新工科背景下的高等数学课程思政方法

夏文华，田智鲲，刘兰初，王祝君

（湖南工程学院计算科学与电子学院，湖南湘潭 411104）

引言

为主动应对新一轮科技革命与产业变革，2017年2 月以来，教育部积极推进新工科建设，从而延伸出了新工科这一教学理念。新工科背景下产生的新专业或专业升级改造对数学知识、方法、思维和能力提出了更高的要求。高等数学是工科类院校大一学生面临的第一门，也是最重要的一门数学课程，更是后续专业课程的基础，其重要性不言而喻。高等数学的教学研究与创新已提升到国家战略高度，［1］也是新工科建设与实施的核心内容。

2020 年5 月教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，［2］要求把思政教育贯穿到人才培养体系中，全面推进高校课程思政建设，发挥好每门课程的育人作用，提高高校人才培养水平。因此，如何有效地开展好课程思政正成为我国大学课程改革领域的热点。课程思政已成为新时代振兴本科教育与提高人才培养能力的重要着力点。

数学作为一门自然科学，其所蕴含的思政元素常常被忽略。事实上，在高等数学课程中蕴含了丰富的思政元素，作为工科类院校学生必修的一门基础理论课程，还具有课时多以及覆盖面广的特点，是很好的课程思政实践阵地。因此，面对新形势新要求，基于新工科背景，构建融入思政元素的高等数学教学体系，培养德才兼备的高素质创新型人才，是新时代对高等数学课程教育提出的必然要求。

近几年来，越来越多的教育专家和学者投身于大学数学课程思政的研究，并且取得了丰富的成果。［3-15］有的以大学数学课程群为整体研究对象（包括：高等数学、线性代数、概率论与数理统计）。如：李广玉等从大学数学课程思政构建的现状及必要性出发，给出了较为全面的大学数学课程思政构建路径；［6］孙和军等强调了课程思政映射和融入点的案例。［7］有的从其他数学类课程入手。如：杨威等人以线性代数为例，从课程思政顶层体系设计理念出发，给出了课程思政的具体案例；［8］王璐、苏玉华等人就如何将课程思政植入数学建模和概率论与数理统计等课程中进行了深入的探讨。［9-10］

对如何在高等数学中开展课程思政教育，学界现在也有一些研究成果。有的从高等数学中的某一概念或某一章为例，［11-12］介绍如何开展课程思政教学。

综上所述，课程思政从开始实施以来，绝大多数教师从思想意识上已经充分认识到课程思政的重要性。有关高等数学课程思政的成果正不断涌现，但这些成果以个别案例的方式阐述高等数学课程某些知识点的思政点和具体方法为主，对高等数学课程的特点分析不够深入透彻，思政点切入时机与融入课程的方法提及较少。

基于此，本文从新工科高等数学的教学目标、内容及特点出发，讨论高等数学课程思政的切入方法和融入方式，着重分析如何行之有效地将高等数学课程与思政相融合，真正做到内容及教法“显隐结合”。

一 整合思政元素，明晰育人功能

每一门课程都有其自身的特点及育人功能。新工科背景下高等数学的课程思政，应以高等数学课程为载体，以学生为主体，根据工科学生的特点，注重逻辑思辨与探索实践相结合，匠心筑梦与人文熏陶相结合，多角度、多手段、多方式地挖掘和融入思政元素。以思政为引领，完善育人方式和内容，实现新工科背景下铸魂育人、立德树人的目标。根据育人功能将高等数学课程中所融入和呈现的思政元素进行归类，大体分为四类（图1），做到在课程思政的过程中育人功能尽量具体、全面、多样化。

图1 高等数学课程中思政元素的类别及育人功能

图1 的四类思政元素都可通过高等数学课程的教学过程挖掘、融入和呈现。思政元素的挖掘、融入和呈现方式是落实课程思政的关键，难度大的是还要做到显隐结合，令教师感到非常困难。显隐结合就是将显性教育方式与隐性教育方式相结合，发挥协同效应，相辅相成，实现优势互补，使思政教育真正达到内化于学生的心灵、外化于学生行为的目的。［15］对高等数学课程来说，传授学生高等数学课程的数学知识、培养学生的数学能力是本课程的显性教育目的，而通过本课程的学习进行思政教育实现价值塑造是隐性教育目的。再者，思政教育的方式又存在显性的教育方式（如爱国主义宣讲或标语等）和隐性的教育方式（如情景式的电影片段等）。显隐结合可以从两个角度来进行：教学内容的显隐结合（即隐性元素显化、显性元素隐形），教学手段的显隐结合（即显性思政方式与隐性思政方式结合使用）。

二 挖掘隐性元素，显化课程思政

挖掘出高等数学课程蕴含的隐性思政元素（即课程中自带的思政元素），并将其显化。高等数学为学生培养分析问题、解决问题的能力，培养抽象思维和逻辑思维能力。高等数学课程思政中有一个重要的部分：练思维——培养学生的科学思维和科学方法，这就是高等数学课程蕴含的也是自带的隐性思政元素。教师可以采用显化训练的方式，通过高等数学的学习强化学生哲学思辨、逻辑思辨能力。

高等数学是由17 世纪后微积分学、较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。本科教育中的高等数学课程包括极限、微积分、微分方程、空间解析几何与级数。高等数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。哲学是对世界基本和普遍问题研究的学科，是关于世界观的理论体系。自古以来许多数学家同时也是哲学家（如亚里士多德、笛卡尔、莱布尼茨等），也有许多数学问题由哲学家提出（如“罗素悖论”“芝诺悖论”等），这些哲学问题推动了数学的发展。无穷的概念引进数学领域，是高等数学的重要特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现，无穷是对它们的共同本质的一种概括。教师应将哲学与数学紧密联系起来，深入挖掘高等数学课程中所蕴含的哲学思想并将其显化，使之相互融通。如：在极限过程、级数求和过程中，变量的变化是无止境的，极限值及级数的和就是量变到质变的唯物辩证思想的体现；积分中所采用的“大化小”“常代变”“整体与局部”都是对立统一的辩证关系的体现；所有公式在举一反三的运用中（如两个重要极限的一般形式、微分公式和积分公式的一般形式等）以及实际应用问题（如定积分应用、重积分应用等）都需要强调“抓住本质与核心”；在结论或定理分析及推导过程中往往会经历“直观观察—猜测—抽象—验证”这一过程。这些都属于高等数学课程内容中所蕴含的辩证唯物主义的哲学思想或科学方法的具体示例，属于隐性思政元素。

对这一类隐性思政元素，教师在最初几章的教学中需要将其挖掘出来并显化，让学生明白辩证唯物主义思想及科学方法在高等数学中如散落星辰般无处不在。但是随着显化次数的累加，到了第六章以后，教师可以让学生自己去挖掘、总结并归类，以考验学生是否已经具备了正确的哲学观、辩证思维和科学方法。

三 优化内容教法，实现思政融合

课程思政实施过程中最大的困难是课程与思政元素的融合。思政方式是否合理，教师讲解是否顺畅，学生是否乐于接受，课程与思政是“水乳交融”还是“两层皮”，是很多教师面临的难题。这就需要根据课程内容、专业需求及学生特点，挖掘思政元素，搜集时政案例，寻找思政契机，融入思政元素，优化甚至重组课程内容，以实现课程与思政相融合。

（一）显隐结合育情怀，树价值

科学精神可以通过数学史和数学家的故事传达，科学方法可以在高等数学的证明、计算、讲解中逐步培养和深入，然而高等数学课程思政中最难也最重要的是育情怀和树价值。如何在数学课堂中进行爱国主义教育，既不影响课程的逻辑顺序及进程，又能让学生欣然接受，是笔者在实践教学中一直不断尝试改进的重点，并且获得了一些经验体会。

家国情怀的植入可以用隐性方式，用视频或图片呈现。从历史发展及实际应用出发，通过实证案例、实际背景或现象，结合数学史和数学家的故事，情境式或问题牵引式引入，以故事形式呈现家国情怀和科学精神。

如介绍导数的定义时，以介绍中国高铁伟大成就的视频开启课程，教师并不需要特意说什么，从视频中学生自然能感受中国高铁的迅猛发展及在世界的影响力，民族自豪感自会油然而生，利用视频可以很自然地进行爱国主义熏陶。视频播放完之后，教师只需根据视频内容，如由车厢内电子显示屏显示的当前速度引导学生关注瞬时速度问题，由高铁快速通过弯道的画面引导学生注意高铁快速转弯时所要关注的行进路线的切线问题，自然完成从育情怀到课程内容的过渡。在讲解定积分应用时，从苏轼和李清照赞海棠的诗词入手，用优美的图片展示中国古典园林建筑中常用的十字海棠型的窗棂、地铺及门洞等，引导学生联想日常生活中常见的十字海棠型的造景或物品，再过渡到十字海棠图形的面积问题，在弘扬传统文化的同时也做到人文科学与自然科学的融合，同时也培养学生将实际问题抽象简化为数学问题的能力。在讲解可降阶的高阶微分方程时，利用天问一号的发射视频引入第二宇宙速度的模型，顺便介绍中国航天事业的辉煌成就，该部分内容处于课堂教学的拓展应用环节，教师不用担心插入视频影响课程的连贯性。其实，学生在经过一个多小时的紧张学习和持续的逻辑思辨之后，观看视频恰好能起到放松心情、调节课堂氛围的作用。在应用“大化小、常代变、近似和、求极限”的方法计算舰载机着舰的滑行距离时，选用中国辽宁号航母舰载机歼-15 着舰的视频简单介绍中国航海飞行技术的发展现状，让学生了解舰载机着舰的难度及阻拦索的重要性。让学生在巩固定积分定义的同时，了解我国的军事发展现状，了解自强自立发展科技的重要性，培育工科学生的科技报国之心。

这种具有实际背景、思政元素且与课程内容相关的视频或图片，能够很好地契合“00 后”学生的喜好。爱国主义的教育或科学精神的传递会很自然，学生很容易受图片或视频氛围的感染，油然而生爱国之心，从而达到育人目标。所以，播放图片或视频之后，教师并不需要特意提及或过分强调爱国主义和科学精神。重点要放在如何将所展示的图片及视频内容与课程内容尽量做到衔接自然，完成思政与课程内容的融合与过渡，通过优化课程内容达到立德树人的目标。

（二）加强数学软件的使用，增强学生应用数学的能力

借助数学软件如Mathematica、Matlab或GeoGebra展示动图，帮助学生理解几何图形的结构（如空间解析几何部分的各种二次曲面的空间图形）或者引导学生观察、猜测结论，理解定义或定理的几何意义（如导数的几何意义、微分中值定理的结论和几何意义）。有时候需要调整知识讲解流程，教师需要熟练利用数学软件优化教法。这种方式比传统的讲述方式更能培养学生的独立思考能力和抽象能力。由于教师在教学中大量使用了数学软件，也能让学生认识到数学软件的重要性，对工科学生来说也是将数学用起来的重要手段。所以教师不仅可以使用数学软件帮助学生理解课程知识，还可以通过课后探究任务让学生掌握一些数学软件的使用方法，或者利用计算机语言编程解决一些问题。如讲完定积分定义之后，可以要求学生编程计算曲边梯形的面积，［11］让学生掌握应用计算机语言解决数学问题，通过改变分割点的赋值自己体会曲边梯形计算中所蕴含的有限与无限、直与曲、大与小的辩证统一关系，实现知识传授、能力培养、价值塑造三位一体的育人目标。

（三）“P+H”方式重构课程内容，多种思政元素相融合

在高等数学的教学过程中，常采用以问题为牵引的教学方式，这种方式贯穿高等数学的教学始末。而数学中问题的产生要么有实际应用背景，要么有历史渊源。所以，将问题与相关背景结合，一方面更能吸引学生，另一方面能让学生了解概念、方法形成的历史及问题产生的背景。这种方法更利于工科类学生在实际中运用数学知识，并进行创新。

但是国内传统的高等数学教材大多舍弃了概念和方法形成的历史过程，以过于形式化的表现和逻辑过程进行叙述。有学者意识到这种方法的不足，提出了一些方法来弥补现在教材的缺陷。如叶建兵在HPM 视角（HPM 通常指数学史与数学教育关系）的指引下，给出了一种数学史驱动的常数项级数教学设计。［12］

本文提出“P+H”方式［即：以问题（problem）为牵引，结合数学史（history of mathematics）的方式］，主要用于处理概念及方法的形成过程，通常需要改变传统教材讲述流程及教学方式。通过这种方式，思政元素与教学内容能够融合形成完整的教学体系，思政元素不突兀，教学内容更符合数学发展规律及认知规律。以对弧长曲线积分的定义引入部分为例来阐述如何运用“P+H”方法。常规的教材或课堂讲述是直接引入曲线型构件的质量，获得一类乘积的和式的极限式，与其他类积分进行比较从而定义出对弧长的曲线积分。而“P+H”方式是从问题出发，结合数学史，引出最速降线问题，再求最速降线上小球滑落的时间，获得一类乘积的和式的极限式，再将其与其他类积分形式作比较，引导学生猜测是否是新的积分类。在这个过程中揭示了事物之间的普遍联系，传达了科学家的质疑精神、钻研精神，并通过中国古代建筑的例子彰显中国古建筑的科学性。实现了课程知识、科学精神、唯物主义哲学与民族自豪感的融合。具体过程如下：

首先提出问题：小球沿哪条曲线能最快到达A点？（图2）

图2 小球的运动路线

从直观上看，直线最短，应该沿直线最快（引导学生从直观图像大胆猜测——科学方法）。然而有时候看似是“捷径”却未必最快。选正确的路才是真正最快的（告诫学生踏实做人，不走所谓的“捷径”）。

意大利科学家伽利略在1630 年发现沿直线并不是最快的。他猜测是圆弧或抛物线，但并不是。那么沿什么曲线小球下降最快呢？

约翰·伯努利于1696 年向科学界发布“挑战书”，再次提出这个问题［体现科学家的批判精神、钻研精神（PPT 展示见图3）］。

图3 最速降线问题

这就是数学史上著名的最速降线问题。最速降线问题吸引了当时很多最著名数学家的关注。牛顿、莱布尼兹以及伯努利兄弟都给出了正确的结果，答案就是一段旋轮线（即摆线）。其实，惠更斯在1673 年就研究过这一重要的曲线，只是没有想到这还是一条最速降线。惠更斯研究摆线时发现，当小球沿摆线的不同高度滑落到最低点所用时间都相等，并由此发明了摆钟。所以摆线又称等时曲线。故而，最速降线就是摆线，也称旋轮线，也是等时曲线。这就是事物多面性的体现（马克思主义哲学观点：事物之间的普遍联系，事物的多面性）。

最速降线在建筑中也有应用。我国古建筑中的“大屋顶”，如北京故宫的屋檐就是最速降线。按照这样的设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用（彰显中国古代建筑的科学性，增强民族自豪感。数学在实际中的应用案例）。

然后利用元素法计算小球沿最速降线滑落到A点所用时间（实现到课程内容的自然过渡）。用“大化小、常代变、近似和、求极限”的方法获得小球滑落时间为一类乘积的和式的极限。将其与课前探究问题（请学生归纳所学过的直线型物体、平面型物体及体型物体的质量的计算方法及计算式，并求曲线型构件的质量）的结果进行比较，引导学生发现异同。再与其他类积分进行比较（PPT 展示见图4），引导学生产生疑问：这是否是一种新的积分，如果是，应该如何定义？从而引出对弧长曲线积分的定义。

图4 知识点对比

整个教学过程大约10~15 分钟，但涉及的思政元素是多样的，课程内容与思政元素的融合也非常完美。最速降线的奇妙性和多面性结合课件中动图展示非常吸引学生，有利于形成新知识，更有利于学生对多种积分类进行分析和应用。教师在讲解时出于讲述的完整性，可以不将括号内的思政元素讲出来，但是可以在PPT 中呈现出来。这样既不破坏讲述的完整性，也让学生清晰认识到科学精神、科学方法的具体体现。教师在这部分的教学采用课前探究的方式，先给出问题引导学生归纳和思考，再在课堂教学中采用“P+H“方式对曲线积分的定义引入部分进行处理。通过提出问题、解决问题、发现新问题的方式进行教材内容优化甚至重组，形成新的内容和教学方法。这种方式更有利于培养工科学生所需要具备的观察事物的敏锐眼光、探究事物的钻研精神及抽象问题解决实际问题的能力。

结语

本文围绕高等数学课程内容，以新时代新工科人才需求为目标，探讨如何使高等数学课程内容与思政相融合，如何在新工科背景下培养高素质的具有国际竞争力的工科人才所应具备的数学能力、素养及价值观。

本文将高等数学课程中所能融入的思政元素按照育人功能进行了分类，明确了高等数学课程思政的内容与功能，做到有的放矢。文中针对课程本身所蕴含的思政元素（隐性思政元素，如科学方法与哲学思想）给出了隐性元素显化的方式，以达到训练学生的逻辑思维、培养学生科学素养的目的。提出了优化课程内容和教法（隐性方式植入家国情怀和价值塑造），以多个案例说明如何达到思政内容与课程的自然衔接；提出加强数学软件的使用，帮助学生理解概念的同时增强学生应用数学的能力；提出“P+H”方式重构概念与方法，并用一个详细的案例阐述如何使用“P+H”方法，达到多种元素相融合，真实呈现高等数学课程思政是如何做到“如盐在水，春风化雨，无处不在”的。

学生对一门课程学习的关注度和参与度是否得到提高，是评价所用教学方法是否真正有效的依据。本文所提出的方法是经过教学实践获得的，是切实可行的。从学生评教、问卷调查及同行评价结果来看，具有良好的教学效果反馈。教师进行课程思政时更自然，课堂氛围更融洽，学生对数学的学习兴趣也有所提高。课程思政方法合适，学生愿意接受，才能对学生起到潜移默化的影响。当然，对学生思想影响的效果体现不是几次课或一门课程能够完成的，学生还会受到多方面的影响。但每一位教师都应该尽力发挥本课程该承担的相关价值塑造的作用，才能实现全程育人、全方位育人，达到立德树人的目的。