指数有界双连续n阶α次积分C半群的逼近

贺凯丽，赵华新，刘娟娟

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

算子半群的逼近是算子半群理论研究的重要内容，在物理学、微分方程和非线性方程中都有着广泛的应用，许多学者对此作了大量研究工作。文献［1-2］讨论了C半群和指数有界C半群的逼近；文献［3-4］研究了双参数C半群和指数有界双参数C半群的逼近等性质；文献［5］讨论了α次积分C半群的Trotter-Kato 逼近；文献［6-7］讨论了双连续C半群的逼近和概率逼近问题；文献［8-9］进一步探讨了双连续α次积分C半群的逼近和概率逼近问题；文献［10-11］讨论了n阶α次积分C半群和双参数n阶α次积分C半群的逼近；文献［12-13］给出了双连续n次积分C半群的定义及其性质；文献［14］研究了指数有界双连续n阶α次积分C半群的定义及其性质；文献［15］讨论了指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成定理。对于指数有界双连续n阶α次积分C半群的逼近未见研究。

本文在上述文献的基础上，给出指数有界双连续n阶α次积分C半群的逼近的结果并进行证明，从而进一步丰富了双连续n阶α次积分C半群的相关理论。

1 基本概念及引理

本文假设X为无限维的复Banach 空间，B(X)是X上的有界线性算子全体所组成的代数，D(A)为线性算子A的定义域，X′是X的共轭空间，τ是X上的一个局部凸拓扑并具有以下性质：

1）τ-拓扑比‖∙ ‖-拓扑粗且是Hausdorff 拓扑；

2）空间(X，τ)在‖∙ ‖-有界集上序列完备，即对每个‖∙ ‖-有界的柯西列在(X，τ)中收敛。

设T(t) ∈B(X)，n∈N，α≥0，

T=0当且仅当存在n≥0使JnT(t)=0，t≥0。

定义3［12］设T(t)∈B(X)，若存在M≥0，ω∈R使成立，则算子族{T(t)}t≥0⊆B(X)称为指数有界的。

定义4［14］设C∈B(X)为单射，n∈N，α≥0，若：

2）存在闭线性算子A，满足：

3）{T(t)}t≥0τ-连续，即对每个x∈X，映射t→T(t)xτ-连续；

4）{T(t)}t≥0等度双连续；

5）存在M≥0，ω∈R，‖T(t) ‖≤Meωt，∀t≥0。

则算子族{T(t)}t≥0⊆B(X)称为指数有界双连续n阶α次积分C半群。其中A为其次生成元，把Gτ(M，ω，C)记为X内的所有指数有界双连续n阶α次积分C半群构成的集合。

定义5［14］设{T(t)}t≥0是由A次生成的指数有界双连续n阶α次积分C半群，若Ra(λ)C=Ra(λ，A)=λn-1(λn-A)-1C，有定义在Banach空间X上的有界逆算子，则称λ为指数有界双连续n阶α次积分C半群的次生成元的C正则点，Ra(λ)C是A的C预解式。

引理1［15］令n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，A：D(A)⊂X→X为闭线性算子并满足A⊂C-1AC，{T(t)}t≥0⊆B(X)τ-连续并满足：

‖T(t) ‖≤Meωt，∀t≥0。

则有下式成立：

引理2［14］令双连续n阶α次积分C半 群{T(t)}t≥0的次生成元为A，并且{T(t)}t≥0∈Gτ(M，ω，C)，则对∀x∈X，有

而且两式的右端积分在关于t的有限范围内是一致收敛的。

2 主要结果

定 理 1设A，An∈Gτ(M，ω，C)，{T(t)}t≥0，{Tn(t)}t≥0分别是由A、An次生成的指数有界双连续n阶α次积分C半群，可得下列命题等价：

(a)若对∀x∈X，Reλ>ω，则有

Ra(λ，An)x→Ra(λ，A)x(n→∞)；

(b)若对∀x∈X，t≥0，则有

Tn(t)x→T(t)x(n→∞)。

证明(a) ⇒(b)：

对∀x∈X，在固定区间t∈[0，t]上有

1）关于D1：

因为‖Tn(t) ‖≤Meωt≤MeωT，

所以由命题(a)及范数的性质可得

即D1→0。

2）关于D3：

由于对∀x∈X，

Ra(λ，A)x→Ra(λ，An)x(n→∞)，

则T(t)x∈{T(t)x：0 ≤t≤T}，有

Ra(λ，A)T(t)x→Ra(λ，An)T(t)x(n→∞)，即D3→0。

3)关于D2：

由引理2可得形

3 结束语

算子半群理论所研究的内容十分丰富，但关于指数有界双连续n阶α次积分C半群的逼近未见讨论。本文在指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成和lapace 逆变换的基础上，给出了指数有界双连续n阶α次积分C半群预解式逼近和半群逼近的等价关系，从而丰富了双连续n阶α次积分C半群的理论。双连续n阶α次积分C半群中还有许多问题值得去研究，接下来可以对以下几方面进行探索：

1）双连续n阶α次积分C半群的概率逼近；

2）双连续n阶α次积分C半群在高阶Cauchy 问题中的应用；

3）双连续n阶α次积分C半群的微积分性质。