直面问题，于本质中理解算理

【课前思考】

“分数与除法”是人教版教材五年级下册“分数的意义”单元的教学内容。学生在三年级学习“分数的初步认识”时是从“部分与整体”的关系初步认识分数的，在此基础上，本单元继续引领学生进一步认识和理解分数。本节课作为“分数的意义”的一个部分，意在从除法运算的需求这一角度，让学生初步感悟：分数可以解决整数除法中不能除的问题。日常学习中，常见结合平均分物的具体情境，在解决问题的过程中，引导学生观察发现、沟通关系、归纳概括。学生看似掌握了二者之间的关系，然而，深入分析就会发现学生只是从表面上理解了二者之间的关系，却不知道为什么用分数表示除法运算的商，缺乏本质上的理解。

分数本质上就是一个数，如何帮助学生主动回到分数产生的本源处，理解用分数表示除法运算结果这一知识本质及其合理性，自主建构分数与除法之间的关系，实现对其意义和价值的深刻理解与体会呢？好的学习设计与思考，不仅要思考知识的本质，还要研究学生的认知现状。基于这样的思考，笔者对学生进行了前测，提出：把1个月饼平均分给3人，每人分得多少个？请列式解答。分析前测情况，从学生的答题情况看，主要存在以下两个问题：

问题1：学生不敢列出1÷3的算式（如图1）。

在过往的学习中，学生对于整数除法的经验是大数除以小数，对于小数能否除以大数，多数学生持怀疑的态度。这也是解决在整数除法中有些除法不可施行这一问题的关键之处，是冲击学生固有思维的地方。

问题2：学生不敢把分数作为除法运算的结果（如图2）。

在学生的已有认知里，除法是要算出结果的，除法的商用整数或者小数来表示，分数虽然是一个数，但是不能作为运算的结果存在。所以，宁可满头大汗地写满整张纸，也不敢用分数表示商。

从前测可以发现，学生对分数与除法的认知是比较片面的，不能或不敢将分数与除法运算的结果建立起联系。如何从分数的意义和除法运算的角度出发，让学生主动沟通两者之间的关系，明确分数可以表示除法运算的商，知道怎样用分数表示除法运算的商，从本质处真正理解分数的意义，是本节课需要厘清的关键，也是学生学习的重点。

【教学目标】

1.结合具体情境，理解整数除法与分数的关系，会用分数表示两数相除的商，理解分数表示商的算理。

2.经历提出问题、解决问题的探究过程，培养说理能力，提升运算能力、推理意识。

3.主动参与数学学习活动，在解决问题的过程中，体验成功的乐趣，感受数学的价值。

【教学过程】

一、直面困惑，提出问题

口算：8÷4，1÷4。

师：有困难的请举手。先把掌声送给诚实又勇敢的孩子，你们遇到了什么困难？

生：怎么会有小的数除以大的？

生：被除数比除数还要小，怎么除？

师：会算的请汇报结果。

生：（绝大部分）0.25。

生：0……1。

生：1/4个。

师：对于“1/4个”你们有什么想问他的呢？

生：怎么可以用分数呢？

生：怎么会除出分数呢？

生：这个答案对吗？

二、经历过程，探究推理

1.初步探究。

师：我们先研究“1÷4”的商等于1/4有没有道理。

（1）独立思考。

师：有的小朋友已经有答案了，有的还在思考，我为大家准备好学习单了，把你的想法写一写。

（2）小组交流。

师：有想法的请举手。好，手放下来，把你的想法在四人小组里说一说。

（3）对话交流。

生：我们把这个圆当作月饼，然后把这个月饼平均分成4份，每个人就能拿到其中的1份，所以答案是1/4个。

（4）回顾反思。

师：刚才我们遇到了什么困难？怎么解决的？有什么收获？为什么一开始没想到用分数表示结果？

2.深入探究。

师：（出示：3÷4）现在是把几个月饼分给几个人呢？每人得到多少个呢？

学生经历独立思考和小组交流后，把想法写在学习单上。

生：我们把这个圆当作月饼，把每个月饼平均分成4份，总共12份，每个人就能拿到这个月饼中的3份，所以答案是3/4。

师：他们说的有没有道理？掌声送给他们。

生：我的想法是有3个月饼，第1个平均分成4份，那么每个人只能分到1份，也就是分到第1个饼的1/4，然后第2个也平均分成4份，每个人分到的也是1/4，第3个是一样的。所以加起来是3/4，3÷4等于3/4。大家有什么疑问或补充吗？

生：我觉得除了可以用1个1个地分，也可以把3个月饼全部叠起来，然后一次切成4份，每人得到1份。因为它是3层，1层1份就是1/4，1/4加1/4加1/4等于3/4，大家同意吗？

师：谢谢你们。不管是1个1个地分，每人先拿到1个1/4，然后是2个1/4、3个1/4，还是那个同学把3个叠起来分，每人都是拿到几个1/4？

生：3个1/4。

师：所以，他们的分法不同，但是都得到3个1/4。

3.抽象推理。

师：11÷17呢？能不能做到不画图，把你的想法说给大家听？

生：这里有11瓶水，大家想象一下。然后每个人有1个杯子。第1瓶分出1/17给每个人，第2瓶也同样操作，一直到第11瓶水也这样操作。那么我们就有11个1/17，就是11/17。大家听明白了吗？（全班掌声）

4.深化算理。

（1）互相举例，巩固算理。

师：举个例子，然后想一想答案和道理，再来考一考你的同桌。

师：老师好奇的是你们到底举了什么例子来考你的同桌。

生：999÷1011等于几？

师：我悄悄问一下，你被你的同桌难住了吗？

生：没有。

师：请听他讲道理好不好？来吧。

生：一共有1011个人要分999张饼，第1个人第1次可以分到1/1011张饼，第2次也是这样……一共可以得到999张这样的小饼，999个1/1011，就是999/1011。

师：掌声送给会讲道理的你们。

（2）变式理解，深化算理。

师：你们猜，如果是我，我会怎么考我的同桌？想知道吗？（板书：4÷3）不着急，把你们的想法记录在学习单上。

学生独立完成。

师：有自己想法的举起手。好，把你的想法先在四人小组里进行交流。

生：也是4张饼，将第1张饼平均分成3份，然后1份给A，1份给B，1份给C。然后第2张饼也是这样，第3张饼也是分别给A、B、C，第4张饼也是。所以，每个人是1/3加上1/3，再加1/3，再加1/3，等于4/3。所以每个人可以吃到4/3张饼（如图3）。

生：我们的情况是第1张饼分给了A，第2张饼分给了B，第3张饼分给了C，那他们每人都有1张了，然后加上第4张饼每人分到的1/3，就是1加上1/3，这种方法也可以。

生：我感觉可以改成1又1/3，因为每个人都有1整张，然后1张饼中又有3份，就是1又1/3。

师：真好，掌声送给他们，特别棒！你们知道1又1/3是什么分数吗？

生：带分数。

三、反思抽象，建立模型

1.自主建构。

师：现在大家回过头再看看这些例子。你有发现吗？把你的发现悄悄跟同桌说一下。

同桌之间交流。

师：谁来说说你们的发现？

生：我们发现了，如果是小的数除以大的数，可以用被除数做分子，除数做分母；如果是大的数除以小的数，也是被除数做分子，除数做分母。

生：我有补充，就是大的数除以小的数也可以用二年级时学过的方法得出它的商，余数也得出来，然后得出来的余数再除以除数，再把两部分加起来。

师：大家能听懂吗？（生：懂）举例说一说。

生：比如7÷4=1……3，3÷4=3/4，7÷4就等于1又3/4，也就是7/4。

师：太了不起了！如果被除数为a，除数为b，b不等于0，那么想一想：a÷b等于什么？

生：等于a/b。因为有a张大饼，平均分给b个人，每个人分到a个1/b，也就是a×1/b=a/b（如图4）。

师：同意吗？掌声送给会思考的小朋友。

2.总结反思。

师：通过这节课的学习，你有什么感受想和大家分享吗？

生：通过这节课，我学到了除法的商可以用分数来表示。

生：我知道为什么在除法算式里面被除数是分子，除数是分母。

师：他知道里面的道理，对吧？掌声送给他。

生：我还知道，除法的商有两种情况：一种是用带分数表示，另一种是用刚才说的分数表示。

【课后思考】

一、直击困惑，让意义得以丰厚

学生作为课堂学习的主体，其已有的认知起点和认知困惑，是学习真实发生的基本条件。因此，在执教“分数与除法”之前，我们首要的是读懂学情，明白学生已有哪些认知经验，会有哪些困惑。基于学情，在教学“较小数除以较大数”的口算中，使学生直面原有的经验局限，暴露真困惑，直击认知疑难：1÷4可以等于1/4吗？从课堂实施情况，可以清楚地看到学生对这个问题存在很大的障碍。但从学生静下来认真思考的样子，亦可见学生基于问题、基于认知冲突积极探究与求知的执着。比较长时间的独立思考后，学生开始尝试借助生活中的例子来解释除法算式，并通过画图说理等方式，说明“1÷4=1/4”的道理。在这一过程中，学生经历数学的观察与思考。随着说理的逐步深入，逐步厘清并能用数学的方式表达分数与除法之间的关系，明确可以用分数表示商的道理，从而深入到知识的内里，从数学内部发展的需求，于不同角度丰厚对分数意义的理解。

二、直面挑战，让素养自然生长

要促进学生素养的发展，教师就要相信学生，相信每一个学生与生俱来的好奇心与探究精神，相信学生能通过观察、思考、表达等学习过程，在原有基础上自主获得新的生长。

这节课的学习，不仅关注学生的短期需求，更关注学生的长远需求，将知识的探究作为学生学习的载体，使学生从“1÷4”，到“3÷4”，再到“a÷b（b≠0）”，不断挑战自己原有的认知，创造性地思考解决问题的途径与策略。在这样的学习与建构中，教师给予充分的等待与信任，使学生有机会通过大量的独立思考与交流协作，在数学的推理中，发展对知识的理解。其间，所形成的运算能力与推理意识不是人为训练出来的，而是学生基于知识的复杂性自主建构，逐步生长起来的。

（作者单位：福建省教研室）