基于间歇事件触发牵制控制的多智能体系统的有界性

2024-01-15朱润玉

南通大学学报（自然科学版） 2023年4期

朱润玉，刘磊

（河海大学理学院，江苏南京 213022）

随着信息科学技术的快速发展，多智能体系统已经获得了广泛的关注，其被用于各种领域，包括群集[1]、编队[2]和优化[3]。多智能体系统的稳定性研究被众多科研工作者所青睐[4-8]。

大多数多智能体系统稳定性研究关注的是渐近稳定性。注意到渐近稳定性是在无穷时间区间上的稳定性，但在很多实际系统中，有限时间稳定性比渐近稳定性更实用。文献[9]首次提出了有限时间稳定性，随后，文献[10]扩展到了有限时间有界性。对于带有外部扰动的系统，当初始状态被限制在一个有界范围内，系统状态在固定时间区间上不超过某个阈值，则称该系统是有限时间有界的。在过去的十年里，有限时间有界性被应用于各类系统，包括网络化控制系统[11]、时滞系统[12]和多智能体系统[6]。

在实际系统中，由于一些限制，例如网络攻击和传感器故障，智能体之间也许会通信失败。相应地，学者们提出了间歇控制。间歇控制将时间分割为工作和休息周期，其中休息周期用于故障恢复。间歇控制避免了控制器的连续运行，延长了控制器的使用寿命。最近，曹进德院士及其合作者深入地研究了间歇控制[4，7，13-14]。注意到智能体的数量也许是庞大的，在这种情况下，控制每个智能体是很困难的，自然地，学者们使用了牵制控制[15-20]，使得仅对一部分智能体施加控制。

随着数字控制技术的快速发展，事件触发控制被广泛应用于各类系统，包括复杂网络[16-17]和多智能体系统[5，21-22]。在事件触发机制中，预先给定的触发条件决定了控制器的更新时刻，这就减少了控制器的更新次数。

在过去的几十年里，学者们将事件触发控制与其他控制策略整合到一起，形成了一些新颖的混杂控制策略。部分学者研究了基于间歇控制、事件触发控制和牵制控制的混杂控制[16-18]，其中，文献[16]中的牵制集合避免了快速切换，文献[17－18]研究了间歇事件触发控制。然而，这3 条文献仅考虑了无穷时间稳定性或者渐近稳定性，并且没有考虑系统受到外部扰动的情况。

受上述文献的启发，本文将利用间歇事件触发牵制控制，研究多智能体系统的有限时间有界性。本文将主要解决以下两个问题：1）设计合适的间歇事件触发牵制控制机制；2）建立多智能体系统的有限时间有界性判据。

1 预备知识和问题描述

在本文中，使用了无向连通通信拓扑G=（V，E）。E={1，2，…，N}表示节点集合；E ⊆V × V 表示边集合。邻接矩阵为A=（aij）N×N，其中aii=0。如果（j，i）∈E，那么aij=aji=1，否则aij=0。拉普拉斯矩阵为L=（lij）N×N。如果i≠j，那么lij=-aij，否则lii=∑jaij。

定义1[20]设条件：1）对于Dt中的任意一个节点i，对i 施加控制；2）对于任意一个不在Dt中的节点j，对j 未施加控制。若上述两条件成立，则称集合Dt为在t 时刻的牵制节点集合。

考虑如下的多智能体系统，i=1，…，N，

其中：f：R+× Rn→Rn；xi（t）∈Rn和wi（t）∈Rn分别是节点i 的状态矢量和外部扰动。设计间歇事件触发牵制控制

其中：k1>0 是控制增益；对任意的i=1，2，…，bi>0；对任意的k=0，1，…，[kT，kT+ρ）是满足ρ≤T的工作区间，[kT+ρ，（k+1）T）是休息区间。系统（1）可被写为

假设1对任意的xi∈Rn，i=1，2，存在一个常数α >0 使得

此外，假设f（t，0）=0。

2 有限时间有界性分析

这就表明对于任意的t∈[kT，kT+ρ），有

对于任意的t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函数为

对于t∈[kT+ρ，（k+1）T），令Lyapunov 函数为

接下来需证明对任意的t，

事实上，当t∈[kT，kT+ρ）时，

利用基本不等式和F 的定义，计算可得

利用式（14）和（15）可得

注意到

利用事件触发条件（4）可得

将式（17）和（18）代入式（16）可得

利用条件（6）可得

对于任意的t∈[kT+ρ，（k+1）T），利用条件（7）可得

根据式（20）和（19），式（13）成立。

根据条件（9）和（10）有V1（kT）≤μ2V2（（kT）-）和V2（（k -1）T+ρ）≤μ1V1（（（k -1）T+ρ）-）。当t∈[kT，kT+ρ）时，

多次迭代后可得

当t∈[kT+ρ，（k+1）T）时，

注意到

证明完毕。

注1考虑如下的事件触发机制：

其中φi∈（0，1]，信号ζi（t）满足ζi（t）=ζi（0）exp{-γit}，ζi（0）>0，γi>0。

由于ζi（t）>0，则相比于事件触发机制（4），事件触发机制（26）减少了触发次数。令则有如下定理。

定理2在条件（6）—（11）和

证明：当t∈[kT，kT+ρ），令Lyapunov 函数为

当t∈[kT+ρ，（k+1）T）时，令Lyapunov 函数为W（t）=W2（t）=V2（t）。

当t∈[kT，kT+ρ）时，类似于定理1，可推导得

其中

由事件触发条件（26）可得

将式（30）和（29）代入式（28）再利用式（27）可得

类似于定理1，可证得系统（3）是关于（c1，c2，，Tf，d）有限时间有界的。证明完毕。

3 数值仿真

下面通过一个数值例子说明本文方法的有效性。考虑一个带有6 个节点的多智能体系统，其通信拓扑满足

其余连接权重都为0。对任意的i，假设bi=1，f（xi（t），t）=0.2xi（t）-0.1sin（xi（t）），扰动满足wi（t）=0.2cos（xi（t）），初始条件满足（x1（0），x2（0），…，x6（0））T=（-2，4，6，-1，1，2）T，Tf=5，T=1。经过简单计算可得α=0.3，d=0.2，c1=62。令R=P1=P2=I。的轨迹和状态变化分别如图1 和图2所示。显然，状态轨迹是发散的。为了使条件（6）—（10）成立，选择参数c2=75。经过计算可得k1≥3.069 8，选择k1=4。牵制节点的变化为{3，2，1}→{3，2，6}→{3，2，1}→…。图3 展示了受控系统在触发机制（4）下的状态变化。选择固定节点集合{1，2，3}和控制增益k1=4，图4展示了受控系统的状态变化。对i=1，…，6，选取γi=3，ζi（0）=1，φi=2，图5 展示了受控系统在触发机制（26）下的状态变化。