NL-Fuzzy拓扑空间的连通性

高佳欣，王小霞，李乔乔

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

连通性是一般拓扑学中的重要概念，许多学者将它推广到了LF-拓扑空间中并得到了一些有价值的结论。1996 年RATNA 等在文献［1］中，根据分子网的收敛，定义了IX上的N-开集，由N-开集定义了N-Fuzzy 拓扑空间。2022 年王延军在文献［2］中将N-开集的概念推广到LF-拓扑空间，并利用其定义了NL-Fuzzy 拓扑空间，讨论了NL-Fuzzy 拓扑空间和LF-拓扑空间之间的关系。文献［3-14］对不同的拓扑空间的不同连通性进行深入研究，得出关于连通性的一些重要性质。

本文利用N-开集的定义在NL-Fuzzy 拓扑空间上给出N-闭包、N-内部、N-隔离等概念，借助N-隔离给出N-连通性的定义以及其若干等价刻画，且讨论了它的一些基本性质，证明了N-连通性具有可和性和拓扑不变性，通过反例证明了N-连通性不是L-好的推广。从而进一步丰富和完善了NL-Fuzzy拓扑空间理论体系。

1 预备知识

在本文中，L为Fuzzy 格，X表示非空集，LX表示X上的全体LF集，M∗(LX)表示LX中所有分子所成的集合。1X和0X分别表示L中的最大元和最小元。其他未说明的符号、概念见参考文献［3］。

定义1.1［1］设(LX，δ)是LF-拓扑空间，S是LX中的分子网，xα∈M*(LX)，若对于每个P∈Nη(xα)，S最终不在P中，我们称S为N收敛于xα。

定义1.2［2］设(LX，δ)是LF-拓扑空间，A∈LX，如果A中每个α分子网S都N收敛于高度为α的某个点，则称A为N-开集。若A为N-开集，则A′为N-闭集。

定义1.3［2］LX中的所有N开集构成的拓扑称为NL-Fuzzy 拓 扑，记 为Nδ，称(LX，Nδ)为NL-Fuzzy拓扑空间，简记为NL-fts。

定义1.4［3］设(X，δ)是分明拓扑空间，(LX，Nδ)是由(X，δ)拓扑生成的NL-fts，E是X的子集，则E∈δ当且仅当χE∈Nδ。χE表示X的子集E的特征函数。

2 连通性及其等价刻画

定义2.1设(LX，Nδ)为NL-fts，A∈LX，包含A的一切N-闭集的交称为A的N-闭包，记作

定义2.2设(LX，Nδ)为NL-fts，A∈LX，包含于A的一切N开集的并称为A的N-内部，记作AN。。

定义2.3设(LX，Nδ)为NL-fts，A、B是NL-fts中的两个子集，如果AN-∧B=A∧BN-=0，则称子集A、B是N-隔离的。

定义2.4设(LX，Nδ)为NL-fts，A∈LX，如果不存在异于零的N-隔离集B和C，使A=B∨C，则称A为N-连通集。当最大LF集1X为N-连通集时，称(LX，Nδ)为N-连通空间。

定理2.1设(LX，Nδ)是一个NL-fts，则以下条件等价：

1）(LX，Nδ)不是N-连通空间；

2）存在两个非零N-闭集A、B使A∨B=1X，A∧B=0X成立；

3）存在两个非零N-开集A、B使A∨B=1X，A∧B=0X成立。

证明1) ⇒2) 设(LX，Nδ)不是N-连通的，则存在非零的N-隔离集A、B使AN-∧B=A∧BN-=0X，且A∨B=1X。则有

所以可得A、B为N-闭集。

2) ⇒3) 设2）成立，那么有非零N-闭集C、D使C∨D=1X，C∧D=0X。这 时C′∨D′=1X，C′∧D′=0X，且C′、D′是非零N-开集。令A=C′，B=D′，有A∨B=1X，A∧B=0X，所以2) ⇒3)。

3) ⇒1) 设3)成立，则有非零N-开集D、E使得D∨E=1X，D∧E=0X，则D′∨E′=1X，D′∧E′=0X且D′、E′是非零N-闭集。显然D′和E′是非零N-隔离的。即1)成立。

定 理2.2设(LX，Nδ) 是一个NL-fts，A是(LX，Nδ)中的N-连通集，若有A≤B≤AN-，则B是N-连通集。

证明设B=C∨D，CN-∧D=C∧DN-=0X，令C1=A∧C，D1=A∧D。由于A≤B，则

A=A∧B=A∧(C∨D)=(A∧C) ∨(A∧D)=C1∨D1，

因为A是N-连通的，所以C1=0X或D1=0X。

不妨设C1=0X，这时A=D1=A∧D，由此可得A≤D，即AN-≤DN-。所以C=C∧AN-≤C∧DN-=0X，从而C=0X。即证明了B是N-连通集。

推论2.1 设(LX，Nδ)是一个NL-fts，若A是(LX，Nδ)中的N-连通集，则AN-也是(LX，Nδ)中的N-连通集.

定 理2.3设(LX，Nδ) 是一个NL-fts，A是(LX，Nδ)中的N-连通集，若B、C是(LX，Nδ)中的N-隔离集，使得A≤B∨C，则有A≤B或A≤C。

证明由于B、C是N-隔离的，则A∧B和A∧C也是N-隔离的。

而(A∧B) ∨(A∧C)=A∧(B∨C)=A，又由于A是N-连通的，从而A∧B和A∧C中必有一个为0X。不妨设A∧B=0X，则A∧C=A，即A≤C；同理，设A∧C=0X，则A∧B=A，即A≤B。

因此可得At与是N-隔离的，与假设矛盾。所以对于任意的t∈T-{t0}，At≤C。由此可得，A≤C，从而B=B∧A≤B∧C=0X。这就证明了是N-连通集。

证明设f(A)不是(，Nδ2)中的N-连通集，则存在非零的N-开集B、C，使得

B∨C=1X，B∧C=0X。

由于f是N-连续序同态，所以有f-1(B)，f-1(C)均为(LX1，Nδ1)中非零的N-开集，且有

f-1(B) ∨f-1(C)=f-1(B∨C)=f-1(f(A)) ≥A，

f-1(B) ∧f-1(C)=f-1(B∧C)=f-1(0)=0X。

这与A是N-连通集相矛盾。故f(A) 是(，Nδ2)中的N-连通集。

推论2.3NL-fts的N-连通性是N-拓扑不变性。

定理2.6设(X，τ)是分明拓扑空间，(LX，Nδ)是由(X，τ)拓扑生成的NL-Fuzzy 拓扑空间，若(LX，Nδ)是N-连通的，则(X，τ)是N-连通的。

证明设(X，τ)不是N-连通空间，则(X，τ)中有非空开集E、F，使E∨F=X，E∧F=∅。令A=χE，B=χF，由定义1.4可得A，B∈Nδ，且有

A∨B=χE∨χF=χE∨F=χE=1X，

A∧B=χE∧χF=χE∧F=χ∅=0X。

而χE=0X⇔E=∅，χF=0X⇔F=∅。

又因为E、F是非空开集，所以χE≠0X，χF≠0X。故(LX，Nδ)不是N-连通的。

定理2.6反之不成立，下面将举例说明。

例 设X为非空分明集，L是菱形格，即L={0，a，b，1}，这里0

3 结束语

本文将L-Fuzzy 拓扑空间中的连通性推广到NL-Fuzzy 拓扑空间中，研究了NL-Fuzzy 拓扑空间中N-连通性的若干等价刻画，并证明了N-连通性具有可和性和拓扑不变性，通过反例证明了N-连通性不是L-好的推广。研究结果将会推进NL-Fuzzy 拓扑空间的相关研究。目前对NL-Fuzzy 拓扑空间中连续映射及完备映射已有深入研究，但关于NL-Fuzzy 拓扑空间的分离性、紧性等方面的内容，有待进一步去探究。