比的概念：历史渊源与教学建议

2023-12-29刘飒巩子坤

小学教学(数学版) 2023年3期

一、引言

数学概念是数学理论体系的基础[1]。深入挖掘概念的本质，实现从表层记忆走向数学理解，是概念教学的切入点，也是深度学习的生长点[2]。

关于比，通常有两层含义：一是差比，求两者之间的差，如比较15和5时，“15比5大10”是差比；二是倍比，求两者之间的商，如“15比5为3”。两个“比”的意义不同，而本文所聚焦的“比”特指倍比。倍比突显了比概念的本质，是学生学习比概念的核心。然而，部分教师无法准确把握比的本质，对比的概念的形成过程更是一知半解[1]。因此在教学过程中，无法引导学生体会比产生的必要性，进而也无法感悟比的本质。

历史是教学最好的指南，从历史中可以了解概念的产生与发展过程，感受概念产生的必要性，体会概念的本质。因此，厘清比的概念的发展历史，从而帮助教师更好地开展比的概念教学，进而引领学生感悟、理解比的概念。

二、“比”概念的发展

（一）来源于度量需求。

数量概念发展的早期源头之一是社会实践中的各种度量。在几何发展初期，古人在度量路途长短、容器大小等各种测量活动中逐渐形成了线、长度、面积、体积等概念，而比的产生源于人们对几何线段长度的度量。设定“单位长”作为基准，再将所需度量的线段与“单位长”进行比较，得到比值，便可由两个“量”的比来确定线段的“大小”。为了方便度量长度，人们会在直尺上预先标记单位刻度，如果不能用整数单位量尽，就将单位再等分，由此产生了分数。所以比一出现就同分数、除法相联系，分数表示的是单位“1”分割后的数，比表示的是分割后部分与整体两个量之间的倍数关系。在度量过程中，比例也孕育而生。战国时期的“兆域图”（公元前310年左右）是我国至今发现的最早的建筑平面规划图。图中标明“堂方二百尺”“两间百尺”，即堂边为间距的2倍，根据标记的数据得知，原图是按照1∶500的比例尺绘制的。由此可见，古人在度量中已经对比例有了一定的认识。

历史记载表明，人们最初对比的认识源于度量，比从产生起就表示各同类量之间的倍数关系，但此时人们对比的认识主要是对实际问题观察的结果以及经验的积累，并未察觉比与除法、分数的区别，更没有建立起比的相关理论。

（二）发展于理论完善。

公元前6世纪的古希腊毕达哥拉斯学派建立了“万物皆数”的基本信条，认为自然数和自然数之比得到的数可以表示世间的一切数量关系。同时，在自然数的基础上建立了比例论：设A、B两个量可公度，即存在两个正整数m、n，使得mA=nB，那么A∶B=n∶m，两个自然数之比[nm]就是一个数。几何意义上表示为任意两条线段都是可公度的。然而，毕达哥拉斯学派对比的认识仅适用于可公度量。因为自然界中的量是连续的，量与量的比值也应是连续的，而自然数是离散的，单用整数及其比来表示就会出现无法克服的矛盾。比如该学派的希帕索斯发现了不可公度的两条线段（直角边长为1的等腰直角三角形的斜边与直角边），这使得“万物皆数”的信条受到了挑战与质疑。

公元前370年左右，在当时学者不承认无理数存在的背景下，为解决不可公度问题，毕达哥拉斯学派的欧多克索斯引入了“量”，即两个量之比不再是离散的数，而是连续的量，如几何中线段、面积、体积、时间等连续变动的量。他定义了量的比：“如果一个量扩大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。”（如[2]cm与1cm的线段，[2]cm的1倍大于1cm，所以两者之间就存在比）同时，他还提出了量的比例理论：设有A、B、C、D四个量，A与C、B与D分别乘相同的倍数m、n，如果由mA=nB，可推出mC=nD，则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D，其中，量A、B、C、D可以是有理量和无理量。值得注意的是，欧多克索斯用两个量的比来处理不可公度的问题，并没有对无理量赋予数值，例如现在表示数值为[2]的量只能在几何中解释，脱离了连续的几何量就无法存在。

欧多克索斯引入几何中连续的量来解决不可公度问题，维护了毕达哥拉斯学派的信条，缓解了第一次数学危机。同时，他在几何量的基础上建立了量之间的比和比例，并且不涉及数值，将数和量生硬地分开，希腊数学的重心也因此由代数转向几何，奠定了古典逻辑和欧几里得几何学的基础。

公元前300年左右，欧几里得在《几何原本》中总结比的理论时继承了前人成果，严格区分了数的比和量的比，给出比的定义和相应法则，比的公理化体系由此形成。

直到1872年，德国数学家戴德金把实数理论建立在严格的科学体系基础上，定义了无理数，数的比和量的比才实现统一，至此持续2000多年的第一次数学危机才宣告结束。

综上所述，比表示两个量或两个数之间的倍数关系，比例表示两个比相等。现代数学中比和比例的基本概念、定义、性质的命题，在《几何原本》中都已成形，因而《几何原本》形成了“比”的理论。

相比之下，中国古代并没有出现比和比例的定义，也没有形成相应的系统理论，直到1067年，徐光启与利玛窦合译《几何原本》前六卷时，才由此引进“比”的概念。中国古代与“比”较接近的概念是“率”，其完整的数学定义在公元263年由刘徽在《九章算术注》中给出[3]∶“凡数相与者谓之率。率者，自相与通。有分则可散，分重叠则约也。等除法实，相与率也。”（意思是：两数比较，如果它们有相比的关系则称为率，两数满足同一相比关系的可以化为同一个率。若分母太小即单位太粗，就可以分散单位，需将分母乘某数来变大分母，从而使得两分数的分母相同；若两个分数有同样单位的重叠，分母太大即单位太细，就可以约分，需将分母除以某数来变小分母约分单位。分子、分母同除以公共单位，约简两数之比，称为相与率）“相与”取比较之意，两数比较，此时“率”与“比”概念可以相同。但“数相与”还可理解为“两数可以同时乘或除以一个相同的数”这一关系[4]。如最早出现“率”这一概念的《周髀算经》卷上写道[5]：“由此观之，率八十寸而得径一寸……以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。”意思是80寸得径1寸，80里得径1里，10万里就得径1250里，这三组是线性相关量，任取其中一组，都可以表示这一线性相关关系（80∶1）。

此外，值得注意的是，上述量的比指的都是同类量的比，非同类量的比是比本质的衍生概念。例如，伽利略在研究路程与时间的关系时，给出了速度这一概念，路程比时间等于速度，速度是路程和时间这两个量的倍数关系产生的新的量，比值结果要带新的单位，这便是非同类量的比。

（三）应用于实际计算。

虽然西方很早就形成了比的理论，但它建立在严密的几何理论中，很少涉及计算。相比之下，中国对比的计算研究更深。中国古代数学重视实际应用，长于计算，相关数学成就大多以例题的形式在典籍里呈现，比的认识与比例算法便是在解决实际问题中体现的。

我国比例算法出现很早，今存最早中国算术典籍《算数书》中，有关比例的算题约占全书一半，涉及正比例和反比例、配分比例、连比例等[6]。中国比例算法系统形成于《九章算术》，其中主要讲解比例的有第二章“粟米”——粮食谷物按比例交换问题，第三章“衰分”——按比例分配问题，第六章“均输”——涉及配分比例和复比例问题。与《几何原本》类似，比例算法可以说是《九章算术》的基础知识而贯通全书；所不同的是，《九章算术》及刘徽的《九章算术注》中没有给出比和比例的定义，也未区分数与量的比，更多是从实际问题出发，梳理出比和比例的应用情况。

由于在《九章算术》“粟米”章，比例算法的例题开头都是“今有”，所以中国比例算法被称为“今有术”。“今有术”是已知三个数量求出第四个数量的算法，四个成比例的数量：所有率（a），所求率（b），所有数（c），所求数（x），a∶b=c∶x，就有[所求数=所求率×所有数所有率]，即“今有术曰，以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。刘徽认为“今有术”是解决比例算法的一般方法，并将其视为算法的核心，任何数学问题只要找出它们的率关系（注：两数相比的结果叫作“率”，而两数之间存在的关系便是“率关系”），再使用“齐同术”（注：“齐同术”是中国古代一种处理比率问题的方法，它将求若干个分数的公分母称之为“同”，借助分数的性质使各个分数的分子发生相应变化称之为“齐”，保证与原分数相等，相当于“通分”。由刘徽将其从适用于分数发展为适用于一切与比率相关的算法），都可以归结为“今有术”[5]。“今有术”的名称一直沿用到清朝，“白芙堂算学丛书”中道：“所有率、所求率者，举以为例之两位数也……惟此两率者，为例已定，故今所设之数可比照以求，所以亦名比例式也。”中国“比例”一词，由此产生[5]。

中国“今有术”在7世纪传入印度改为“三率法”，13世纪经意大利数学家斐波那契在《算盘书》中作详细介绍后传入欧洲，受到欧洲各国商人的重视，将其誉为“黄金法”。到18世纪，诞生于中国的“今有术”，经过近两千年的传播、演变，成为世界现代算法中的各种比例算法[7]。

由此可见，比的理论形成于西方国家，由西方传入中国；而比例算法产生于中国并传入西方各国，这与数学历史的发展一脉相承。中西方的古代数学是两个完全不同的体系，以古希腊为代表的西方数学侧重于逻辑演绎体系，中国古代数学偏向于实际应用的算法体系。数学最初的产生都是为了解决生活实践中的问题，那为何会形成这样不同的体系呢？或许与“比”有一定的关系。古希腊数学调和解决数与量的问题，是《几何原本》及其之后西方数学的任务，为了解决不可公度问题，西方数学开始走向严密的几何逻辑。《九章算术》及刘徽注从实际问题出发，直接设定了数与量的一致，未提出不可公度比的问题，使中国古代数学发展避免了一次难以逾越的困惑，同时失去了一个强大发展的契机。

三、“比”与其他概念的联系

比的概念从起源到发展再到应用都与其他概念有密切联系：比从度量产生起就与分数密不可分；用比运算时与除法有相同之处；无理数的确立实现了数的比与量的比的统一。在现行各版教材中，比的相关内容最早出现在六年级上册，在此之前，学生已学习过除法、分数等知识；在此之后，七年级将学习有理数、无理数等知识，这些概念皆与比有密切联系，这也与比概念的历史一脉相承。图1呈现了比与其他概念之间的关系，体现知识之间的逻辑体系。

由图1可知，比是一种关系表达，表示两个数之间的倍数关系，其结果可以是有理数（整数、分数），也可以是无理数；除法是一种运算，是关于两个数倍数关系的运算，其运算结果可以是有理数、无理数；分数是一个有理数，除了表示运算的结果，还可以作为比的一种表示形式。

除概念上的关系外，在功能上，分数、除法与比三者既有联系又有区别。比拥有其他两个概念没有的表达功能，更强调量与量之间倍比关系的直接描述，有时并不关注具体比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运算关系和运算结果。在应用时，比可以同时表示两个、三个甚至更多量之间的倍数关系，而除法和分数一般只表示两个量之间的倍数关系[8]。

四、启示与建议

比的本质是表示两个量或两个数的倍数关系，而现行多版小学数学教材中，把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为比的定义，这其实是舍本逐末的做法[9]。因此，要从比的历史溯源中了解比产生的必要性，明晰比与其他概念之间的逻辑关系。

1.在教材定义中突出体现本质。教材中关于比的定义是比的表现形式，并没有体现出比的本质。按教材中的定义，如何体现不同类量之间的比？可以借鉴张奠宙教授提出的比的定义：“两个量a、b，如果以b为单位去衡量a，称a和b之间有关系为a比b，记作a∶b。a÷b=k称为比值。”[9]此定义可以沟通同类量和不同类量之间的比。

2.在教学情境中直观呈现本质。因为比源于度量，教学时可以选取生活中真实用到比的情境，直观形象地呈现两个量之间的关系[10]，让学生经历度量的过程，经历在情境中探索概念形成的过程，感受比产生的必要性并抓住其本质，让学生自己像数学家那样探索数学的奥秘[11]。

3.在教学过程中辨析深化本质。在同一个真实情境中，教师鼓励学生分别用比、除法和分数表示数量之间的关系，带领学生感受三者之间的联系，辨析三者间的异同，并抛出“比的各部分与除法、分数中的什么对应”“比的后项可以是0吗”等问题[12]，让学生思考和讨论，使学生进一步深刻理解比的内涵以及比的独特作用，形成知识体系。

参考文献：

[1]刘琳娜.对小学数学概念教学的思考：以“比的意义”为例[J].课程·教材·教法，2012，32（06）：75-79.

[2]刘静.概念教学：从表层记忆走向数学理解：以“比的认识”教学为例[J].小学数学教育，2020（07）：23-24.

[3]吴文俊.中国数学史大系：第三卷东汉到三国[M].北京：北京师范大学出版社，1998.

[4]希格玛工作室编译.九章算术[M].上海：上海教育出版社，2021.

[5]吴文俊.中国数学史大系：第二卷中国古代数学名著《九章算术》[M].北京：北京师范大学出版社，1998.

[6]杨静，潘丽云，刘献军，等.大众科学技术史丛书：大众数学史[M].济南：山东科学技术出版社，2015.

[7]徐品方，徐伟.古算试诗题探源[M].北京：科学出版社，2008.

[8]华青.“比”的前概念研究[J].教学月刊·小学版（数学），2016（1/2）：24-27.

[9]张奠宙.返璞归真正本清源：“比”不能等同于除法[J].教学月刊·小学版（数学），2015（03）：4-8，1.

[10]李晓燕.不同版本教材“比的意义”的对比与分析[J].小学教学参考，2020（35）：16-17.

[11]王科.HPM视角下数学归纳法教学的设计研究[D].上海：华东师范大学，2014.