西方早期代数相关研究及启示

编者按

代数是数学中一个重要的领域，学生在代数学习上表现不佳将阻碍其在数学上的长远发展。尽管代数知识一般从小学高年级甚至初中才正式引入，但许多研究者提出：可以从小学低年级甚至幼儿园就开始培养学生的代数思维。2022年版课标在第二和第三学段中结合相关内容提出了“形成初步的代数思维”的要求。所以如何在小学阶段培养学生初步的代数思维是值得探讨的话题。本期的《早期代数思维研究专辑》主要从以下两个方面切入：介绍这方面的最新研究成果，期望对早期代数思维的培养带来启示；探讨如何利用教材中的相关素材培养学生的代数思维。

本文对西方早期代数的相关研究进行梳理，希望能为我国基于2022年版课标的教材编写及教学改革提供参考。

一、早期代数及相关概念

（一）代数思维与算术思维的差异。

厘清代数思维的内涵是有效实施早期代数教学的基础。下面对代数思维和算术思维进行比较，从而明确代数思维的本质。

首先，代数思维与结构思维有关，算术思维和程序思维有关。算术思维对应的是对已知数进行运算从而得到结果的过程，如5+3=8。代数思维则要求学生一般化、表征或证明任务情境中所蕴含的数学结构。其中，数学结构主要包括运算律、运算之间的关系（如除法是乘法的逆运算）、数的性质（如两个奇数的和为偶数）、模式中不变的关系（如在数值序列2、4、6、…中，后一个数总是比前一个数大2）、数量关系（如总量=分量+分量）等。

其次，一般化是代数思维的重要特征。可以说，代数思维都是围绕具有一般性的命题展开思考的，具有一般性的命题陈述的性质适用于许多数学对象，如两个奇数的和为偶数适用于任意两个奇数。而算术思维具有特殊性。

最后，算术思维与代数思维的操作对象不同。利用算术思维展开思考，只需要对已知数进行运算就能得到结果（如计算2+3时，只需要操作已知数2和3就能求出它们的和为5）。而利用代数思维展开思考，则需要能够将不确定的量（包括未知量和变量）作为操作对象（如用y=x+30描述两个人年龄之间的关系）。

总之，代数思维的本质在于对具有一般性的数学结构进行推理或分析，并且这个过程中通常会出现不确定的量。

（二）早期代数及相关概念辨析。

早期代数与代数、算术、代数提前、前代数等概念具有不同的内涵。需要明确的是，可以将代数（算术）分为代数（算术）内容和代数（算术）思维两个部分。一般将自然数、小数、分数的四则运算等视为算术内容，而用字母表示数、字母的运算性质与法则、代数方程、函数等属于代数内容[1]。

代数（算术）内容和代数（算术）思维之间并不存在必然联系。一方面，代数内容并非代数思维的充分条件。例如，在解方程x+4=2x+2的过程中，若学生猜测x为2，并将其代入等号两边分别进行运算，可以发现等号两边刚好相等，从而得到方程的解为2。由于这个过程仅涉及算术运算，而没有对等式的结构进行分析，因此仍然属于算术思维。另一方面，由于部分算术内容中也蕴含数学结构，因此算术内容也可以用来培养学生的代数思维，如依据一系列算式概括出运算律。早期代数教学就是要利用这些算术内容培养学生的代数思维。

早期代数与代数主要在抽象水平上存在差异：代数一般要求学生使用抽象程度更高的表征方式，如用字母表示；早期代数则允许学生使用语言、文字、图形、手势等表征方式。这也导致二者的教学对象不同，即代数教学的对象通常是中学生，而早期代数教学则是为学生学习正式的代数做准备，所以早期代数教学的对象通常是小学生，甚至可以是幼儿。

为进一步阐明早期代数的概念，下面对早期代数与代数提前、前代数进行辨析。一方面，早期代数有别于代数提前。早期代数教学将代数思维的培养融入算术内容中，并关注学生对知识的可接受性，因此，小学生只需要借助与代数相关的直觉，并不需要掌握抽象的代数概念。而代数提前是指将中学时才学习的抽象的代数内容前置于小学。另一方面，早期代数也不同于前代数。提倡前代数的学者认为，算术与代数之间存在不可弥合的差异，只有在算术与代数之间增添一些与二者均有联系的内容作为桥梁，才能帮助学生从算术学习顺利过渡到代数学习。而主张早期代数的学者则希望在算术内容中寻求发展代数思维的机会，尽管他们承认算术与代数之间具有差异，但是他们试图在算术内容与代数思维之间建立联系。值得注意的是，代数提前与前代数都遵循“先算术，后代数”的顺序，仍然是先发展算术思维，再培养代数思维，而早期代数则希望利用算术内容同时发展学生的算术思维与代数思维。

（三）早期代数的内涵与结构。

代数是一个抽象的概念，许多学者都曾探讨代数的内涵，其中最具代表性的是卡普特。他认为代数包括两个核心方面与三条内容主线。两个核心方面是：对规则和约束条件的一般化结果进行符号化，如用a+b=b+a表示加法交换律；对用符号系统表示的一般化结果进行合乎法则的推理，如依据a+b=c推理出a=c－b。三条内容主线是：研究从运算和关系（包括算术一般化和数量推理）中抽象出来的结构和系统，研究函数、关系和协变，应用数学内部与外部的模型语言[2]。

以卡普特的理论框架为基础，布兰顿等人提出早期代数的结构包括四种思维方式（源于两个核心方面）和五个核心概念（源于三条内容主线）[3-4]。

四种思维方式如下：

一般化：将若干个具体的实例概括成统一的形式。

表征：使用语言、文字、图形、手势等方式表示一般化的结论。

证明：使用数学论据支持或反驳某个一般化的结论。

推理：在新的问题情境中，使用一般化的结论推理出新的结论。

五个核心概念如下：

相等、表达式、等式和不等式，包括：发展对等号的关系性理解，如求解7+3=（ ）+4时，依据从7中拿走1，把1加到3上，还剩6，得出括号里应填6；能够用符号列出表达式或等式，并对其进行推理；描述数量之间的相等关系或不等关系，如用5×n=40表示爸爸今年40岁，且爸爸的年龄是小明年龄的5倍。

算术一般化（概括算术关系），包括：概括数与运算的基本性质，如依据一系列加法算式概括出加法交换律；对算术表达式的结构进行推理，而不是计算出它们的结果，如依据39+121与121+39只是将39与121交换了位置，推理出39+121=121+39。

函数思维，包括：概括变量之间的协变关系，如用“每增加1张桌子，就能多坐2个人”表示桌子的张数和人数这两个变量之间的关系；用语言、文字、代数符号、表格或图象等对变量之间的对应关系进行表征或推理。

变量：理解变量在不同数学情境中所扮演的不同角色，如变量x在一个数学情境中表示某人的年龄，在另一个数学情境中表示桌子的数量。

比例推理：对两个具有一般性的数量进行推理（两个数量之间的比是不变的），如依据2只虫子1天吃5片叶子，推理出12只虫子1天吃30片叶子。

一般化被视为代数思维的核心，表征、证明和推理都是围绕一般化的结果进行的。在早期代数的五个核心概念中，函数思维受到研究者的广泛关注，许多学者认为函数思维可以作为早期代数教学的重要切入点。

二、早期代数教学的可能性：小学生能否进行代数思维

实施早期代数教学的先决条件是小学生能够进行代数思维，因此研究早期代数的学者们最初关注的问题就是：小学生能否进行代数思维？

布兰顿等人开展了准实验研究[3]。他们通过为期1年的教学实验发展小学生的代数思维，并使用测验法探究小学生代数思维的变化情况。研究者围绕早期代数的五个核心概念为三年级学生设计了一系列单独设置的早期代数课程（共19节课）。在接受教学干预后，学生能够对早期代数的核心概念形成基本的理解。以学生对等号的理解为例。在接受教学干预前，50%的学生对等号持操作性理解，即将等号理解为需要计算出答案的指示符，具体表现为求解7+3=（ ）+4时，因为7+3=10，所以应该在括号里填10。在接受教学干预后，77%的学生对等号持关系性理解，他们将等号理解为两个表达式等价的指示符，在求解7+3=（ ）+4时，他们依据从7中拿走1，把它加到3上，还剩6，得出括号里应填6。为使研究结论更具推广性，布兰顿等人还分别探索了长期的早期代数教学干预（为期3年）和融入常规课堂的早期代数教学对小学生代数思维发展的影响[4-5]。以上研究结果表明，小学生能够进行代数思维，而且早期代数教学对学生抽象代数概念的学习具有积极、正向的作用。

雷德福则通过访谈法探究二年级学生（7～8岁）初次接触早期代数任务时的表现[6]。雷德福认为，不确定性与分析性是代数思维区别于其他思维方式的重要特征。不确定性要求学生对不确定的量进行操作，分析性是指必须通过推理的方式（而非猜测）得到一般化的结论。该研究中，学生一开始就使用“这个数”表示不确定的量，这表明他们此时已经能够理解不确定性。在教师的引导下，一部分学生的答案同时具备不确定性与分析性。可见，在教学干预下，学生的代数思维能够达到更高的水平。这不仅说明小学生具有学习代数概念的潜能，还表明适宜的学习情境能够促进学生代数思维的发展。

总之，小学生能够进行代数思维这一结论已经得到了许多实证研究的支持，并且早期代数教学能够发展小学生的代数思维，为中学阶段更抽象的代数学习做准备，从而保证学生学习的连贯性。

三、启示

（一）探索数学任务背后的数学结构。

关注数学任务背后的数学结构，不仅能够发展学生的问题解决能力，还可以培养学生的代数思维。数学结构具有一般性，围绕一个数学结构可以创设大量的数学任务。关注数学结构能够帮助学生找到一类数学任务的共性，在此基础上，如果学生掌握了其中一个问题的解决方式，就可以将其运用到其他数学任务中，从而有效地解决一类问题。例如，若学生能够理解“总价=数量×单价”这一数量关系，他们就可以将其运用到所有已知总价、数量、单价中任意两个量，求第三个量的数学任务中。因此，在教学过程中，教师不应局限于特定任务本身，而应该引导学生探索并理解一类数学任务背后共同的数学结构。

（二）强调一般化在早期代数教学中的核心地位。

一般化不仅是代数学习的核心，也是一项核心的数学活动。因此，应该尽可能为学生提供进行一般化的机会。在早期代数教学中，教师不仅应该关注学生一般化的结果，更应当关注学生一般化的过程。代数思维的特征是分析和推理，而不提倡通过猜测的方式得到一般化的结果。因此，在发展学生代数思维的同时，还要培养他们的推理意识。另外，受限于小学生的认知发展水平，小学阶段应该允许学生使用多种方式表征一般化的结果。在强调一般化的同时，教师需要合理使用培养学生表征、证明和推理能力的任务，使各种类型的早期代数任务相互配合，起到相互促进的作用，从而更全面地发展小学生的代数思维。

（三）将函数思维作为发展小学生代数思维的切入点。

函数思维是早期代数教学的重要切入点。我国的小学数学教材为学生提供了大量发展函数思维的机会，其中最有代表性的是探索规律类的任务，2022年版课标也强调应该“探索用数或符号表达简单情境中的变化规律”。由于探索变化规律的过程可以为学生提供发展多种函数思维模式的机会，因此，教师应该充分利用这些任务，并结合小学生函数思维的发展轨迹（从递归思维通过协变思维或特殊的对应思维发展到一般的对应思维），更好地培养小学生的函数思维，并以此为切入点，促进小学生代数思维的发展。

参考文献：

[1]顾明远.教育大词典：第11卷[M].上海：上海教育出版社， 1991.

[2]Kaput J J.What is algebra？What is algebraic reasoning？[M]//Carraher D W，Blanton M L.Algebra in the early grades.Lodon：Routledge，2008.

[3]Blanton M，Stephens A，Knuth E， et al.The development of children's algebraic thinking：The impact of a comprehensive early algebra inter-vention in third grade[J].Journal for Research in Mathematics Education，2015，46（1）.

[4]Blanton M，Brizuela B M，Stephens A，et al.Implementing a framework for early algebra[M]//Kieran. Teaching and learning algebraic thinking with 5- to 12-year-olds. Berlin：Springer， 2018.

[5]Blanton M，Stroud R，Stephens A，et al.Does early algebra matter？The effectiveness of an early algebra intervention in Grades 3 to 5[J].American Educational Research Journal， 2019，56（5）.

[6]Radford L.Grade 2 students' non-symbolic algebraic thinking[M]//Cai J， Knuth E. Early algebraization：A global dialogue from multiple perspectives. Berlin：Springer， 2011.

（作者单位：东北师范大学教育学部）