浅谈概率论与数理统计的简单应用

摘要：概率论的发展历史悠久，理论高深而清晰，应用广泛.概率论的发展也为数理统计及其他数学学科的发展和解决有关问题提供了行之有效地方法.本文通过简述概率论与数理统计的主要特点，概率论与数理统计的思想方法在解决数学问题，着重研究后者.如在代数及数学分析中的一些问题的应用，在金融领域、日常生活及科研等方面所起的作用.从中可以看出概率论与数理统计的思想方法在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.

关键词：概率论 "数理统计 "概率统计思想 "应用

一、概率论与数理统计的主要特点

概率论是用随机变量及其所伴随的概率分布描述随机现象的统计规律，通常认为概率分布及有关的参数是已知的.而大多数情况下，随机变量所服从的概率可能未知，或者已知概型却不知道分布函数的参数.数理统计是以概率论为理论基础，从统计资料中指出解决上述问题，在所考虑的对象的全体中，随机抽取一部分进行观察，从观察所得的资料、数据，对研究对象的某些指标做出某种合理估计和推断.这是概率论和理统计研究对象的区别，也决定了两者之间的思维方式也不同[[1]].

二、概率论与数理统计的应用

概率论与数理统计的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.

（一）概率论与数理统计在数学中的应用

1.概率论与数理统计在不等式证明中的应用

不论在初等数学还是在高等数学中，不等式的证明始终是难点，其证明方法往往技巧性很强，若能根据欲证不等式形式上的特点，采用恰当的概率的方法，问题就能迎刃而解了.

例1[[2]]： "已知0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2] ，求证

sinαsinβ≤sinα+sinβ≤1+sinαsinβ.

分析：由题目可知涉及三角函数的知识，由0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2]可知0≤sinα≤1，0≤sinβ≤1，再由概率的性质：事件A的概率即有非负性，规范性，可列可加性.所以我们可以把[sinα]，[sinβ]看作是两个独立事件A与B的概率，即本题的证明如下：

证明：由0≤α≤[π2]，0≤β≤[π2]，得0≤sinα≤1，0≤sinβ≤1，所以，可设 [sinα]，sinβ分别是两个独立事件A与B的概率，即P（A）= [sinα]，P（B）=sinβ.根据概率的加法公式和相互独立性得

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）.

由于0≤P（A∪B）≤1，所以0≤sinα+sinβ≤1， 即

sinαsinβ≤sinα+sinβ≤1+sinαsinβ.

评析：不等式的证明也可以用初等数学的方法求证，也可以直接用数学分析中的方法来求证，但问题将会变得复杂难解决.而初等数学、数学分析作为概率论的基础，且概率论是具有广泛应用的数学分支，对一些较难解决的问题利用概率论的方法去解决却很简便，上面例子就是通过构造概率模型来解决的，这也显示概率模型在不等式证明中的妙用.

2.概率论与数理统计在恒等式中的应用

例2[[3]]： "证明：[t=0kCtmCk-tn-m=Ckn].

本题是一个排列组合等式的证明，与古典概率有着密切地联系，观察等式的特点，可建立如下模型加以解决.

证明： 设一盒中装有n个球，其中有m个黑球，n-m个白球，现从中随机抽取k个球，令“At”表示“取出的k个球中黑球的个数”，令“[As]”表示“取出的k个球中白球的个数”， 则有：

P（At=t）=[CtmCk-tn-mCkn] "其中t=0，1，2，…，k

又事件“At=t”与事件“As=s”是互不相容事件（s≠t），从而有

P（[Ukt=0At=t]）=[t=0kPAt=t=1]

所以 [t=0kCtmCk-tn-mCkn=1]

即 [t=0kCtmCk-tn-m=Ckn]

评析：证明组合恒等式的方法多种多样，其中不乏代数方法，三角方法、几何方法等等，但是对某些问题，如果建立恰当的概率模型，如以上例2，就可以用概率方法巧妙地将其解决，从中可以看出概率方法的实用性.

3.概率论与数理统计在极限中的应用

例3[4]： "求证

[Limn-gt;∞][K=0+∞nkk！e-n=12].

解： "设ξ1，…，ξn，…独立同分布，且都服从参数为λ=1的泊松分布，则ηn=[i=0nξn]服从参数为λ=n的泊松分布，则P（ηn=k）=[nkk！e-n]，k=0，1，2，…

又因为E（ξ）=D（ξ）=1，i=1，2，…所以由独立同分布中心极限定理可得

[Limn-gt;∞][K=0+∞nkk！e-n=][Limn-gt;∞]P（ηn≤n）=[Limn-gt;∞]P（[ηn-nn]≤[n-nn]）=φ（0）=[12]

评析：此题若是用数学分析中的数列极限问题的方法来证明和计算就显得比较繁琐，如上构造某随机变量的概率分布模型，用概率论的方法来解决，问题就变得简捷了许多，同时在类似复杂的求证极限问题我们同样也可以构造相应的概率分布模型来解决，可达到事半功倍的效果.

从以上所举的例子，反映了概率论与数理统计与数学各分支学科之间的相互交叉和渗透，利用概率统计思想方法，建立适当的概率模型来解决一些表面上看来不属于概率统计范畴内的问题.

（二）概率论与数理统计在生活中的应用

现实生活中如运用古典概率公式解决“鞋子配对问题”“生日巧合问题”“赌博问题”;运用统计估计与假设检验解决“先尝后买产品促销问题”、“吸烟与患癌症的相关性”;用中心极限定理解决“保险公司盈利与亏损的问题”等等.这些都能使我们感觉到概率统计与身边的许多事情都有一定的联系，下面可以用几个实例加以说明.

1.概率统计思想在配对问题中的应用

例4： "从8双不同的鞋子中任取6只，求取得的6只鞋中至少有2只配成一双的概率？

解： "设A={取得的6只鞋中至少有2只配成一双}，[A-] ={取得的6只鞋中没有配成双的}. 且有

[P（A-）=C68（C12）6C616=32143]

[P（A）=1-P（A-）=1-32143=111143]

评析：配对问题的应用很多，还可以应用于信和地址的配对，学生入座位置的配对等等.以上的问题我们还可以推广为更一般化，即“若从n只鞋子中任取2r只（0lt;2rlt;n），求2r只中至少有2只鞋子配成一对的概率？”求法类似上述的求解，即在n双鞋中任取2r只得总方法数为[C2r2n]而其中2r只均无配对的方法数为[C2rn（C12）2r=4rC2rn]（这表明先从n双中任取2r双，再从每双中任取一只）故所求概率为[P=1-4rC2rnC2r2n].

2.概率统计思想在检验问题中的应用

例5：[1]要求一种元件平均使用寿命不得低于800小时，生产者从一批这种元件中随机抽取16件，测得其寿命的平均值为750小时，已知该种元件寿命服从标准差为[σ=100]小时的正态分布，试在显著性水平[α=0.05]下判断这批元件是否合格？设总体均值为[μ]，[μ]未知.即需要检验假设[H0]：[μ≥800]，[H1]：[μlt;800].

解： "依题意得检验假设

[H0]：[μ≥800].（即假设这批元件合格）

[H1]：[μlt;800].（即假设这批元件不合格）

这是左边检验问题，其拒绝域为[z=x--μ0σn≤-z0.05=-1.645]

又因为[z=750-80010016=-2lt;-1.645].z的值落在拒绝域中，所以我们在显著性水平[α=0.05]下拒绝[H0]，即这批元件是合格的.

评析：假设检验是统计推断的另一个重要问题，从以上两个例子我们可以知道在工业生产中我们可以用抽样的方法检验一批产品中抽到次品的概率，从而可以确定产品是否合格.商品检验中，对不同商品考虑不同，其策略也不同，如降落伞和救生圈等救生用品，出厂时作质量检验，应根据数理统计中的假设检验理论，保证出厂的产品几乎是个个合格.

3.概率统计思想在金融风险中的应用

例6：[1]设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.7、0.6、0.4，

求（1） 任两种股票至少有一种获利的概率；

（2）三种股票至少有一种股票获利的概率.

解： 设A、B、C分别表示三种股票获利，依题意 A、B、C相互独立.P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（C）=0.4，则由乘法公式与加法公式：

（1）任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率.

P1=P（AB+AC+BC）=P（AB）+P（AC）+P（BC）-2P（ABC）=P（A）P（B）+P（A）P（C）+P（B）P（C）-2P（A）P（B）P（C） [=0.7×0.6+0.7×0.4+0.6×0.4-2×0.7×0.6×0.4=0.604]

（2）三种股票至少有一种股票获利的概率.

P2=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） [=0.7+0.6+0.4-0.7×0.6-0.7×0.4-0.6×0.4+0.7×0.6×0.4=0.928]

评析：从以上的计算结果表明： 投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略. 投资者只要稍微注意运用概率的思想来分析对于某希望投资的就可以减少一定的风险，从而也表明了概率与我们的生活息息相关.

4.概率统计思想在工业生产中的应用

例7：某厂每天的产品分4批包装，规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂，假定产品符合出厂要求，若某日用上述方法抽查到了次品，问该日产品能否出厂？

解：把从4批产品中各抽1件看作4次独立试验，于是可把问题归结为伯努利概型。若产品符合要求，则次品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99

抽4件产品恰有0件次品的概率为[P4（0）=C04（0.01）0（0.99）4-0=0.96051901].

若产品符合要求，从4批产品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于[k=14P4（k）=1-P4（0）=1-q4=1-（0.99）4≈0.04]

这是一个概率很小的事件，在概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫做小概率事件.小概率事件原理是[[7]]：如果一个事件发生的概率很小，那么，在一次试验中，可以把它看成是不可能事件.由这一原理可知，如果在一次试验中某个小概率事件发生了，那么就可认为这是一种反常现象.本例中从4批产品中各抽1件至少抽到1件次品的概率小于0.04，这是小概率事件.抽到次品的事竟然发生了，这说明该日产品次品率不止0.01，故可判断该日产品不能出厂.

参考文献：

[1]韦程东，唐君兰，陈志强.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛，2008.4：98-100

[2]易艳春.例谈概率论在其他数学问题中的应用[J].专题研究，2008.8：97-98

[3]崔永伟，杜聪慧.概率论与数理统计思想的应用[J]. 河南机电高等专科学校学报，2004.2：61-63

[4]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，1979

[5]王淑玲.概率论与数理统计在经济生活中的应用[J].科技信息，2009年第21期：224

[6]王幼军.拉普拉斯概率理论的历史研究[M].上海交通大学出版社，2007