在追问中溯源，学逻辑清晰的数学

在课堂上，我们应追溯知识的本源，让学生经历推理过程，学习逻辑清晰的数学。本文以青岛版教材四年级上册第一单元“万以上数的认识”为例说明。

一、通览教学内容，厘清核心概念

2022年版课标将“数与代数”领域的内容整合为“数与运算”“数量关系”两个主题，“万以上数的认识”单元属于“数与运算”主题的内容。根据2022年版课标的要求，本单元主要是让学生认识万以上的数，了解十进制计数法，能结合具体实例解释万以上数的含义，能认、读、写万以上的数，会用万、亿为单位表示大数，经历整数的抽象过程，知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感。要达到上述要求，首先要通览本单元的内容，厘清核心概念是什么。

本单元共安排了4个信息窗（信息窗即给出一些信息或情境，以此展开问题提出及相关数学知识的学习）：信息窗1主要是在具体情境中抽象出大数，认识较大的计数单位，形成系统的数位顺序表，了解十进制计数法，学会万以上数的读法；信息窗2为万以上数的写法；信息窗3为万以上数的大小比较和改写；信息窗4为求近似数。认识数，最重要的是认识计数单位。学生在前期认识数的过程中主要是借助计数器直观感知数的大小，实际上在拨弄计数器的过程中，就是在数计数单位。

计数单位是本单元的核心概念。为什么这样说呢？首先，从命名上看，计数单位是一个单位，是一个数数的单位，所以要认对数，本质上就是要认对计数单位。其次，借助数位顺序表，我们了解到其中有计数单位、数位和数级三个概念，计数单位就是我们所说的个、十、百、千、万……每个计数单位所在的位置就是数位，根据我国的计数习惯，每四个数位是一级。可见，如果没有计数单位，数位和数级的概念都难以形成。最后，常用的计数方法是十进制计数法，它所表达的也是每相邻两个计数单位之间的进率是10，在这里特别强调的是计数单位而不是数位，因为数位只是一个位置，起决定作用的还是这个数位上的计数单位，只有这个位置上有10个这样的计数单位，才能向前一位进一。另外，我们在教学认识数的时候常会使用一个工具——计数器，计数器上的每个珠子代表的就是1个计数单位，数珠子的过程就是数计数单位的过程，也就是数数的过程，包括读数、写数、比较大小、改写和求近似数等，都是以数和比较计数单位为基础的。

二、追问产生思考，厘清逻辑关系

在本单元的信息窗1中明确了计数单位的概念，在练习中也能看到与计数单位相关的问题，但在其他信息窗中没有再出现这一概念，仿佛与之无关。但是学习不应只关注结果，更重要的是过程：方法是怎么来的？我们说算法有自身的算理，难道读法没有“读理”？写法没有“写理”？比较没有“较理”？求法没有“求理”？凡是法皆有理。本单元的理就在核心概念计数单位上。那么，怎样让学生自主发现呢？教师的追问是非常重要的。

以“万以上数的大小比较”一课为例。本课要解决的问题是比较中国（9600000平方千米）、俄罗斯（17070000平方千米）和美国（9373000平方千米）三个国家的陆地面积，谁最大，谁最小。本课是在学生会比较万以内数的大小的基础上进行的，学生知道在进行整数的大小比较时主要分两种情况：数的位数不同和数的位数相同。位数不同时，哪个数的数位多该数就大；位数相同时，从最高位起，一位一位地比。课堂上，当呈现教学情境，让学生分小组探究比较方法时，学生一下子就能比较出俄罗斯的陆地面积最大，美国的陆地面积最小。这么一看，好像新课的内容已经完成了。但是学生仅仅学会比较方法就可以了吗？当然不是，学生到目前为止只是学习了整数大小的比较，那么小数和分数的大小比较也只看数位的多少吗？为了让学生明白数的大小比较究竟是怎么一回事，也为了让学生在今后学习小数、分数大小比较时能更好地理解和掌握方法，教师在比较的过程对学生进行了如下的追问。

师：哪个小组想来汇报一下你们的想法？

A组：因为17070000是一个八位数，而9600000和9373000都是七位数，所以俄罗斯的陆地面积最大。在比较中国和美国的陆地面积时，因为都是七位数，所以要从最高位开始，e60e4d71776e2ccbff4d2bd5b237070d一位一位地比，百万位上都是9，再看十万位，十万位上6＞3，所以美国的陆地面积最小。大家听明白了吗？

学生鼓掌表示赞同。

师：大家对这种比较的方法还有什么疑问吗？老师有一个问题，为什么八位数比七位数大呢？

生：因为八位数比七位数多了一位数。

师：多了哪一位？

生：多了千万位。

师：多了千万位上的几个什么？

生：多了千万位上的1个千万。

师：七位数中有没有千万位？

生：没有。

师：所以八位数比七位数多了什么？

生：八位数比七位数多了1个千万。

师：为什么八位数比七位数大？

生：因为八位数中有1个千万，七位数中有0个千万。

师：所以，比较数的大小时实际上是比什么？

生：计数单位。

师：所以谁能试着解释一下为什么八位数比七位数大？

生：因为八位数最高数位上的计数单位比七位数最高数位上的计数单位大。

师：为什么根据十万位上的6＞3，就能得到9600000＞9373000？

生：因为6个十万＞3个十万。

师：那为什么根据6＜9（指着9600000十万位上的6和9373000百万位上的9），不能得到9600000＜9373000呢？

生：因为它们所在的数位不同，计数单位也不同，不能比较。

师：所以比较数的大小时，实际上是比什么？

生：相同数位上计数单位的个数。

借助这样一个追问过程，学生就能理解：比较数的大小实际上比较的就是相同数位上计数单位的个数，这为后面学习小数、分数的大小比较奠定了基础，到时候学生就会明白为什么比较小数的大小时，只根据一个数位上数的大小不能直接做出判断，也会明白在比较分数的大小时，为什么化成同分母分数更好比较，其实都与计数单位有关。同时在追问的过程中，学生的大脑始终在思考：哪个知识点可以用来回答这个问题？我是怎样从问题出发，一步步解决问题的？这个问题是怎样形成闭环的？通过这样一个推理过程，在学生的大脑中知识间的逻辑联系更加清晰，学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，遇到问题时更愿意追根溯源，能够知其然更知其所以然。