基于新型滑模控制和STSM-MRAS观测器的SPMSM转速估计研究

段乾超，李玉东,2，孟娟娟

（1.河南理工大学 a.电气工程与自动化学院 b.继续教育学院，河南 焦作 454003；2.河南省煤矿装备智能检测与控制重点实验室，河南 焦作 454003）

0 引言

永 磁 同 步 电 机( Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM )由于响应速度快、体积小、效率高以及功率密度高等优点，在航空航天、工业、船舶电力推动器等领域应用广泛[1-2]。PMSM 作为一个强耦合、非线性、多变量的系统，在受到内部以及扰动因素影响时，传统PI 速度控制无法满足PMSM 高性能控制要求。因此，国内外学者提出了许多控制策略，例如，模糊滑模速度控制[3]、滑模速度控制[4]、滑模自抗扰速度控制[5]等。其中，滑模速度控制具有强鲁棒性，响应迅速，对参数变化及扰动不敏感等优点，但是其在稳态运行时存在抖振问题[6-7]。为了削弱抖振现象，文献[8]提出了模糊滑模速度控制，该方法对于系统被控对象不敏感，但很大程度上依赖于专家控制的经验。文献[9]引入了非奇异快速终端滑模速度控制，缓解了滑模速度控制的抖振问题，但是当系统偏离平衡点时，存在收敛速度较慢的问题。

在实际工程中，PMSM 高性能控制策略的实现依赖于对转子位置和转速的精确测量。随着电机在不同工作环境中的应用，位置传感器的使用会降低系统的可靠性，导致无法精确测量电机的转速和转子位置[10-11]。因此，无位置传感器技术具有重要的研究意义。目前，无位置传感器控制策略包括：(1)滑模观测器法[12-13]，这种策略具有高鲁棒性和高动态性，但是其固有的滑模抖振问题会降低估计精度。文献[14]提出了改进滑模观测器，利用新型函数构建趋近律，减小了传统滑模观测器的抖振现象。(2)扩展卡尔曼滤波法[15-16]，该方法减小了噪声对观测器的不利影响，但是其计算过程较为复杂。文献[17]提出了降阶的扩展卡尔曼滤波器法，减小了运算量，提高了运算速度。(3)模型参考自适应算法[18-19]，该方法估计精度高，控制算法简单，在中高速运行时性能较好，应用较为广泛。文献[20]利用MRAS 观测器对同步磁阻电机进行无位置传感器控制，传统MRAS 观测器的自适应机构可以看作PI 控制器，其鲁棒性不强，动态性能较差，当发生负载扰动时，其估算精度将会降低。

针对滑模速度控制策略和传统MRAS 估计策略的不足，本文提出了一种基于全局快速终端滑模控制器(Global Fast Terminal Sliding Mode Controller，GFTSMC) 和 超 螺旋滑模MRAS(Super-Twisting Sliding Mode MRAS,STSM-MRAS)观测器的SPMSM 转速估计策略。首先，结合线性滑动模态和快速滑动模态构建新型滑模面，设计全局快速终端滑模控制器，使系统状态误差能在有限时间内快速收敛到零。其次，在传统MRAS 观测器的基础上引入超螺旋滑模算法，构建超螺旋滑模MRAS 观测器模型，通过高阶符号函数获取电机的转速和转子位置，缓解了滑模控制固有的抖振问题，提高了系统的鲁棒性。最后，经过仿真实验对比，验证了本文所提估计策略的可行性与有效性。

1 SPMSM数学模型

在d-q 轴坐标系下，忽略系统阻尼的影响，SPMSM 的数学模型为：

式中，id、iq和ud、uq为d 轴、q 轴的定子电流和电压；R、Ls为定子电阻和电感；ω为电机转速；φf为永磁体磁链；p为极对数；TL为负载转矩；J为转动惯量。

2 控制器设计

2.1 传统滑模观测器

定义PMSM 的状态变量：

式中， 为电机给定转速。

结合SPMSM 的数学模型，对式(2)求导可得，

选取滑模面函数为：

式中，c＞0 为待设计参数。

对式(5)求导，可得：

根据指数趋近律法，可得滑模控制器表达式为：

式中，ε＞0，q＞0。

从而可得q 轴参考电流为

根据滑模到达条件 ＜0，可验证系统在滑模控制下是渐近稳定的。

2.2 GFTSMC控制器

传统滑模控制通常采用线性滑模面，系统状态误差渐近收敛至零，但收敛时间却趋于无穷。为此，国内外学者提出了快速终端滑模控制策略，使状态误差能够在有限时间内收敛至零，但是其收敛速度比线性滑模的收敛速度慢。

为保证系统状态误差能够在有限时间内快速收敛到零，结合线性和快速滑动模态，设计了全局快速终端滑动模态。其滑模面函数为[21]：

式中，α＞0，β＞0，b＞a＞0 且为奇数。

当系统状态x1偏离平衡点时，收敛时间由决定，反之，则由决定。

全局快速终端滑模控制器表达式为：

其中，α＞0，β＞0 ，ρ＞0，µ＞0，a、b、c、d（a＞b及c＞d）为正奇数。由于GFTSMC控制律是连续的，不含切换项，因此可有效削弱抖振现象。

由式(4)和式(10)可得q 轴参考电流：

由式(11)可得，在全局快速终端滑模控制下，电机转速误差能够沿着滑模面到达系统稳定点。

为 证 明GFTSMC 的 稳 定 性， 构 建Lyapunov 函数

对式(12)求导，整理可得

式(13)中，ρ＞0，µ＞0，且c、d为正奇数，则 。因此，该控制器满足Lyapunov 稳定性定理[22]的条件，符合滑模存在和全局到达条件。

3 观测器设计

3.1 传统MRAS观测器

传统MRAS 的辨识原理如图1 所示，包含参考模型、可调模型和自适应律模型。

图1 MRAS辨识原理图

从式(1)中分析可知，SPMSM 的数学模型中包含待辨识的转速信息参数，因此可构建可调模型。

将式(1)变换，可得：

式中：

将电流估计值 和转速估计值 代入式(14)，可得可调模型：

整理上式，可得误差状态方程为：

将上式用状态空间方程表示，可得：

式中：

进一步整理，可得：

其中，c为单位矩阵。

式(16)描述的系统是一个非线性时变系统，适用于Popov 超稳定性原理。根据Popov 超稳定性原理，非线性时变系统稳定的充要条件为[23]：

对于条件(1)，根据正实引理[24]可证明该条件成立。

对于条件(2)，需满足：

对式(19)进行逆向求解可得转速估计的自适应律：

结合式(14)和式(20)，可得估算转速表达式为：

由式(20)可知，MRAS 的自适应律可以看作PI 控制器。结合图1 可知，当参考模型的输出电流与可调模型的输出电流误差收敛到零时，此时电机的估计转速将达到电机的实际转速。

3.2 超螺旋滑模MRAS观测器

为解决PI 自适应模型鲁棒性差以及滑模控制固有的抖振问题，本文引入超螺旋滑模控制策略替代传统MRAS 观测器的PI 自适应律[25]。其表达式如下：

式中，x1和x2是状态变量；x˙1 和x˙2 是对应状态变量的导数；k1和k2为滑模增益；sign()为符号函数。

由式(22)可以看出，sign()是非连续函数，这将会引起滑模控制的抖振问题。超螺旋滑模算法是二阶滑模控制，在sign()前引入连续项并将sign()放到高阶导数中，有效缓解了传统滑模的抖振问题。结合式(21)，构造滑模面：

利用式(1)和式(15)，对式(23)求导，整理可得：

由式(23)和(24)可知，当s=s˙=0 时，参考模型的输出电流id和iq与可调模型的输出电流 和 的误差收敛到零，同时，由观测器得到的估计转速也收敛于电机的实际转速。

根据选取的滑模面s和式(24)，基于STSM-MRAS 的估算速度表达式为：

估算转子位置为：

式中， 为转子位置估计值。

3.3 稳定性分析

由Lyapunov 稳定性定理可知，状态矢量为：

其中，ζ1和ζ2是状态变量。由式(27)中可知，当状态变量ζ1和ζ2在有限时间内收敛到零时，那么状态变量x1和x2在有限时间内也能够收敛到零。结合式(22)，可得在有限时间内系统状态可以到达滑模面且状态误差收敛到零。

对式(27)进行求导，将式(22)代入，整理可得：

进一步选取Lyapunov 函数为：

对式(18)求导为：

结合式(27)，进一步变换，整理可得：

可得：

当滑模增益k1、k2＞0 时，可知矩阵A 和B 是正定矩阵，矩阵 为负定矩阵。因此，当满足滑模增益k1、k2＞0 时，系统在平衡点ζ1=ζ2=0 是渐近稳定的。

4 仿真实验

为验证基于GFTSMC 和STSM-MRAS 的转速估计策略的可行性与有效性。采用id=0的矢量控制方法，忽略系统阻尼的影响，利用Matlab/Simulink 仿真平台构建SPMSM 无位置传感器控制系统，系统的框图如图2 所示。仿真电机参数如表1 所示。

表1 仿真电机参数

图2 基于GFTSMC和STSM-MRAS的SPMSM无位置传感器控制系统框图

在空载条件下启动，设定电机的初始转速为1 000 r/min，在0.2 s 时，转速突变到2 500 r/min。基于GFTSMC 和STSM-MRAS的转速转速估计策略与基于传统SMC 和MRAS的转速估计策略的仿真结果如图3 所示。

图3 给定转速突变时两种控制策略的实际转速和估计转速的仿真对比图

从图3 中可见，当转速到达1 000 r/min 时，基于传统SMC 和MRAS 的转速估计策略具有较大的超调，最大转速误差为10 r/min，而基于本文所提估计策略能够消除超调，最大转速误差为4 r/min，且达到稳定运行状态的时间比基于传统SMC 和MRAS 的估计策略达到稳定运行状态的时间缩短了0.02 s。当转速突变到2 500 r/min 时，基于传统SMC 和MRAS 的估计策略的转速误差波动较大，收敛到零的时间较长，而本文所提估计策略的转速误差波动较小，经过0.1 s 后逐渐收敛到零。

为验证本文所提估计策略的抗干扰性能。设定电机的初始转速为1 000 r/min，在0.2 s时加入10 N·m 负载。两种转速估计策略的仿真结果如图4 所示。

图4 负载扰动时两种控制策略的实际转速和估计转速的仿真对比图

从图4 的仿真结果来看，在前0.2 s 时，基于传统SMC 和MRAS 观测器的转速估计策略的转速波动较大，最大转速误差为10 r/min，达到稳定运行状态的时间为0.07 s，而基于本文所提转速估计策略的转速波动较小，最大转速误差为3 r/min，达到稳定运行状态的时间为0.055 s。当0.2 s 加入10 N·m 负载时，基于传统SMC 和MRAS 的转速估计策略的最大转速误差为4 r/min，达到稳定运行状态的时间为0.045 s，而基于本文所提转速估计策略的转速误差小于4 r/min，达到稳定运行状态的时间为0.025 s。

从上述两组仿真结果来看，相比于基于传统SMC 和MRAS 观测器的转速估计策略，本文所提基于GFTSMC 和STSM-MRAS 的转速估计策略能快速准确地收敛到实际值，转速误差更小，具有更好的动静态性能和抗干扰性。

为验证STSM-MRAS 观测器的估算转子位置性能。设定电机初始转速为1 000 r/min，在0.2 s 时加入10 N·m 的负载，仿真时间0.4 s。两种估计策略的转子位置估计结果如图5(a)和(b)所示，仿真图选取的时间0.15 s ～0.25 s 内的转子位置。两种估计策略的转子位置误差如图5(c)和(d)所示，选取的时间为0 s ～0.4 s。

图5 负载扰动时两种控制策略下的转子位置估计情况

从图5 中可见，基于传统SMC 和MRAS的转速估计策略的最大转子位置误差为0.04 rad，而本文所提转速估计策略的最大转子位置误差为0.01 rad，收敛到零的时间为0.07 s。当0.2 s 时加入负载扰动时，本文所提转速估计策略仍能准确跟踪转子位置，转子位置误差较小。

5 结语

本文提出基于GFTSMC 控制器和超螺旋滑模MRAS 观测器的SPMSM 转速估计策略。控制器结合线性滑动模态和快速滑动模态构建新型滑模面，提高了滑模收敛速度，使状态误差能够在有限时间内收敛到零，有效地缓解了传统SMC 的相位延迟以及抖振问题。STSMMRAS 观测器引入了超螺旋滑模算法，削弱了滑模固有的抖振问题，提高了观测器的动态性能和鲁棒性，在负载扰动或转速变化的影响下，相比于基于传统SMC 和MRAS 观测器的转速估计策略，本文所提基于GFTSMC 和STSMMRAS 观测器的转速估计策略能够快速准确地估算电机的转速和转子位置，收敛速度快，估算精度高。通过对比仿真实验，验证了本文所提转速估计策略的可行性和有效性。