自主规划，学会学习

圆柱和圆锥是小学阶段学习的最后两个立体图形。在此之前，学生已经积累了直边图形和圆等平面图形、长方体和正方体等立体图形的研究经验，对圆柱和圆锥的学习，学生能否意识到从哪些角度认识和研究这两个立体图形？对于不同的研究角度，学生能否选择合适的研究方法？能否对要学习的内容进行有意识的学习规划？为此，我们以北师大版教材六年级下册“圆柱与圆锥”单元为例，进行了单元规划的教学实践，引导学生通过类比已有的图形研究经验，自主制订该单元的学习计划，初步建立单元学习内容的框架和线索。

[一]、教学实践

（一）前置性作业——研究回顾，唤醒图形研究经验。

课始，教师出示已经学习过的平面图形和立体图形（如图1），鼓励学生任选一个图形，回顾并思考：这个图形是从哪些方面来研究的？怎样研究的？并要求学生用关键词简洁清晰地记录在学习单上。

在独立思考并完成研究回顾学习单的基础上，小组补充并进行完善。需要说明的是，选择同一个图形进行研究回顾的学生自发结成学习小组，每组推荐一份最满意的作品，并进行全班分享交流。

（二）课堂交流——制订规划，建构单元学习路径。

1.全班交流研究回顾作品。

这个教学环节，主要是根据每个小组推选出来的作品，学生进行分享与交流，在此基础上，提出新的研究问题，鼓励学生继续研究下去。

师：哪个小组来和大家分享一下你们推荐出来的作品？

组1：我们小组选择的是长方体（如图2），从特征、体积、表面积、画图等方面进行研究，研究了长方体的特征、表面积和体积的计算公式，想到的研究方法有展开图、猜测验证等。

这个小组推荐的作品中，虽然学生对于研究内容总结得并不全面，但是涉及顶点、棱、面这些组成要素及其数量，尤其是研究方法中也能回忆起一些研究立体图形重要的方法，如展开、折叠、猜测验证、画图想象等方法，还是很不错的。

组2：我们选择的图形是三角形（如图3），从三角形的周长、面积、内角和、边的关系进行了研究。在研究中我们主要是回顾了学习的过程，对面积的研究用了转化的方法，对内角和的研究，我们制作了三角形，画一画、拼一拼。

从这个小组推荐的作品来看，给学生留下深刻印象的是对三角形边的关系、角的关系的研究，对面积的研究同样关注到了计算公式，对用转化的方法研究面积记忆犹新。

师：结合这些已经研究过的图形，要想深入地研究一个图形，需要从哪些方面来进行？每个方面需要研究什么？怎么研究呢？

师生共同完成研究图形的思维框架，如图4，教学过程略。

【教学思考】如何唤起学生图形研究的经验，更好地切入圆柱、圆锥的学习呢？在学习圆柱、圆锥之前，我们设计了对已经认识过的图形进行研究回顾的环节，希望学生能够唤醒图形研究的经验，并迁移到圆柱、圆锥的学习中，进而制订圆柱、圆锥的研究规划。通过回顾之前图形研究的经验和方法，学生初步形成了研究图形的思维框架，不仅厘清了思路，还积累了经验，为后面进行圆柱、圆锥研究的规划设计，做好了经验迁移的准备。

2.整体思考，搭建学习框架。

师：在生活和学习中我们经常会做计划和规划，你做过哪些计划呢？

生1：我之前和爸爸、妈妈外出旅游时，做过旅游计划，会计划旅游的路线、住宿、吃饭的费用等。

生2：我在寒暑假期间会制订假期活动计划，每天基本上都是按计划进行学习和锻炼，这样假期生活就很有规律。

……

师：在生活和学习中做规划和计划是非常有必要的，能让我们有目标地做事情，有“成竹在胸”的整体认识。今天即将开启新单元的学习——圆柱和圆锥，我们就一起规划一下圆柱和圆锥的学习蓝图。

师：关于圆柱、圆锥，你打算研究哪些方面内容呢？每一个方面研究的具体内容是什么呢？如何研究呢？请大家先独立完成规划的设计，小组交流后推选一份作品进行全班分享。

学生独立思考，并进行研究规划的设计，教师巡视，并指导小组内的交流，鼓励学生完善自己的设计，同时，提醒各小组推荐最满意的作品，做好全班分享的准备。

师：下面我们一起来看第一小组推荐的单元研究规划设计的学习单（如图5），谁来说说自己的想法？

生：我非常欣赏第一小组做的单元研究规划，因为他们能从表面积、体积和特征三个主要方面进行规划设计，我认为是全面的。但我有个建议，应该先研究圆柱、圆锥的特征，再研究表面积和体积。

生：我非常欣赏第一小组在设计表面积研究规划时，能够用展开图的方法得到计算公式，这种方法和长方体、正方体表面积的研究方法差不多。

生：我想给第一小组提点建议，我觉得光有圆柱、圆锥的体积的猜测还不行，还需要想办法验证猜测对不对。

……

【教学思考】本环节是整体思考、初步搭建单元学习框架。由于之前做单元学习规划的经验较少，因此本单元学习规划主要引导学生运用整体结构性思维，分解组合进行设计，以整体和全面的视角统揽整个单元的学习内容。借助积累的研究图形的经验，学生能够从整体上搭建圆柱、圆锥的学习内容框架，即从特征、表面积和体积三个角度进行整体思考。

3.局部设计，建构单元学习规划。

在学生整体架构的基础上，提出进一步思考的问题：如何让单元规划设计更加细致、可行？我们鼓励学生从特征、表面积、体积中任选一个方面进行再次设计，并采用独立思考—小组讨论—全班交流的学习方式分享自己设计的学习规划。

师：哪个小组来分享一下你们的想法？

组1：我们小组选择的是表面积（如图6），根据前面研究长方体表面积的经验，我们计划先把圆柱、圆锥展开，然后进行测量、计算，并根据表面积与面、棱的关系，推导出表面积的计算公式。

组2：我们小组选择的是体积（如图7），主要是研究如何推导圆柱的体积计算公式，我们猜想圆柱的体积可能与底面圆面积有关，可以通过举例进行验证。

……

【教学思考】引导学生自主选择要研究的方向，从研究内容和研究方法等方面进行局部设计，再次调动学生研究图形的经验，尤其是长方体和正方体表面积和体积度量的研究经验，鼓励学生比较细致地完成对圆柱和圆锥特征、表面积和体积学习路径的设计，在研究方法中，学生能够凸显出研究立体图形的重要方法是二维、三维转化和类比猜想验证，这对于后面开展圆柱、圆锥的自主探究，提供了可迁移的学习准备。

4.总结反思，整体感悟。

师：现在我们制订了“圆柱与圆锥”这一单元的学习规划，你认为进行这样的规划对我们的学习有哪些帮助呢？你有哪些收获和感悟？

生：制订的学习规划，让我对整个单元的学习内容有了整体的了解。

生：我发现之前研究长方体和正方体的方法可以用到圆柱、圆锥的研究中，我对圆柱、圆锥的学习心中有数了。

生：我很期待“圆柱与圆锥”单元的学习，看看能否按照这样的单元规划设计进行学习，我觉得后面的学习中也有可能会根据实际情况调整研究规划。

……

[二]、课后反思

（一）加强起始课、复习课的研究，培养学生结构性思维和全局观念。

学生自主进行学习规划的能力较弱，与其规划学习的经验缺乏有关，如何改变这一现状呢？一方面，教师要注重单元规划课的教学研究；另一方面，教师要重视探究解决问题的过程，让学生经历概念、法则、公式等数学知识的形成过程，引导学生将学习内容结构化。这样的学习经历，有助于学生积累规划的经验，学会数学的思维方式，感悟思想方法。

（二）关注规划过程中的反思和调整，在规划中积累经验。

由于学生规划经验的缺乏，在规划过程中会遇到一些困难，教师应及时引导学生对最初的规划进行反思、调整，帮助学生积累经验。为此，单元学习规划并不仅限于起始课，在后续“圆柱与圆锥”单元探究学习以及整理与复习中，同样需要对研究经验进行补充完善，这样有利于学生形成持续的学习力，促进学习的理解与迁移。

【本文系北京市教育科学“十三五”规划一般课题“运用大观念发展儿童数学关键能力的实践探索”（编号：CDDB2020140）的研究成果之一】

（作者单位：北京市海淀区中关村第一小学）