声空化气泡的KM-NASG动力学模型

乌日乐格，那仁满都拉

（内蒙古民族大学 物理与电子信息学院，内蒙古 通辽 028043）

在声空化的研究中，一般情况下都采用范德瓦尔斯（VdW）方程、Tait方程等状态方程。比如，YUAN等［1］讨论液体的可压缩性、热传导、状态方程（VdW状态方程以及M状态方程）、表面张力、气泡含量对声致发光热力学和流体动力学的影响，并与RP方程、Keller-Mirsis（KM）方程和Gilmore 方程耦合的数值结果，对声致发光气泡的气体动力学进行了研究。卢义刚等［2］利用Gilmore方程与修正的Tait状态方程相结合，研究了超临界二氧化碳流体中声空化气泡的特性。SHEN等［3］利用KM方程与VdW状态方程相结合，研究了空化气泡壁处液体温度的空间分布。DEHANE等［4］利用修正的KM方程和VdW状态方程相结合，研究了环境压力对气泡声化学的影响。徐珂等［5］利用修正的KM方程与VdW状态方程相结合，研究了超声驱动下考虑水蒸气蒸发和冷凝的球状泡群中泡的动力学特性。2016年，LE等［6］提出了一个状态方程，即Noble-Abel-Siffend-Gas（NASG）状态方程。随之，DENNER［7］利用Gilmore方程和NASG状态方程相结合后建立了Gilmore-NASG模型，并与Gilmore-Tait模型相比较发现，Gilmore-NASG模型更适合于研究周围液体对气泡空化特性的影响。郑雅欣等［8］利用Gilmore-NASG 模型，在考虑液体可压缩效应的边界条件下，研究了可压缩液体中气泡的声空化特性。

笔者在考虑传质传热和扩散效应的情况下，利用能够统一描述气态、液态及气液混合态的NASG状态方程并与修正的KM方程相结合，建立新的KM-NASG模型。利用新模型，数值研究空化气泡的半径、速度、压力、分子数、内能、温度及马赫数的变化，并对所得结果与KM-VdW 模型给出的结果进行比较分析。

1 气泡动力学模型

1.1 KM-NASG模型的建立

1.1.1 修正的KM方程

YASUI［9］在考虑空化气泡内气体蒸发和冷凝情况下，修正KM方程，得到了修正的KM方程如下

式（1）中，小黑点表示对时间导数，R为气泡的瞬时半径，为空化气泡的单位时间单位面积上的蒸发和冷凝速率，Cl、ρl,i(ρl,∞) 分别表示气泡壁处液体中的声速、液体（无穷远处）的密度，Ps=-Asin(2πf(t+R/Cl))为作用于气泡的驱动声压。在本文公式中，下角标l表示液体相关的量，下角标g表示气体相关的量。其中，气泡壁处液体压力Pl与气泡内气体压力Pg有关，它们的关系为

式（2）中，Pg为气泡内气体压力，σ为液体表面张力，μ为液体黏性系数，ρg为气泡内气体密度。

1.1.2 NASG状态方程

用LE等［6］给出的Noble-Abel-Stiffened-Gas（NASG）状态方程（3）来描述［6］

式（3）中，P为压力、γ为热容比、CV为定容热容、T为温度、b为分子共体积、B为压力常数、v为比容，与密度的关系为v=1/ρ。根据声速定义和状态方程（3），气泡壁处液体中的声速Cl可表示为

通过状态方程（3），可得到气泡壁处液体密度：

和气泡内气体和水蒸气的压力：

式（6）中，x=Ar,H2O 分别表示气泡内氩气和水蒸气（本文假设气泡内含有氩气和水蒸气），Nx为气泡内气体分子数，NA是阿伏加德罗常数，Mx为气泡内气体摩尔质量，Tg为气泡内气体温度，V为气泡体积，ΔCx为气泡内气体的定压热容和定容热容之差，定压热容和定容热容可用文献［10］给出的表达式计算。bg,x和Bg,x分别为气体分子共体积和压力常数［11］。

1.1.3 气泡内水蒸气蒸发和冷凝

气泡内单位时间单位面积上的蒸发和冷凝速率由气体动力学理论导出的Hertz-Knudsen公式计算［12］：

式（7）中，α为常数（α=0.4），(Ts)为分子平均速度，ρg,H2O(R)为水蒸气密度，为饱和水蒸气密度。因此，水蒸气的蒸发和冷凝引起的分子数的变化可表示为

1.1.4 气泡内气体扩散

气体从气泡内部扩散到周围液体所引起的气体分子数的变化可由Epstein-Plesset 理论中所用的气体扩散方程来表示［13］：

式（9）中，DAr为氩气的扩散系数，cs、c∞分别为气体的平衡浓度、气体的饱和浓度。

1.1.5 气泡内外热量传导

气泡内外的热交换量由下式计算［12］：

式（10）中，lth为热边界层厚度，χ为边界层的热扩散率，λ为混合气体的热导率。

1.1.6 气泡内气体温度

由于气泡的内能是温度和体积的函数［13］：

根据恒定体积下摩尔热容的定义，下列关系成立：

对于NASG状态方程来讲，式（11）中的第2项变为：

把式（12）和式（13）代入式（11）并进行积分，可得到气泡内能的表达式：

其中，E为气泡内气体内能，CV,H2O(T)、CV,Ar(T)分别为水蒸气和氩气的定容摩尔热容［10］。利用气泡内能公式（14）并结合热力学第一定律，可计算出气泡内气体的温度。

1.1.7 气泡内气体内能

根据热力学第一定律，把内能变化表示为［12］

式（15）中，等式右端第1项表示气泡内压力做功所引起的能量变化；第2项表示气泡周围液体的水分子蒸发成水蒸气和气泡内的水蒸气分子凝结到液体中所携带的能量变化；第3 项表示热传导引起的能量变化；第4项表示气泡内气体分子扩散所引起的能量变化。综合上述方程（1）～方程（15）就构成了空化气泡的封闭运动方程组，即笔者建立的研究空化气泡动力学特性的KM-NASG模型。

1.2 KM-VdW模型

所谓的KM-VdW模型是修正的Keller-Miksis（KM）方程与范德瓦尔斯（VdW）状态方程相结合的模型［12］。此模型中使用的动力学方程也是修正的KM方程（1），而状态方程是VdW状态方程：

式（16）中，Pg为气泡内气体压力，Tg为气泡内气体温度，，V为气泡体积，a和b为范德瓦尔斯量。

利用气泡内能的公式（17）并结合热力学第一定律，可计算出气泡内气体温度。

此外，KM-VdW 模型中液体中的声速和液体密度取为常数，其他各量的计算公式和表达式与KMNASG 模型中所用的相同。因此，KM-NASG 模型与KM-VdW 模型相比，主要区别是所使用的状态方程以及由状态方程导出的液体中的声速表达式、液体密度表达式以及泡内温度的计算公式不同，其他各量的表达式和计算公式都相同。

文中给出的新模型与原有模型相比：（1）所用的NASG状态方程既简单又能准确描述气态、液态及气液混合态；（2）计算时使用了更为简单的Hertz-Knudsen公式；（3）用NASG状态方程直接表达出了液体声速和密度的变化；（4）热容的表达式与YASUI［9］用的不同，使用了由气体液体分子理论得到的热容表达式。

2 数值模拟

文中选择水为液体介质，气泡内气体为氩气和水蒸气，空化气泡的初始半径为R0=4.5 μm，驱动声压振幅为A=1.275 P0，驱动频率为f0=26.5 kHz。用2种模型计算时所用的相关物理参数为：MAr=0.04 kg·mol-1，MH2O=0.018 kg·mol-1，T0=300 K，μ=0.001 Pa·s，σ=0.072 75 N·m-1，P0=1×105Pa，γl=1.19，CVl=3 61 0 J·kg-1·K-1,bl=6.675 3×10-4m3·kg-1，Bl=6.154 7×108Pa，Bg=0 Pa，aH2O=5.537×10-1J·m3·mol-2，aAr=1.355×10-1J·m3·mol-2，bH2O=3.049×10-5m3·mol-1，bAr=3.201×10-5m3·mol-1。

3 结果与分析

图1（a）为气泡半径的变化，可看出，当使用KM-NASG模型时，计算得到的崩溃深度约为0.856 9 μm，当使用KM-VdW模型时，计算得到的崩溃深度约为0.721 5 μm（图1（a））。KM-NASG模型的崩溃深度较浅的原因是因为新模型相比于KM-VdW模型更充分考虑了气泡周围液体的可压缩性（液体密度是可变的），能够让气泡周围的可压缩液体吸收部分入射声波能量，辐射出更多的声波能量，起到了像“弹簧”的作用。这与文献［1］给出的现象解释是一致的。图1（b）为气泡壁速度随时间的变化。对比发现，KMNASG 模型给出的崩溃速度和回弹速度均大于KM-VdW 模型给出的相应值。可知，崩溃深度较浅的气泡，气泡的崩溃速度也减小；回弹半径较大的气泡，气泡的回弹速度也较大。

图1 气泡脉动过程中气泡半径和气泡壁速度随时间的变化Fig.1 The change of bubble radius and bubble wall velocity with time during bubble pulsation

图2（a）和图2（b）为气泡内气体压力和温度随时间的变化。2种模型对比可看出，KM-NASG模型计算出的气泡内压力峰值大于KM-VdW模型给出的压力峰值；并且用KM-NASG模型预测出的温度高，相比于KM-VdW模型给出的温度约增加了20%，约达到14 409 K。这是由于2种模型所使用的状态方程不同，导致KM-NASG模型给出的气泡内压力和温度增大。

图2 气泡脉动过程中气泡内气体压力和气泡内温度随时间的变化Fig.2 The change of gas pressure and temperature in bubble with time during bubble pulsation

图3（a）和图3（b）为气泡内水蒸气分子数和氩气分子数的变化。气泡崩溃时由于气泡内压力突然增加，导致水蒸气分子数和氩气分子数减少，也就是气泡内总气体含量减少，但是2种模型所使用的状态方程不同，导致KM-NASG模型的水蒸气分子数增大、氩气分子数增大。图3（c）为气泡内能的变化。可以看出，气泡崩溃时气泡内压力突然增加，使得泡内压力所做的功迅速增大，导致气泡内能迅速增加。此时，虽然有泡内热量向周围液体的传导、泡内水蒸气的凝结和氩气的扩散等引起的能量损失，但这些损失的影响远小于泡内压力所做的功引起的气泡内能的增大，所以KM-NASG模型给出的气泡崩溃时的内能大于KM-VdW模型给出的值。

图3 气泡脉动过程中气泡内气体分子数和气泡内能随时间的变化Fig.3 The changes of the number of gas molecules and the internal energy of the bubble with time during bubble pulsation

图4（a）和图4（b）为气泡壁处液体中声速和液体密度的变化。可以看出，KM-NASG模型给出的气泡壁处液体中声速和液体密度在气泡崩溃时迅速增大，而KM-VdW模型给出的气泡壁处液体中声速和液体密度在整个空化过程中是不变的量。图4（c）是液体马赫数的变化。对比可知，KM-NASG模型计算出的液体马赫数小于KM-VdW模型给出的液体马赫数。这是因为在气泡崩溃时，KM-NASG模型给出的气泡壁处液体中声速较高而有效地降低了气泡壁处液体马赫数变大的可能。

图4 气泡脉动过程中气泡壁处液体中的声速、液体密度和液体马赫数随时间的变化Fig.4 The change of sound velocity，liquid density and liquid Mach number at the bubble wall with time during bubble pulsation

通过以上的分析可以看出，新建立的模型与原有的其他模型相比，使用形式更简单的NASG状态方程直接表达出了气泡周围液体密度和液体中的声速；使用更简单的Hertz-Knudsen公式表示了水蒸气的蒸发和冷凝速率。由此，笔者建立的新模型具有使用简便且不失准确性的特点，更便于研究和处理声空化问题。

4 结论

结合NASG状态方程和修正的KM方程，建立了研究具有传质传热及扩散效应的声空化气泡的新模型。利用新模型分别计算了气泡半径、速度、内能、压力、温度、分子数、马赫数以及气泡壁处液体密度和液体中的声速随时间的变化。相比于KM-VdW 模型给出的结果，用KM-NASG 模型计算得到的气泡崩溃深度略浅，内能、温度、液体中的声速和液体密度、压力峰值变大，马赫数变小。通过对声空化具体问题的应用可看出，建立的新模型使用简便且不失准确性，对空化气泡内温度和压强的计算，周围液体密度、压强以及液体中的声速与马赫数的计算等方面有其优点。