新高考视角下与马尔科夫链相关的概率递推问题

全概率公式以及全概率推出的马尔科夫链问题最近备受命题人的青睐！ 比如2023年新高考Ⅰ卷第21题，再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21 题的赌徒输光问题，2023年茂名二模的摸球问题，再往更前的2019年全国Ⅰ卷药物试验问题等都是马尔科夫链问题。在新人教A 版《选择性必修第三册》第91页拓广探索中的第10题传球问题，也是马尔科夫链的典型模型。全概率公式是新教材引入的内容，可想而知越来越多的递推型概率难题将会出现在高考和模考试卷中！ 因此，同学们在学习时要对全概率等系列内容格外关注。马尔科夫链在题中的体现可以简单地概括为：全概率公式+数列递推。下面主要介绍马尔科夫链和一维随机游走模型，以及马尔科夫链在高考和模考中的几种具体的应用情形，希望对同学们的学习有一些帮助。

一、马尔科夫链是什么

（一）定义

马尔科夫链是由数学家安德雷·马尔科夫提出的，它是概率论和数理统计中的一个重要模型，在自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学中都有广泛应用。数学定义为：考虑一个随机变量的序列X ={X0，X1，…，Xt，…}，这里Xt 表示时刻t 的随机变量，t=0，1，2，…。每个随机变量Xt（t=0，1，2，…）的取值集合相同，称为状态空间S。随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

假设在时刻0的随机变量X0 遵循概率分布P（X0）=p0， 称为初始状态分布。在某个时刻tgt;1的随机变量Xt 与前一个时刻的随机变量Xt-1 之间有条件分布P（Xt|Xt-1）， 如果Xt 只依赖于Xt-1，而不依赖于过去的随机变量{X0，X1，…，Xt-2}，这一性质称为马尔科夫性，即P （Xt|X0，X1，…Xt-1）=P （Xt|Xt-1）， t=0，1，2，…。具有马尔科夫性的随机序列X ={X0，X1，…，Xt，…} 称为马尔科夫链（Markov chain）或马尔科夫过程。

（二）解题策略

依据高中学生的认知水平，马尔科夫链可以概括为：某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。在实际应用中，常见的有赌徒模型和传球模型等，其一般解题步骤可以归纳如下。

方法一：（1）先求出P （X0 ）=p0 或P（X1）=p1;（2）根据马尔科夫链定义，列出第t 时刻的条件概率的递推关系式;（3）根据数列递推公式的配凑法求出第t 时刻概率的通项公式Pt。

方法二：从高观点的角度，对学有余力的同学，可以引导他们利用n 步转移概率矩阵进行求解， 以培养同学们的数学综合能力，提高数学关键能力，为不同类型的高校选拔人才。

二、马尔科夫链为什么这么热

《普通高中数学课程标准 （2017 年版2020年修订）》增加了数列递推公式、全概率公式等内容。另外，在新教材中也可以找到答案。