空间异性对Crowley-Martin 型扩散的Leslie-Gower 捕食模型的影响

闫 凯，张丽娜

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

本文讨论如下模型

值得注意的是，这里函数a(x),b(x) 在生物上表示环境中物种的资源分布随空间位置的变换而变化，因此资源分布是不均匀的，即空间环境是异性的.相对应的，若a(x),b(x) 为正常数，则表示物种处于空间同性的环境中.近年来，空间异性环境对捕食模型的影响得到了广泛的研究[1-4].结果表明，与空间同性环境相比，空间异性环境中模型的动力学行为更加复杂，数学上进行分析也更为困难.

当模型(1)中的功能反应函数为Monod-Haldane 型时，即Li 等[5]和Zou 等[1]对此进行了研究.具体地，当a(x),b(x) 为正常数，Ω=(0,π) 时，文献[5]以d2为分支参数研究了由正平衡点产生的Hopf 分支和平衡态分支.若a(x),b(x) 为函数时，Zou 等[1]研究了空间异性环境对平衡点稳定性的影响，并利用局部分支定理和不动点理论讨论了正平衡态解的存在性.

众所周知，功能反应函数是影响捕食模型动力学行为的一个关键因素.因此具有各种功能反应函数的捕食模型得到了广泛的研究[6-8].1989 年，Crowley 等[9]提出了Crowley-Martin 型功能反应函数其中正常数c,r1,r2分别表示捕食者的捕获率、捕食时间和捕食者之间的干扰.它与Beddington-DeAngelis 型功能反应函数相似，不同之处在于分母中增加了物种间的相互干扰项r1u、r2v.因此Crowley-Martin 型功能反应函数能更好地描述一些生态环境中的捕食行为.

受文献[1-4]的启发，本文关注空间异性环境对模型(1)动力学行为的影响.首先，我们应用线性化方法分析半平凡解的稳定性.其次，应用局部分支理论讨论正平衡解的存在性、分支方向以及稳定性.

1 预备知识与线性稳定性分析

首先介绍后面分析中将会使用到的几个引理.由文献[10]知单物种

的第k个特征值记为µk(d,h).则由文献[10]知下述结论成立.

引理2[10]特征值问题(2)的主特征值 µ1(d,h) 关于d光滑，关于h连续.则：

注1类似计算可以证明系统(1)的平凡解 (0,0) 是不稳定的.

2 平衡态的局部分支

本节，我们以扩散率d1作为分支参数，应用局部分支理论[12-13]研究由半平凡平衡态产生的分支现象.系统(1)的平衡态系统为

从而横截性条件L1(φ*,0)∉R(L0) 成立.因此由局部分支定理知定理2 结论成立.证毕.

下面我们讨论分支方向以及分支正解的稳定性.

证明将分支正解的表达式(7)带入系统(6)的第一个方程，除以s并关于s求导一次后，令s=0，可得