算子及其函数的(UWE)性质的判定

高 凯，曹小红

(陕西师范大学 数学与统计学院，陕西 西安 710119)

在本文中，C 表示复平面，D 表示复平面上的单位闭圆盘，T 表示单位圆周.H表示无限维的复Hilbert空间，B(H) 为H上的有界线性算子全体.设T∈B(H)，N(T) 和R(T) 分别表示T的零空间和值域.令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T)).若R(T) 闭且n(T)＜∞，则称T为上半Fredholm 算子；若d(T)＜∞，则称T为下半Fredholm 算子.特别地，如果R(T) 闭且n(T)=0，则称T为下有界算子.称T为半Fredholm 算子，若T为上半Fredholm 算子或下半Fredholm 算子.此时，其指标定义为ind(T)=n(T)-d(T).特别地，若-∞＜ind(T)＜+∞，则称T为Fredholm 算子.如果T是指标为零的Fredholm 算子，则称T为Weyl 算子.T的升标 asc(T) 定义为满足N(Tn)=N(Tn+1) 的最小非负整数n，若这样的整数不存在，则记 asc(T)=+∞.T的降标 d es(T) 定义为满足R(Tn)=R(Tn+1) 的最小非负整数n，若这样的非负整数不存在，则记 d es(T)=+∞.Browder 算子是指有有限升降标的Fredholm 算子.T的上半Fredholm 谱、本质谱、逼近点谱、本质逼近点谱、Weyl 谱、Browder 谱分别定义为：

1909 年，Weyl[2]在检验某个自伴算子的Weyl 谱时发现该自伴算子所有紧扰动的谱集之交恰好等于它的谱集除去那些有限重的孤立特征值.这一结果的出现引起了学者们的广泛关注，并将它称为Weyl 定理.随着Weyl 定理研究的不断深入[3-8]，也相继产生Weyl 定理的一系列变形，比如Browder 定理、a-Weyl 定理[9]等.2015 年，Berkani M 等首次在文献[10]中介绍了有界线性算子的 (UWE) 性质，随后学者们研究了很多不错的成果[11-12].称算子T满足 (UWE) 性质，若

其中E(T)={λ ∈isoσ(T):n(T-λI)＞0}.设集合E⊆C，isoE表示E中所有的孤立点，accE表示E的所有聚点.我们用T∈(UWE) 表示T满足 (UWE) 性质.

1 有界线性算子的 (UWE) 性质

下面继续对算子的 (UWE) 性质给出等价刻画.

推论2设T∈B(H)，则下列叙述等价：

2 算子函数的 (UWE) 性质判定

设T∈B(H)，令 H ol(σ(T)) 表示在 σ (T) 的某个邻域上解析的函数全体.

注意到：算子的 (UWE) 性质与其函数的 (UWE) 性质之间没有必然的联系.通过下面的例子来说明这一事实.

例6设A,B∈B(ℓ2) 定义为：

例7设A,B∈B(ℓ2) 定义为：

接下来，我们给出算子函数满足 (UWE) 性质的充要条件.

定理2设T∈B(H)，则任给f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 当且仅当下列条件成立：

下面我们继续对算子函数的 (UWE) 性质进行刻画.

注3在引理1 中，反包含f(σ1(T))⊆σ1(f(T)) 一般不成立.

例8设A,B∈B(ℓ2) 定义为：

推论4设T∈B(H)，则任给f∈Hol(σ(T))，f(T)∈(UWE) 当且仅当下列条件成立：

注4(1)在推论4 中的条件(2)在充分性的证明中是必不可少的.

例9设A,B∈B(ℓ2) 定义为：

(2)在推论4 中的条件(3)对于充分性是必不可少的.

例10设A,B∈B(ℓ2) 定义为：