始于推理，明于操作

一、设计思考

“三角形三边关系”这节课研究的是三角形三条边长度之间的关系，它是三角形特征教学中的一项重要内容，人教版教材安排在四年级下册。本课教学主要从以下两个方面开展了新的探索。

根据“两点之间线段最短”这一基本事实进行推理，得出三角形三条边长度之间的关系。

教材安排学生通过操作实验来探索“三角形三边关系”。如人教版教材，要求学生剪出4组不同长度的纸条（如图1，教学实践中，通常由教师直接给学生提供剪好的小棒），通过动手围三角形，发现有的能围成三角形，有的不能。然后聚焦“为什么围不成”，通过交流和讨论，得出当“较短两边之和小于第三边”时，无法围成三角形。在此基础上，揭示三角形三条边长度之间的关系“任意两边之和大于第三边”。

上述教学中，有两个问题常常让老师们感到困惑。一是通过操作实验，学生得出的结论只能是“较短两边之和大于第三边”，离“任意两边之和大于第三边”虽仅一步之遥，但很难跨越。二是对“4、5、9”这组纸条，不少学生通过操作实验会认为能围成三角形，正因“眼见为实”，学生对“两边之和等于第三边”时能不能围成三角形心存疑惑，成为教学难点。

如何解决上述教学中的问题呢？对此，2022年版课标提出了新的教学思路和要求：经历根据“两点间线段最短”的基本事实说明三角形三边关系的过程，形成推理意识。本节课教学中，我尝试基于“两点间线段最短”这一基本事实，引导学生通过推理得出三边关系。教学时，先创设情境，让学生感悟到“两点之间线段最短”；接着引导学生联系这一基本事实，研究三角形三条边长度之间的关系，通过推理得出“任意两边之和大于第三边”这一规律。在这一过程中，培养和发展学生的推理意识。

借助圆规画指定边长的三角形，理解为什么“较短两边之和小于（或等于）第三边”时，不能围成三角形。

在基于“两点之间线段最短”推理得出三边关系后，引导学生判断给出的三条线段能否围成三角形。接着要让学生“眼见为实”，让学生尝试用直尺画出指定边长的三角形，在学生发现“用直尺画指定边长的三角形较为困难”时，教师再引导学生借助圆规来画。这也是2022年版课标的新要求：要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边。最后，让学生画一画“较短两边之和小于（或等于）第三边”的情况，发现都无法找到三角形的第三个顶点（两条弧没有交点，或交点落在原线段上），从而确认不能围成三角形。在这一过程中，借助想象和操作，培养和发展学生的几何直观。

二、教学实践

（一）情境导入，感悟“两点之间线段最短”。

1.课件呈现问题情境：图2中的直线表示一条小河，点A、B表示两个村庄。在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（在黑板上画下图2）

（1）先让学生独立思考、想象，然后指名学生在黑板上画出路程最短的路线。

生：连接A、B之间的线段，在交点处架桥。

（2）教师质疑：一定要在这个交点处架桥吗？往上移一点行不行？为什么？

生：你这样弯折一下，肯定要长一些。

生：虽然点A到桥的距离近了，但点B到桥的距离远了很多。

师：你们的意思是这两条线段之和，比这条线段长。（教师板书：两点之间线段最短）

2.课件呈现现实生活中的例子（如图3），进一步引导学生认识到“两点之间线段最短”。

（1）呈现小明上学的情境，判断“小明上学走哪条路最近”。

（2）呈现小狗吃肉骨头的情境，想一想“小狗看到肉骨头会怎样做”。

通过这个情境让学生明白“两点之间线段最短”这个道理“连小狗都知道”，这是一个“基本事实”（补充板书）。

（二）展开探究，掌握“三角形三边关系”。

1.揭示课题。

师：借助这个基本事实，我们可以来研究三角形的有关知识（板书课题：三角形三条边长度之间的关系）。

2.要求学生任意画一个三角形，并用a、b、c分别表示三条边的长度。

3.课件呈现研究步骤和要求，并组织探究：联系“两点之间线段最短”这一基本事实，研究三条边长度之间的关系。

（1）独立探究后组织开展四人小组交流。

（2）组织全班反馈交流。

生：在我画的这个三角形中，c是最长的边。

师：在所有同学画的三角形中，c都是最长的边吗？（生：不是）看来这不是一个规律。

生：我画的是一个等腰三角形，a和b的长度相等。

师：在所有同学画的三角形中，a和b的长度都相等吗？（生：不是）看来这也不是一个规律。

生：我们发现的规律是三角形较短两条边加起来，比最长的那条边长。

师：你们觉得这是一个规律吗？

生：是一个规律，所有三角形较短两条边加起来，都比最长的那条边长。

师：如果我们把a和b看作较短两条边，为什么能确定（a＋b）一定大于c？

生：因为刚才我们已经知道了“两点之间线段最短”，（a＋b）相当于弯了一下，肯定比直着过去要长。

师：（指着架桥的情境图）如果我们把最长的这条边看作c，根据“两点之间线段最短”，不用测量，就能确定（a＋b）一定大于c。

师：a和b不一定是较短两边，而是任意两边，我们也能确定（a＋b）一定大于c吗？

生：也能确定。因为只要弯了一下，都会比直着走长。

生：两条较短的边加起来都比最长的长了，如果a和b里面有一条是最长的边，那么（a＋b）一定大于c。

教师板书：三角形任意两边之和大于第三边。

4.运用规律。

师：知道了“三角形任意两边之和大于第三边”这个规律，有什么用呢？

课件呈现：判断下面每组中三条线段（如图4，单位：cm）能否围成三角形。

（1）独立思考，判断并思考判断理由。

（2）反馈。

生：8、5、2不能围成三角形，因为5＋2＜8。

生：8、5、3不能围成三角形，因为5＋3＝8。

生：8、5、4能围成三角形，因为5＋4＞8。

生：8、5、4能围成三角形，因为5＋4＞8，5＋8＞4，4＋8＞5。

师：第三组，有同学认为只要写一个算式就能确定能否围成，也有同学认为应该写三个。大家认为该写几个呢？

生5：写一个就够了。只要把较短的两条边加起来，和大于第三条边，就能确定“任意两边之和大于第三边”了。

师：看来，在判断时，我们只要看是不是“较短两边之和＞第三边”（板书）就可以了。

5.画三角形。

（1）师：8、5、4真的能围成三角形吗？你们能把这个三角形画出来吗？

学生尝试画三角形，发现只用刻度尺很难画准确。

（2）反馈。

师：很多同学在画的时候遇到困难了，说说困难是什么。

生：我先画了一条8厘米长的线段，再画一条5厘米长的线段后，发现第三条线段太长了。我往下压了点，发现还是太长了。又往下压了点，发现又太短了。

师：我们来梳理一下这个同学遇到的困难，先画一条8厘米长的线段，这没有困难；再画一条5厘米长的线段，这也没有困难。但将这两条线段的端点连起来形成的第三条线段要正好是4厘米，很不容易。

（3）师：看来只用直尺，要快速、准确地画出指定边长的三角形，有很大困难。你们想到什么好办法了吗？

生：是不是可以用圆规（课前让学生准备了圆规）？

师：对啊！可以借助圆规来画。请大家想一想、试一试。

学生尝试，教师巡视发现多数学生不能想到画法。

（4）师：怎样用圆规画三角形呢？让我们来看一个微课视频，你能看懂画法吗？

播放微课视频，呈现用圆规画指定边长三角形的方法：先画一条8厘米长的线段；接着把圆规两脚间的距离调整为5厘米，画出一条弧；再把圆规两脚间的距离调整为4厘米，画出另一条弧，使两条弧有一个交点；最后连接成一个三角形。

（5）学生练习用圆规画三角形。

（6）引导提问：成功画出三角形后，你们还有什么疑问吗？

生：为什么找到了这两条弧的交点，就能画出三角形呢？

生：因为这个交点与左边端点的距离是5厘米，与右边端点的距离是4厘米。（教师用课件演示支撑学生理解）

（7）用圆规画第一组和第二组线段，思考这两组线段为什么不能围成三角形。

学生先尝试画，画完交流。

生：8、5、2这三条线段，两条弧没有交点，所以不能围成三角形。

生：8、5、3这三条线段，两条弧的交点就在8厘米这条线段上，所以也不能围成三角形。

（三）应用拓展。

1.教师提出问题：8、5、2和8、5、3都不能围成三角形，8、5、4能围成三角形。4换成几，也能围成三角形？长度都取整厘米数。

教师板书：8，5，（ ）。学生独立思考，写出答案后，教师指名口答。

生：5、6、7、8、9、10、11、12，都行。

师：换成13厘米为什么就不行了？

生：因为5＋8＝13。

生：如果用圆规来画，两条弧的交点在13厘米这条线段上了。

2.教师提出问题：4换成5、6、7、8、9、10、11、12后，三角形的形状会发生怎样的变化呢？

学生想象后，教师用课件呈现图5。

（四）课堂总结。

师：我们一起来回顾这节课学了什么（课件依次呈现，如图6）。

师：你有什么收获呢？

生：我知道了“两点之间线段最短”这个基本事实。

生：我知道了“三角形任意两边之和大于第三边”这个规律。

生：我学会了判断一组线段能否围成三角形的方法，只要看较短两边之和是否大于第三边就可以了。

生：我还学会了如何用圆规画指定边长的三角形。

三、课后反思

2022年版课标明确了核心素养的构成，提出要让学生“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”。本节课教学聚焦推理意识和几何直观这两个小学阶段核心素养的主要表现，培养和发展学生的空间观念。

通过教学，引导学生知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论，从而逐步形成推理意识。教学中，教师先创设情境，引导学生感知数学基本事实“两点之间线段最短”，然后组织学生通过观察、讨论、交流，推理得出三角形三条边长度之间的关系。接着引导学生运用三角形的三边关系，判断几组线段能否围成三角形，并准确表述判断的理由，知道判断时只要看“较短两边之和是否大于第三边”。实践证明，这样教学能让学生通过推理得出数学规律，而不是操作。这样教学有助于学生养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，发展推理意识，为形成推理能力打下经验基础。

通过教学，提升学生的几何直观水平。教学中，教师引导学生借助圆规和直尺画出指定边长的三角形，由数到形，数形结合，不但让学生能直观看到三角形的形状、大小，而且让学生深度思考“为什么两条弧的交点”就是三角形的第三个顶点，从而理解用圆规画弧的数学原理，有利于学生把握问题的本质，明晰思维的路径，培养和发展空间观念。在借助圆规画三角形的过程中，让学生进一步理解了为什么较短两边之和小于或等于第三边时，不能围成三角形：两条弧没有交点或交点在第三条线段上，从而更加直观、深刻地理解了三角形三边关系的本质。

（作者单位：浙江嘉兴教育学院）