复合岩土地层隧道开挖引起土体变形的计算方法

杨海涛,晏 莉,严志伟,张文杰

(1. 长沙理工大学 土木工程学院,湖南 长沙 410114; 2. 西南交通大学 隧道工程教育部重点实验室,四川 成都 610031)

0 引言

地铁施工常常遇到上软下硬的复合地层,其整体表现是浅层为软土层,深层为较坚硬的岩层,岩土层之间的物理力学性质相差较大,当隧道开挖后浅层软土易发生较大的变形,给邻近建筑物、地下管线带来不可估量的危害[1]。因此,针对城市地铁隧道施工穿越复合地层的变形进行研究分析有着十分重要的现实意义。

在复合地层开挖隧道预测地表变形的方法有很多种,如Peck经验公式[2-3]、模型试验法[4-5]、数值模拟法[6-7]、解析法。解析法相比其他几种方法,由于成本低、计算精度高,且易于编程从而被广泛运用,解析法是基于各种理论分析方法的统称,其中用于隧道开挖预测地表变形最为常见的是随机介质理论和复变函数理论。

随机介质理论最早是波兰学者LITWIN-SZYN[8]提出,并将其运用于矿山地表变形的预测,随后经过我国学者阳军生等[9]的发展,随机介质理论开始运用于城市地铁隧道引起的地表变形预测,然而大部分学者均是将复合地层视为一种随机介质,忽视了岩土层物理力学的差异性。在随后的研究中,汤伏全[10]、李涛等[11]将复合岩土地层视为2种不同的随机介质,进一步探讨了复合岩土地层中洞室开挖对地层变形的影响,然而在计算过程中忽略了上部土层对岩土分界面的荷载且并未考虑岩土层物理力学的本质差异。

VERRUIJT[12-13]利用保角映射将半无限平面内单个圆形洞室区域映射为一个圆环区域,最终求得隧道洞周受到均布荷载或径向收缩变形条件下的围岩应力和位移解。在此研究基础上,LU等[14]基于复变函数理论,求解了浅埋隧道在隧道边界开挖应力和地表自由条件的圆形隧道的解析解;FU等[15]利用复变函数获得浅埋隧道在自重应力作用下且洞周发生非均匀变形的位移边界解析解,并讨论了隧道变形分量对位移场的影响;LU等[16]提出了利用傅里叶级数来分析浅埋隧道断面发生非均匀变形的表达式,并分析了不同隧道断面收敛变形参数和重力效应对于位移场的影响。从上述分析看出,在利用复变函数理论求解隧道开挖诱发地层变形的分析中,大部分学者是将岩土层视为一种均质线弹性体,忽略了复合地层物理力学的差异,其必然会对计算结果产生一定误差。

综上所述,目前针对复合岩土地层隧道开挖的理论研究相对较少,且鲜有学者考虑利用2种不同的解析方法联合求解复合地层隧道开挖的问题。基于此,本文在前人研究的基础上,根据隧道下穿复合地层的工况,提出一种求解复合地层隧道开挖的计算方法,首先利用复变函数获得岩层在上部土层自重荷载和洞室发生非均匀变形条件下的解析解,获得岩土分界面的沉降,随后将分界面沉降曲线与分界面所组成的区域视为“不等厚层开挖”,利用随机介质理论获得最终地表沉降。将理论计算求得的结果与复变函数、随机介质理论不采用岩土分层计算所得结果与2个工程案例进行对比分析,进一步验证了该方法的合理性和准确性。最后讨论了隧道不同收敛变形、隧道上覆岩土层软硬比以及土层影响角对地层位移的影响规律。

1 问题描述

1.1 基本假设

为了简化计算,复合地层浅埋单孔隧道力学模型采用如下基本假设:

1)隧道在纵向方向上无限长,符合平面应变问题;

2)岩层为均质线弹性体,土层为均质散体材料;

3)洞室收敛变形以及岩土分界面沉降均为小变形,对坐标的改变可以忽略不记。

直角坐标系下半无限平面复合地层隧道开挖问题的计算简图如图1所示,其中h为隧道中心至岩土层分界面的垂直距离,H为岩土层分界面到地表的垂直距离,r为隧道开挖半径,K、A分别为x1o1y1坐标系与x2o2y2坐标系的原点,B、G为无穷远处,γ1为土层1的重度,E1为土层的弹性模量,μ1为土层的泊松比,γ2、E2、μ2为岩层的物理力学参数,R区域为岩层除隧道开挖以外的区域,且不包含土层的区域。

图1 复合地层隧道开挖模型Fig. 1 Tunnel excavation model in composite stratum

1.2 岩层隧道开挖问题求解

计算过程中考虑将土层与岩层分开计算,隧道在岩层开挖问题可视为半无限弹性平面开孔问题,计算简图如图2所示。在岩土层分界面上施加均布竖向荷载qy和水平荷载qx,分别为上覆土层竖向自重应力和水平应力,其大小为:qy=-γ1H,qx=-k0γ1H,k0为侧压力系数。此外,洞室发生非均匀变形,施加位移边界条件。最后,利用复变函数理论即可获得岩层中隧道开挖后的围岩位移和应力的解析函数,从而得到岩土分界面各点的沉降值。

图2 岩层隧道开挖模型Fig. 2 Excavation model of rock tunnel

1.3 土层地表沉降的求解

随机介质理论是将土体视为随机介质,把岩土层变形分解成无限多个介质的变形,在求解地表变形计算公式时,地层选取整体坐标系xoy,变形部分采用局部坐标系ε、η,取长度、宽度方向为无限小单元,定义为dεdη,如图3所示。根据随机介质理论,在单元开挖dεdη的作用下,距离单元中心为X的地表沉降We(X)为[9]:

图3 单元开挖示意图Fig. 3 Unit excavation schematic diagram

(1)

式中:η为开挖单元距离地表距离;β与土层的影响角有关。

利用复变函数理论可以获得隧道开挖引起岩土层分界面的沉降,将分界面沉降与分界面所围成的区域记作M,如图4所示。在整个变形范围M内假定每个随机介质均发生变形,利用叠加原理可以获得最终地表沉降为:

图4 复合地层沉降传递示意图Fig. 4 Diagram of settlement transfer in composite strata

(2)

只要确定区域M的积分上下限a、b、c、d,代入式(2),即可获得任意一点的地表沉降:

(3)

岩土分界面沉降曲线与隧道收敛模式、埋深等相关,因此关于区域M二重积分的上下限难以确定,参考文献[11]可以利用抛物线拟合岩土分界面沉降曲线,即:

y=Ax2+Bx+C

(4)

式中的参数A、B、C均可由1.2节的岩土层分界面沉降值拟合得到。

岩土体的抗剪强度由内摩擦角φ和黏聚力c组成,而在随机介质理论分析时未能考虑黏聚力这一因素,因此需要将黏聚力等效为内摩擦角,根据相关文献[17]可以得出等效内摩擦角公式:

(5)

式中:γ1为土层的重度;H为土层的厚度;c为土层的黏聚力。

土层主要影响角β与土层的摩擦角有关。根据相关的经验公式[18],可以将其写为:

(6)

2 基本理论和求解

2.1 半无限平面开孔问题的求解

根据复变函数的求解方法可知,平面区域R的应力与位移可以表示为[19]:

σx+σy=4Reφ′(z)

(7)

(8)

(9)

式中:φ(z)、ψ(z)为平面区域R解析函数;G为剪切模量。

图2所示的z平面区域通过映射函数可转换为ζ平面中圆环区域,如图5所示,其中映射函数为[12]:

图5 保角映射后区域Fig. 5 Area after conformal mapping

(10)

由于φ(z)、ψ(z)在R区域内是解析函数,保角映射不改变函数的解析性,即在R′区域内φ(ζ)、ψ(ζ)也是解析函数,将φ(ζ)、ψ(ζ)展开为洛朗级数表达式:

(11)

(12)

式中a0,ak,bk,c0,ck,dk为待定系数,根据地表和隧道洞周的边界条件确定。

2.2 根据边界条件确定洛朗级数系数

在ζ平面上,地表边界条件|ζ|=1可写为:

(13)

式中Q(ζ)是以2π为周期的函数,将其展开为傅里叶级数的形式,如式(14)所示:

(14)

式中ek的具体表达式可参考文献[20]。

联立式(10)～式(12)和式(14),代入式(13)式可得:

(15)

(16)

(17)

洞室周边总共产生的位移为ur,其中ur=u0+iv0,洞室边界条件|ζ|=α可写为:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由上述分析可知,只要确定ak、bk,利用式(15)～式(17)可以确定c0、ck、dk,那么半无限平面开孔问题的各点位移即可以通过式(9)求得,从式(19)～式(22)可知,只要确定a0及Ak的表达式,即可以获得ak、bk的系数。Ak的表达式是由洞室收敛变形所决定的。

盾构隧道洞周开挖一般由径向收缩、椭圆化变形及整体下沉3种变形叠加而成[21],如图6所示。图中uε、uδ和uv分别为径向收缩变形、椭圆化变形以及竖向变形。

图6 隧道洞室变形模式Fig. 6 Deformation mode of tunnel cavern

关于隧道径向收缩[12]、竖向沉降[22]以及椭圆化变形[23]的Ak解析函数均已给出,将各种变形对应的解析函数叠加,则可得:

(23)

2.3 复合地层隧道程序编制计算过程

由于α<1,因此可以得出,随着k的增大,当k>N1(N1为某一较大正整数)时,Ak、A-k会趋于0;利用MATLAB语言编制以下计算程序,具体流程如图7所示。

图7 算法流程图Fig. 7 Algorithm flowchart

1) 取任意虚数为a0的初始值,代入式(19)～式(22)可得ak、bk。

3) 将上述计算的a0、ak、bk代入式(15)～式(17)中可求得c0、ck、dk,即洛朗级数各项系数均已确定。

4) 利用式(9)求得岩土层分界面的沉降值,并利用式(4)对沉降值进行曲线拟合,最后求得积分区域M上下限a、b、c、d的大小。

5) 将地表任意一点代入式(3),即可获得任意一点的地表沉降。

3 算例分析

为了验证上述复合地层隧道开挖理论计算方法的可行性,本文通过选取2个工程实例来验证分析。

3.1 算例1

选取大连5号线某地铁区间上软下硬隧道为例[24],隧道中心线距离地表约为20 m,衬径外径为6.2 m,区间隧道围岩主要为强风化石灰岩,浅层主要以杂填土为主,整体表现为上软下硬地层,各层岩土体的物理力学性质差异较大,具体剖面图如图8所示。其中岩土层的物理力学性质如表1所示。

图8 复合地层剖面图Fig. 8 Composite stratigraphic section表1 盾构下穿地层的主要物理力学参数Table 1 Main physical and mechanical parameters of shield tunneling under stratum岩土层厚度/m黏聚力/kPa摩擦角/(°)密度/(g/cm3)杂填土411101.80黏土718151.87强风化石灰岩1320302.21中风化石灰岩634352.35

本文采用岩土分层计算方法主要是针对岩层与土层这2种物理力学性质差异较大的岩土层,因此在实际计算过程中将不同岩层、土层物理力学参数加权平均后得到一种岩层和一种土层,其中隧道上覆土层弹性模量为36 MPa,土层主要影响角β为22°,重度为18.2 kN/m3,泊松比为0.37。岩层的弹性模量为200 MPa,重度为22 kN/m3,泊松比为0.25,地层损失率为0.96%。

利用本文所提出的岩土分层计算方法,获得各点的地表沉降值,并将计算结果与实测数值和仅利用复变函数或随机介质理论一种解析方法且不考虑岩土分层的计算的进行对比,在岩土不分层计算过程中,仅取岩土体一种介质的物理力学参数作为基本量,最后得到各种不同计算方法的地表沉降曲线,如图9所示。

图9 不同计算方法地表沉降值与实测值对比Fig. 9 Comparison of surface subsidence values with measured values by different calculation methods

由图9可知,复合地层盾构单孔隧道开挖的地表沉降曲线呈“V”型分布,在隧道中心上方达到最大值,地表沉降实测最大值约为8.39 mm,随机介质预测的地表沉降最大值为6.4 mm,复变函数预测最大地表沉降值为10.0 mm,而分层计算所得的最大地表沉降值为8.0 mm,可以看出分层计算与实测的差值仅有5%,而随机介质理论和复变函数不分层所得的差值分别为19%和24%,由此说明在求解复合地层隧道开挖时,将上覆岩土层分为岩层与土层分别进行求解计算是十分有必要的。

3.2 算例2

选取贵阳地铁2号线诚信路站—观山西路站区间隧道548断面为例[11],隧道采用暗挖法施工,隧道为双洞单线结构,其中心埋深距离地表约为25 m左右,穿越地层主要为中风化大治组灰岩,浅层岩土层主要以素填土为主,具体隧道穿越剖面如图10所示。其中各岩土层的物理力学性质如表2所示,将隧道上覆不同土层与岩层物理力学参数经过加权平均后得到如图11所示。

表2 隧道下穿地层的主要物理力学参数Table 2 Main physical and mechanical parameters of tunnel underneath stratum

图10 隧道地层剖面图Fig. 10 Profile of tunnel crossing strata

图11 复合地层剖面图Fig. 11 Composite stratigraphic section图12 不同计算方法地表沉降值与实测值对比Fig. 12 Comparison of surface subsidence values with measured values by different calculation methods

各种不同岩土层物理力学参数经过加权平均后,隧道上覆土层弹性模量取24 MPa,土层影响角β取为40°,重度为17.7 kN/m3,泊松比为0.37。岩层弹性模量为64 MPa,重度为21 kN/m3,泊松比为0.2,地层损失率取为1.5%。

与3.1节算例采用同样的计算方法,得到隧道上覆岩土不分层计算值和岩土分层计算值,并将3种计算结果与实测值进行对比,如图12所示。

由图12可知,各种计算方法所获得的地表沉降曲线均呈现“V”型分布,最大值出现在隧道正上方,随机介质理论预测最大地表沉降为19.9 mm,复变函数预测最大地表沉降为28.5 mm,采用分层计算方法获得地表沉降为最大值为22.8 mm,而地表沉降实测值为24.81 mm,通过对比可知,2种不采用分层计算方法所得的结果与实测值差值分别为20%和15%,采用分层计算获得的地表沉降计算值与实测值差值仅为8%。通过上述2个案例得出,针对复合地层隧道的开挖问题的复杂性,在计算求解过程中有必要对地层进行分层考虑,否则计算精度将有所降低。另外通过对比图9、图12可知,2个算例的分层计算地表沉降曲线有所差异,相比而言,算例2的地表沉降曲线更为平缓,主要原因是:由于算例2隧道上覆土层的主要影响角大于算例1隧道上覆土层的影响角,在利用随机介质理论求解地表沉降时,随着土层影响角β的增大,地表沉降曲线变得更为平缓,同时可以看出,由于算例2采用暗挖法施工,地层损失率大于算例1,地表沉降量也明显大于算例1。

4 参数敏感性分析

隧道开挖后,断面收敛变形、上覆岩土层软硬比以及土层影响角tanβ对地层变形有着重要的影响,故本文以隧道收敛变形模式、上覆岩土层软硬比及土层影响角作为基本参数,得出各参数对地表变形的影响分布规律,当研究某一参数对地表沉降的影响时,其余参数条件不变。

4.1 不同收敛变形对地层变形的影响

Park提出4种典型单洞收敛变形模式[25],如图13所示。4种洞室变形模式分别对应式(23)为:

图13 隧道洞周4种变形模式Fig. 13 Four deformation modes around tunnel

(24)

为了分析洞室不同收敛变形对地层变形的影响,以上述4种洞室变形为位移边界条件,最终获得岩土分界面和地表的变形,如图14所示。同时将各洞室收敛变形条件的地表沉降与岩土层分界面沉降进行差值运算,获得两者相对变化规律如图15所示。

图14 不同收敛模式对地层变形的影响Fig. 14 Influence of different convergence modes on formation deformation

图15 不同深度沉降差值变化的相对规律Fig. 15 Relative law of settlement difference variation at different depths

由图14可知,洞室不同收敛变形获得的地层位移曲线均呈现“V”型分布,且沉降槽宽度基本保持一致,然而沉降最大值并不一致,4种位移边界条件在岩层分界面沉降最大值分别为22.37、19.62、18.85、16.6 mm,最大相差5.77 mm,而地表沉降最大值分别为11.41、13.06、12.42、15.35 mm,最大相差3.94 mm,由此说明距隧道开挖面的距离越远,隧道收敛变形对其沉降变化的影响就越小。由图15可知,在-5 m

4.2 不同软硬比对地层变形的影响

在实际工程中,由于隧道穿越上覆地层并非始终保持不变,因此为了研究不同上覆地层对地表变形的影响,本文将隧道中心到岩土层分界面距离硬层厚度h与岩土分界面到软层厚度H的比例定义为α即“软硬比”,其中岩层的弹性模量E2为150 MPa,等效摩擦角φ2为50°,泊松比μ2为0.2。软土层的弹性模量E1为30 MPa,等效摩擦角φ1为12°,泊松比μ1为0.38。为了计算方便,考虑软层厚度H不变,即:

(25)

隧道收敛变形假设以BC-4为洞室位移边界条件,隧道半径不变,且土层的摩擦角不变,通过改变隧道上覆硬层厚度h,获得了不同软硬比条件下的地层变形曲线图,如图16所示。并将不同软硬比α的地表沉降与岩土层分界面沉降进行差值运算,最终获得两者相对变化规律如图17所示。

图16 不同软硬比对地层变形的影响Fig. 16 Influence of different soft-hard ratios on formation deformation

图17 不同深度沉降差值变化的相对规律Fig. 17 Relative law of settlement difference variation at different depths

由图16可知,当软土层厚度H不变时,随着“软硬比”α的增加,岩土分界面沉降与地表沉降均随之增加,并在隧道正上方达到最大值,表明随着岩层厚度在复合地层中的比例增加,隧道引起的地层变形就越小。不同“软硬比”的岩土分界面沉降影响半径并不一致,随着α的减小,影响半径也随之增大。由图16(b)可知,地表沉降曲线形态随着α的改变,曲线形状也有所改变,主要表现为:软硬比α值越小,靠近隧道轴线的地表沉降值变化就越缓慢,地表沉降曲线呈现“U”型分布,随着软硬比α的增大,靠近隧道中心线两侧的地表沉降变化越快,地表沉降曲线呈现“V”型分布。由图17可知,不同软硬比α所对应的地层竖向位移变化幅度有所不同,α越大,分界面与地表沉降差值的变化幅度就越大,反之亦然。分界面与地表沉降差值首先在隧道中心轴达到最大值,然后开始逐渐减小为零,随后地表沉降大于岩层分界面沉降,并在距隧道中心某距离达到最大值,然后逐渐减小,可以看出,不同α值所对应的沉降差值大小不一样,当α=1时,沉降差值最大14.67 mm,当α=2/5时,沉降差值最大4.72 mm,表明α越大地层差值的大小就越明显。综上可知,地层软硬比对地层变形有着重要的影响。

4.3 不同tan β对地层变形的影响

由随机介质理论可知,tanβ对土层变形有着重要的影响,在岩土分层计算过程中,利用复变函数求解岩土层分界面沉降时,不需要考虑岩层的影响角,因此本节主要分析不同上部软土层厚度,同时改变土层有效摩擦角tanβ对地表变形的影响,此时两者的岩土分界面沉降数值大小保持一致。

上覆软土层厚度H分别为10、15 m条件下,考虑4种不同tanβ值计算得到的地表沉降曲线,如图18所示。

图18 不同tan β对地层变形的影响Fig. 18 Effect of different tan β on formation deformation

由图18可知,土层影响角tanβ与上覆软土层厚度对地表变形都有一定的影响,然而对比图18(a)、(b)可知,土层影响角对地表变形的影响要大于上覆软土层厚度,当tanβ=0.5时,改变上覆软土层厚度,地表沉降最大变化为3.2mm,而当软土层厚度不变时,改变土层影响角tanβ,地表沉降最大变化为6.1mm,说明改变土层影响角对地表变形影响较大。随着tanβ大小的增加,当tanβ=1.4时,2种不同软土层厚度的地表沉降变化仅有0.3mm,由此可知,当隧道上覆软土层的影响角tanβ较小时,增加上覆软土层厚度可以有效地减少隧道开挖对地表变形的影响,当tanβ较大时,增加上覆土层厚度对地表沉降的影响几乎可以忽略,同时也可以看出,土层的影响角tanβ越小,地表沉降槽宽度越大,上覆软土层厚度越大,地表影响半径也明显增大。

5 结论

1) 本文提出一种利用复变函数和随机介质理论共同求解上软下硬地层隧道开挖的计算方法,计算过程中充分考虑了岩层与土层之间的物理力学差异性,首先利用复变函数获得岩层在岩土分界面作用软土层自重荷载和洞室发生非均匀变形条件下的解析函数,从而求得岩土分界面的沉降,将岩土分界面沉降视为“不均匀等厚开挖”,然后利用随机介质理论获得土层的地表沉降。

2) 将本文计算方法所得结果与利用复变函数或随机介质将岩土视为一种介质的计算结果共同与2个工程实测值对比分析可知,利用复变函数联合随机介质将岩土视为2种不同介质所得的计算结果与实测值吻合更好。

3) 复合地层隧道开挖的地层变形受隧道断面收敛变形的影响比较明显,不同收敛变形的影响半径基本保持一致;上覆土层软硬比对地层变形影响较大,主要表现为:软硬比α越小,影响半径则越大,在隧道中心附近沉降变化越缓慢,随着α的增加,影响半径则越小,地表沉降在隧道中心变化越快;土层的影响角tanβ越小,地表沉降槽宽度越大,地表变形越小,反之亦然。