研究害虫-天敌种群的相互作用,拓宽了广义系统理论研究的应用范围．