感悟运算的一致性，学习如何思考问题

2022年版课标在小学阶段提出了“感悟运算的一致性”的要求，这引发了小学数学教育工作者的广泛关注与思考。2022年版课标为什么要提运算的一致性？其教育价值是什么？如何理解运算的一致性的内涵？如何通过具体的路径，帮助学生感悟运算的一致性，最终为发展学生的核心素养助力？这些都是亟待思考和解决的问题。基于此，笔者团队开展了系列的实践研究。

一、从发展学生核心素养的角度看运算的一致性

素养是一个人表现出来的思维品质和做事风格，往往体现在新情境下发现和解决复杂问题的意愿和能力上，而这需要学生理解所学内容的意义，并促进所理解的意义在新情境下实现迁移，即实现“意义理解与自主迁移”。

一般来说，如果事物之间是有联系的，存在着一致性，那么，就更容易迁移之前思考或做事的经验运用到新的情境中解决新问题。感悟运算的一致性，不是简单地让学生知道运算之间有什么联系，把有关结论直接告诉给学生，重要的是帮助学生体会思考问题的方法，积累迁移解决新问题的经验，逐渐发展核心素养。

如何在运算的一致性的教学中发展学生的核心素养呢？一方面，要明确这个内容所指向的核心素养主要表现是什么，即“明方向”。运算的一致性属于“数与运算”主题，旨在发展学生的运算能力和推理意识。另一方面，要厘清运算的一致性与核心素养主要表现之间的关联，以及在教学中如何实现这种关联，即“建桥梁”。运算的一致性可以从下面两个方面来理解：

第一，运算意义的一致性，简言之，四则运算都源于实际意义的抽象，同时四则运算之间存在着联系。在整数、小数、分数的同一种运算中，其意义存在着一致性，如整数乘法、小数乘法和分数乘法都可以理解成是在求“相同加数的和”或“一个数的多少倍”。

第二，算理、算法的一致性，即如何运算方面的一致性。2022年版课标中给出了探索如何运算的重要思路是“将未知转化为已知”，利用数和运算的意义及它们之间的联系，还有运算律等将未知转化为已知。以整数乘法为例，在2022年版课标中给出了这样一个案例（如图1）。

此案例提示我们首先要鼓励学生进行转化，思考如何把未知转化成已知。学生将逐步感悟通过运算的意义、将数“拆分”可以转化成已知的事实。其次要体会计数单位在转化中的作用。实际上，不论是整数、小数还是分数，都是基于计数单位的表达，而不论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，实际上都是在寻求新的计数单位及其个数。

明晰了计数单位在转化中的作用，积累了如何转化的经验，就可以运用这些经验不断探索新的运算，逐渐发展运算能力和推理意识，这便是素养的培育过程。

二、从学与教的实践中发现实现运算一致性的路径

厘清了感悟运算的一致性和发展核心素养之间的关系后，笔者团队整体思考相关内容，聚焦算理和算法的一致性，进行了探索与实践。

（一）整体分析，发现运算中的不一致。

先来看加减法。整数和小数的加减法都是在相同数位上将计数单位的个数相加减，而分数加减法中的通分，实质上是先找到统一的计数单位，再将计数单位的个数相加减。虽然算法不同，但本质相通。关于加减法运算，其一致性的道理和思考路径是比较清晰的。目前一致性教学的难点在于对乘法和除法一致性的探索。

除法是乘法的逆运算，乘法是基础，所以可以先分析现行的乘法学习。

对于小数乘法，现行教材中大多是利用积的变化规律转化为整数来计算的，而到了分数乘法，又用的是分数的意义和乘法的意义，这就与解决小数乘法时转化为整数乘法的思考方向不一致了。

如解决0.3×0.2，可以转化成学生学过的整数乘法，具体转化过程如图2所示。

经历了这样的思考过程，到了解决分数乘法时，如果迁移已有经验，学生自然想到的还是转化为已经学过的运算，把分数乘法转化成整数乘法或小数乘法，具体思路如图3所示。

综上，小数乘法是利用积的变化规律转化为整数乘法来计算的，而分数乘法是利用分数的意义和乘法的意义来计算的，这两种思路不一致，又没有呈现不一致的理由，所以可能造成学生思维的脱节，阻碍已有经验的迁移。

（二）调研学生，发现学生的真实需求。

那么，计算小数乘法和分数乘法时，学生真实的思考路径是什么呢？笔者团队从学生实际出发，去探寻学生处理小数乘法时的真实想法。

调研题目：0.3×0.2的结果是多少？用喜欢的方法把你的思考过程表达清楚。

通过调研发现，学生主要采取了两条路径。

第一条路径是，用积的变化规律将小数乘法转化为整数乘法。约有三分之一的学生是这样想的。

第二条路径是，从小数乘法的意义出发。约有三分之二的学生这样思考问题，即使学生没学小数乘法的意义，但他们意识到意义能够帮助解决问题。所以，有些学生就开始思考：0.3×0.2就是0.3个0.2或0.2个0.3，那0.2个0.3又是多少呢？在从意义出发的学生里，有约30%的学生成功地把0.3平均分成10份，取2份得到了正确结果，如图5所示。但有约70%的学生产生了困惑，无法作答或者得到了错误答案0.6。通过访谈发现，学生受整数乘法的影响，认为会越乘越大，所以比较犹豫地得到0.6。一方面，学生对小数乘法意义的理解影响了小数乘法运算；另一方面，到底0.3×0.2是什么意思，为什么会越乘越小，学生又迫切地希望讨论。从这个角度来说，帮助学生体会小数乘法的意义是重要的，它既是学生真正好奇的问题，也是学习一种运算时应该首先思考的关键问题。因此，有必要补充通过具体实例感受小数乘法意义的内容。

继续深入访谈得出“0.3×0.2＝0.6”的学生，发现有的学生能够认识到“0.3是3个0.1，0.2是2个0.1，3乘2结果是6”，但是不明白得到的是6个什么。有的学生是受小数加法竖式计算时小数点对齐的影响，认为小数乘法计算时小数点也应该对齐，所以得到结果“0.6”，说明他们没有意识到积的计数单位发生了变化。

从调研情况和访谈入手分析，可以确定学生学习小数乘法运算的难点在“0.1×0.1为什么结果是0.01”上，小数乘法运算中计数单位的变化是不可回避的问题。在小数乘法运算教学中，可以先帮助学生体会小数乘小数的意义，发现“单位×单位”会产生新的计数单位。为此，有必要先进行0.1×0.1的教学，这样既可以让学生感悟新的计数单位的产生，又能帮助学生体会小数乘法的意义，解决“为什么越乘越小”的困惑。

（三）基于学生需求设计实现运算的一致性的教学思路。

笔者团队整体设计了实现一致性的教学思路，其核心仍然是将未知转化为已知，在这个过程中感悟计数单位和计数单位个数的价值。

鼓励学生结合实际问题，进行由未知到已知的转化。转化过程中可能存在多种路径，可以将小数乘法和分数乘法都转化为整数乘法，也可以利用乘法的意义解决，还可以借助情境中的单位换算尝试解决等。总之，基于学生的真实想法和需求，是实现运算一致性的重要原则。教师不应将“一致性”强加给学生，而是要鼓励学生自己解决问题，想办法实现从未知到已知的转化。

在此基础上，如何让学生感悟计数单位的价值呢？这需要将数的认识和运算关联到一起，并且将整数乘法、小数乘法和分数乘法关联到一起进行整体建构。实际上，不论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，都是在寻求新的计数单位及其个数。

三、感悟乘法运算一致性的实践探索

基于以上的教学思路，笔者团队设计了两条乘法运算的一致性的实践路径：一是在整数乘法、小数乘法、分数乘法都学完后，在六年级总复习时利用“回头看”，寻找三者之间的联系，感悟运算的一致性；二是在小数乘法和分数乘法学习时进行系列实践，从意义出发，以计数单位为核心，实现一致性的整体设计。

（一）实践路径1：在六年级总复习时利用“回头看”，帮助学生在寻找联系中感悟乘法的一致性。

在整数乘法、小数乘法、分数乘法都学完后，在小学六年级总复习阶段，通过“回头看”寻找联系，突出计数单位在乘法运算中的作用，感悟乘法运算的一致性。

在运算意义方面，整数乘法“相同加数的和”最易理解；在此基础上，小数乘法的意义可以借助分数的意义加以理解，学生尝试思考什么是0.3个0.2，体会乘法可以表示“一个数的多少倍”，感悟整数乘法、小数乘法和分数乘法意义的一致性。

在算理、算法方面，学生借助直观图，探索三类乘法算法背后的算理，并得出以上三个算式的计算都可以表达成如图6所示的形式。

经过运算和观察，学生关注到了三个算式的计算中都有2×3，变化的是计数单位。由此，学生体会计数单位在运算中的作用，感悟三类乘法都是计数单位×计数单位得到新单位，个数×个数得到最终的单位的个数，由此体会整数乘法、小数乘法、分数乘法的一致性。（有关课例见本专辑中的课例1）

（二）实践路径2：整体建构，帮助学生逐步感悟计数单位。

从数的意义和乘法的意义出发，先研究计数单位的运算，再探寻计算的一般方法，体会计数单位的作用。在小数乘法中，先带领学生研究计数单位×计数单位如何计算，在此基础上，鼓励学生探索一般的小数乘法如何计算，在多种计算方法中感悟计数单位的作用。在分数乘法中，鼓励学生自主规划学习路径，迁移已有的学习经验尝试先研究计数单位×计数单位，在探索一般的分数乘法如何计算的基础上，感悟计数单位×计数单位得到新单位，个数×个数得到最终的计数单位的个数。

1.小数乘法单元的整体设计。

前述调研情况的分析已表明，有必要先进行0.1×0.1的教学。那么，基于小数意义的学习，学生是否具备探索0.1×0.1的知识基础呢？又该怎样设计教学呢？笔者团队的教师再次对39名学生进行调研。

调研题目：0.1×0.1表示什么意思？写一写，画一画。

基于以上学生的表现，在小数乘法单元整体设计中，笔者团队先补充了单位×单位，即0.1×0.1这一内容，用数位顺序表引出计数单位相乘的问题，由学生自主建构和理解0.1×0.1的意义，并得到结果。研究了0.1×0.1后，再鼓励学生思考：由0.1×0.1你还能计算哪些算式？根据学生列出的一些算式，聚焦从较简单的算式开始思考。在解决0.3×0.2时，继续鼓励学生想办法通过转化解决问题，初步体会0.3×0.2与0.1×0.1的关系。在此基础上，再探索其他算式如何计算，在一般算法的探寻中，逐渐感悟计数单位、计数单位个数的作用与价值。具体设计如表1所示。

这里需要说明几点：（1）由于学生的情况存在差异，每个板块并不都是1课时完成的，为此这里用板块而不是用课时。教学中，教师可以根据自己学生的实际情况合理调整。（2）没有为小数乘整数单独设立课时，而是将其放在了板块2和板块3的练习中。（3）此处只是研究小数乘法，有的教材在这个单元中还包括利用小数混合运算解决问题等，本研究没有涉及。（此单元的板块2的具体实践见本专辑中的课例2）

2.分数乘法单元的整体设计。

在分数乘法单元，笔者团队采用了自主规划的学习方式，鼓励学生自己先规划分数乘法单元的学习内容、基本学习路径、学习素材、思考的关键问题“如何能够寻找到通法”等，尝试开展自我导航式的学习。整个单元后续的教学也沿着学生自己的规划，依次解决分数乘整数、分数乘法的意义、分数乘分数，最后寻找整数乘法、小数乘法、分数乘法这三类乘法之间的联系。

值得一提的是，规划时学生提出希望学习

分数乘分数是本单元的教学重点和难点，学习这个内容的关键是寻找分数乘分数的一般方法，并在寻找一般方法的过程中继续体会分数单位的作用。在这个内容的学习中，设计的第一个活动是学生自己规划研究素材和研究顺序。学生一般把素材分为三类，并按照分数单位×分数单位、真分数×真分数、假分数×假分数的顺序开展研究。

对于先研究分数单位×分数单位，一部分学生并不是从单位重要的角度进行思考的，而是认为这种计算简单，应从简单入手开始研究。此时教师并没有干预，而是通过后续的探索和交流，鼓励学生逐步体会先研究单位×单位的价值。研究完单位×单位如何计算后，再去探索真分数×真分数时，不少学生通过迁移，直接将真分数写成了分数单位乘个数的形式，也有学生通过画图借助意义解决。此时，教师依然不干预，而是抓住契机，鼓励学生探究画图和写成分数单位与单位个数这两种方法之间的联系。学生意识到画图这种方法中最关键的是那一小格，其实就是新的分数单位，有多少个小格正好就是分数单位的个数。

研究完了真分数×真分数后，按照规划研究假分数×假分数，以此确认通法的适用性。同时，对在真分数×真分数的研究过程中，并没有充分体会到计数单位价值的学生来说，假分数×假分数的学习也成为了他们再次感受的契机。

经过实践，我们发现，由于借助画图的方法研究假分数×假分数比较困难，因此更多的学生将假分数写成了分数单位×分数单位个数，再借助推理得到了最终结果。从这个角度来讲，假分数×假分数的解决助力了学生对单位的关注与贯通，加强了学生对一致性的理解。

总之，感悟运算的一致性，重要的是帮助学生体会思考问题的方法，逐步感悟并积累迁移解决新问题的经验。

本单元最后，寻找整数乘法、小数乘法、分数乘法之间的联系，与本文中的实践路径1思路大致相同，这里不再赘述。基于以上的思路，分数乘法单元的整体设计如表2所示。

（此单元的板块4的具体实践见本专辑中的课例3）

以上呈现了小数乘法和分数乘法这两个单元的整体设计思路。当然，在整数乘法中，也要整体设计，帮助学生体会计数单位的作用，不断发展学生一致性思考问题的意识，使其学习如何思考解决问题和迁移解决新问题，落实核心素养的培养。

参考文献：

[1]张丹，于国文.“观念统领”的单元教学：促进学生的理解与迁移[J].课程·教材·教法，2020，40（5）：112-118.