基于载荷分级代表性条件的TWIST载荷谱离散方法

马宏图,杨凤田,丁京龙,李东辉

(1.沈阳飞机设计研究所, 沈阳 100135; 2.辽宁通用航空研究院, 沈阳 110136;3.上海飞机设计研究院, 上海 201210; 4.沈阳航空航天大学 航空宇航学院, 沈阳 110136)

0 引言

载荷谱的编制是确定飞机疲劳及损伤容限性能的先决条件。载荷谱编制的关键是能够模拟真实飞行情况的载荷-时间历程[1]。为解决运输飞机机翼疲劳试验载荷谱的标准化问题,德国结构耐久性实验室(LBF)与荷兰国家航天实验室(NLR)联合提出了TWIST编谱方法[2],并在欧洲运输机全尺寸疲劳试验中成功应用。TWIST编谱方法将连续的增量突风载荷累积超越曲线(以下简称连续载荷谱)离散为10级,并根据这10级载荷定义10种飞行类型,因此也称作10乘10谱。TWIST编谱方法的核心思想是通过满足突风载荷的统计规律,来最大程度模拟真实的突风载荷时间历程。而满足突风载荷统计规律的关键是每次飞行的增量突风载荷极值近似服从特定标准差的对数正态分布。

在保留TWIST编谱核心思想的基础上,为了平衡载荷谱的真实性、试验设备能力和研制进度,波音公司[3]减少了载荷分级,并先后在型号研制中应用了8乘8谱和5乘5谱,其中5乘5谱在B757和B767的全尺寸疲劳试验中成功应用。

TWIST载荷谱编制技术不依赖损伤模型假设,能够给出更接近于真实的疲劳载荷谱和更有代表性的试验结果,并且,随着载荷分级的精简,在技术要求和现有资源间实现了最佳平衡,因而得到了广泛的认可与应用[4-8]。

实现增量突风载荷极值对数正态分布是保证TWIST载荷谱真实性的关键技术,国内在相关领域进行了积极探索。李元镜[9]对国外大飞机成功应用的5乘5飞续飞试验载荷谱进行了初步介绍,其中,为了满足增量载荷极值对数正态分布,根据波音公司的编谱经验,给出了推荐的载荷水平比迭代初值。潘庆荣[10]进一步给出了增量载荷极值对数正态分布实现的具体方法:该方法的关键是在载荷谱离散化后,通过2个试凑条件,求解出对数正态分布的均值和方差;通过对n-1个载荷水平比变量(n为载荷分级数)和2个对数正态分布参数变量“拉网式”搜索,可以得到不同载荷水平比离散条件下对数正态分布的均值和方差。刘晓明等[11-12]成功将潘庆荣提出的方法应用于国产民用运输飞机载荷谱的编制。徐明波[13]应用遗传算法代替潘庆荣方法的“拉网式”搜索,提高了求解效率和精度。

潘庆荣提出的方法及改进方法的搜索变量共n+1个,试凑工作量极大,同时,由于可行解数量较多,需要人为判断的工作量也较大。另一方面,现有方法在增量载荷极值分布的离散化方面也有不足:试凑条件仅对最低一级增量载荷极值的代表性提出了要求,其他各级载荷的代表性没有规定。为解决上述问题,本文中基于载荷分级代表性条件,提出了一种满足增量突风载荷极值对数正态分布的单迭代变量TWIST载荷谱离散方法。

1 载荷谱离散方法

本文中所提载荷谱离散方法的主要思路为:① 通过推导载荷分级代表性条件,进而得到增量载荷极值及其边界所对应的累积超越飞行概率递推公式;② 通过高载截取值得到各类飞行的飞行次数;③ 以对数正态分布的标准差为迭代变量,求解增量载荷极值所服从对数正态分布的参数,并得到各级离散载荷。

1.1 增量载荷极值分布的离散

增量载荷极值分布的离散化示意图如图1所示。每次飞行的增量载荷极值分布曲线为图中的点划线。增量载荷极值的离散共分n级,并相应定义n种飞行类型。每种飞行类型所经历的最大的增量载荷等于相应分级的增量载荷极值。最粗暴的飞行类型包含第1级增量载荷极值;粗暴程度次一级的飞行类型包含第2级增量载荷极值,而不含第1级;最平稳的飞行类型仅包含第n级增量载荷极值。

图1 增量载荷极值分布的离散化

增量载荷极值分布离散化后,最低一级的增量载荷极值Ln代表大小在其附近的连续的增量载荷极值。根据“等三角形”性质,Ln对应的累积超越飞行次数Fn有如下关系[10]

(1)

这表明,第n级增量载荷极值的累积超越飞行次数Fn是第n级离散边界和第n-1级离散边界对应的累积超越飞行次数fn和fn-1的几何平均值。

注意到一个谱块代表N次飞行,则有

fn=N

(2)

将式(2)代入式(1),并且两边除以N2则有

(3)

即第n级增量载荷极值Ln对应的累积超越飞行概率Pn的平方等于第n-1级离散边界对应的累积超越飞行概率pn-1,其中

Pn=Fn/N

(4)

并且

pn-1=fn-1/N

(5)

显然,不仅是最低一级的增量载荷极值Ln具备上述代表性。那么,将这种代表性推广到更高一级的Ln-1上,有

(6)

将式(6)两边除以N2,写成累积超越飞行概率的形式,则有

(7)

另一方面,根据“等三角形”性质,第n-1级离散边界对应的累积超越飞行次数有[10]

(8)

将式(8)两边除以N2,写成累积超越飞行概率的形式则有

(9)

将式(3)代入式(9),消去pn-1后,整理可得

(10)

将式(3)和式(10)代入式(7),整理可得

(11)

进一步,将增量载荷极值的代表性推广到Li上,则有

(12)

其中,i=2,3,…,n。式(12)保证了载荷分级的代表性,因此称为载荷分级代表性条件。满足式(12)的载荷分级是更科学合理的。

另外,各级离散边界对应的累积超越飞行概率有

(13)

其中,i=2,3,…,n-1。

仿照式(11)的推导,由式(12)和式(13)可以得到

(14)

其中,i=1,2,…,n。另一方面,仿照式(10)的推导,由式(12)和式(13)可以得到

(15)

其中,i=2,3,…,n。

这样就通过载荷分级代表性条件,保证了第n级至第2级增量载荷极值的代表性,同时得到了增量载荷极值及其边界对应的累积超越飞行概率的递推公式。

1.2 每类飞行的次数计算

连续载荷谱的离散化示意图如图2所示。点划线表示一个谱块N次飞行的连续载荷谱。Li在连续载荷谱的离散化中代表离散后的第i级增量载荷。增量载荷离散边界bi所对应的累积超越载荷循环数为ci。第1级离散边界b1等于高载截取值,对应的c1=1。

图2 连续载荷谱的离散化

在一个谱块的N次飞行中,超过b1的增量载荷循环发生了1次,说明增量载荷极值超过b1的飞行发生了1次,并且这次飞行属于最粗暴的飞行类型。因此,b1也是增量载荷极值分布离散的第1级边界,其对应的累积超越飞行概率为

p1=1/N

(16)

将式(16)代入式(14)可以求得最低一级增量载荷极值Ln的累积超越飞行概率Pn。进一步,根据式(14)可以继续求得第2级至第n级增量载荷极值边界对应的累积超越飞行概率pi。每级增量载荷极值的发生次数,即每类飞行的飞行次数为

Ti=N·(pi-pi-1)

(17)

其中,i=2,3,…,n。并且T1=1。

1.3 各级增量载荷极值计算

将Pn代入式(15),则可以得到i=2,3,…,n时,各级增量载荷极值Li对应的累积超越飞行概率Pi。

另外,注意到对高载截取值有

L1=b1

(18)

那么可以得到第1级增量载荷极值L1的累积超越飞行概率P1

P1=p1

(19)

令增量载荷极值对数正态分布的均值为μ,标准差为s,则

(lgb1-μ)/s=Φ-1(1-p1)

(20)

其中Φ-1为标准正态分布累积概率函数的反函数。将式(16)和式(18)代入式(20)则有

(lgL1-μ)/s=Φ-1(1-1/N)

(21)

式(21)有2个未知变量μ和s。以对数正态分布的标准差s为迭代变量,通过式(21)可以求得均值μ。

进一步,增量载荷极值Li和其对应的累积超越飞行概率Pi同样满足式(21)定义的对数正态分布,则有

lgLi=μ+s·Φ-1(1-Pi)

(22)

其中,i=2,3,…,n。由式(22),可以根据第2级至第n级增量载荷极值的累积超越飞行概率Pi反求第2级至第n级增量载荷极值Li。

对于连续载荷谱的离散化,Li代表离散谱第i级增量载荷。如图2所示,当各级增量载荷Li被确定时,可以根据“等三角形”性质,反求载荷谱各级增量载荷Li的离散边界bi。

当i=1时,b1等于高载截取值;当i=2,3,…,n时,有递推公式

bi=fi(Li,bi-1)

(23)

工程上,当相邻2个离散边界内的连续载荷谱近似线性时,有递推公式

bi=2Li-bi-1

(24)

根据递推得到的最低一级载荷的离散边界bn须等于低载删除值。这样,在一个谱块的飞行数为N,载荷分级为n的条件下,由高载截取值和低载删除值2个条件就可以求解对数正态分布的均值和标准差。以标准差s为迭代变量,问题转化为一维搜索问题。注意到标准差s与载荷离散边界bn负相关,仅需少量迭代即可求解。根据统计规律和试凑经验,TWIST编谱[2]选用标准差为0.22;波音[3]的研究选用标准差为0.19。因此对数正态分布的标准差的迭代初值可以设置在0.2附近。

当对数正态分布的均值和标准差确定后,就可根据式(22)求出第2级至n级增量载荷极值L2至Ln。

2 载荷谱离散算例及分析

以欧洲10乘10谱和波音5乘5谱2个典型载荷谱为例,应用本文中方法进行离散化,并与现有方法的结果进行对比。为量化载荷分级代表性,根据式(12)定义各载荷分级代表性的偏离程度ri为

(25)

其中,i=2,3,…,n。ri的值越小,说明载荷分级代表性的偏离程度越小,代表性越强。

2.1 欧洲10乘10谱

TWIST编谱[2]将增量突风载荷分成10级,并定义了10类飞行。一个谱块定义4 000次飞行。增量载荷归一化处理后,高载截取值为1.6;最低一级增量载荷为0.222,根据“等三角形”性质,反算低载删除值约为0.174。

根据文中方法,以对数正态分布的标准差为迭代变量,初值取0.2,迭代8次收敛。结果满足增量突风载荷极值对数正态分布要求,其中对数正态分布的均值为-0.51,标准差为0.21。离散化后各级增量载荷以及各类飞行的次数如表1所示。

表1 欧洲10乘10谱离散化结果

与现有方法[10]对比载荷分级的代表性,结果如表2所示。现有方法仅第10级的ri较小,即载荷分级仅在该级具备较强的代表性。与现有方法相比,本文中方法各载荷级的ri均较小,表明载荷分级代表性强。本文中方法第2至第4载荷级的ri相比其他载荷级较大,分析原因为这些载荷级对应的飞行次数较少,导致离散过程中飞行次数取整所造成的偏差相对较大。

表2 欧洲10乘10谱载荷分级代表性对比

2.2 波音5乘5谱

波音757巡航段突风载荷谱[3]使用了5乘5编谱方法:将增量突风载荷分成5级,并定义了5类飞行。一个谱块定义5 000次飞行。高载截取值为32.9 ft/s,低载删除值为5.61 ft/s。

根据文中方法,以对数正态分布的标准差为迭代变量,初值取0.2,迭代16次收敛。计算的结果满足增量突风载荷极值对数正态分布要求,其中对数正态分布均值为0.88,标准差为0.18。离散化后各载荷级增量载荷以及各类飞行的次数如表3所示。

表3 波音5乘5谱离散化结果

与现有方法[10]对比载荷分级的代表性,结果如表4所示。现有方法仅第5级的ri较小,即载荷分级仅在该级具备较强的代表性。与现有方法相比,本文中方法各载荷级的ri均较小,表明载荷分级代表性强。

表4 波音5乘5谱载荷分级代表性对比

3 结论

本文中基于载荷分级代表性条件,提出了一种满足增量突风载荷极值对数正态分布的单迭代变量TWIST载荷谱离散方法,解决了现有方法求解变量较多,载荷分级代表性不足的问题。主要结论如下:

1) 推导了载荷分级代表性条件,进而得到各级增量载荷极值及其边界所对应的累积超越飞行概率的递推公式。与现有方法相比,对载荷分级的代表性提出了要求,并建立起各载荷级间的联系。

2) 仅以对数正态分布标准差为迭代变量,利用高载截取值和低载删除值,求解增量载荷极值所服从对数正态分布的参数,并得到各级离散载荷。与现有方法需要n+1个迭代变量相比,求解效率大幅提高。

3) 将本文方法应用于欧洲10乘10谱和波音5乘5谱2个典型载荷谱的离散化,结果表明,仅需少量迭代,载荷谱的离散就可以满足增量突风载荷极值对数正态分布要求。通过对比,载荷分级代表性的偏离程度远低于现有方法,说明载荷分级更加科学合理。