关联沟通促进迁移 感悟本质提升能力

我们在让学生理解整数、分数、小数意义的同时，还要十分重视理解整数、分数、小数基于计数单位表达的一致性。因为数的发展过程就是计数单位的发展过程，而认识数的关键是理解数的建构方法，计数活动的本质就是创造计数单位，它是进位制的核心。下面就以“小数的意义”教学过程为例，来具体谈谈我们在“数的认识”教学中的一些思考。

一、感悟意义，引入小数

师：同学们，今天我们继续来认识数。到现在为止，我们已经认识了哪些数呢？

生：整数。

师：我们现在学习的整数也叫作自然数（板书：自然数）。

生：分数。

师：三年级的时候我们已经初步认识了分数（板书：分数），还有吗？

生：小数。

师：是的，我们还认识了小数（板书：小数）。

师：著名数学家华罗庚爷爷说过“数源于数”，意思就是：数都是数出来的。我们今天就一起来数数。

师：先来数一数自然数（出示：5个五角星）。这里有几个五角星？你是怎么数的？

生：有5个五角星，我是一个一个数出来的。

师：是的，一个一个数，5个一就是5。

师：［出示：5捆小棒（每捆10根）］那么这里一共有几根小棒？你又是怎么数的？

生：十个十个地数，有5个十就是50。

（全体学生再一起数一次）

师：是的，5个十就是50。

师：自然数除了可以一个一个地数、十个十个地数，还可以怎么数呢？

生：还可以一百一百地数、一千一千地数……

师：那么，数数的时候，这里的一、十、百、千（板书：千、百、十、一）等我们都叫它们什么，你们知道吗？

生：叫作计数单位。

师：是的，这些都是我们已经学过的自然数的计数单位，那么有没有最大的计数单位呢？

生：没有最大的计数单位，还有更大的计数单位。

师：你能再说一个吗？

生：“万”也是计数单位。

师：是的。

（完善板书：在“千、百、十、一”前面加上“计数单位：……”）

师：刚才我们是对自然数进行数数，那么分数又该怎么数呢？（出示图1）数一数，黄色部分可以用哪个分数表示？

生：可以用5/8来表示。因为1个1/8、1个1/8地数，有5个。

师：是的，5个1/8就是5/8，我们一起再来数一数。

师：分数的计数单位可以是1/8、还可以是1/2、1/3、1/5……所以分数的单位我们可以概括为几分之一，关于分数单位我们在后面会继续学习到。

师：大家仔细观察，5个一、5个十和5个1/8，有什么一样和不一样的地方呢？

生：它们的个数是一样的，计数单位不一样。

师：说得太好了，那么今天我们学习“小数的意义”的时候，小数又该怎么数？大家对小数还想研究什么呢？

【评析】“数的认识”教学，无论是整数、小数还是分数，都是以计数单位为核心概念串联起数的意义、组成、读写、大小比较等具体概念。教师教学时能够从整体教学的原理出发，科学地将分散的、单一的具体概念进行有效的关联和沟通，让学生直观地感悟到数概念表达的“一致性”。本课从自然数的数数内容引入，再回顾分数的计数方法，通过“5个一”“5个十”“5个[18]”等具体数数过程的经历和体验，既为新知的学习做好了铺垫，也为知识和方法的迁移做了有效的准备。

二、借助直观，理解含义

生：我想知道小数的计数单位是什么，小数要怎么数。

生：我还想知道小数是怎样产生的，为什么要有小数。

师：是啊，已经有了自然数和分数，为什么还要有小数呢？谁能解答他的疑惑？

生：有时候我们去量桌子，如果不是一个整数，那就可以用小数来表示。

师：是的，进行测量和计算时，不能得到整数的结果，就可以用小数来表示。

生：买东西的时候不是整数元，也可以用小数来表示。

生：在计算的时候，比如5÷2不能有余数，就可以用2.5来表示。

师：在计算中不能得到整数的结果，我们就可以用小数来表示。

师：除了小数产生的原因，还想知道什么呢？

生：小数到底有什么意义？

生：小数与分数有联系吗？

师：大家有很多关于小数的问题想解决，问题也提得很好！今天这节课，我们就主要对“小数的计数单位”和“小数怎么数”这两个问题来展开研究。

师：（出示图2）这条线段表示0到100，你能数一数，找到这个点表示几吗？

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生：10、20、30、40、50、60，所以这个点表示的数是60。

师：刚才某某同学是几个几个数的呢？（十个十个地数）……我们也一起来数一数。

师（生）：10、20、30、40、50、60（教师边和学生一起数边在投影上呈现10到60）。

师：这条线段表示100，把它平均分成了10份，每份是几？

生：10。

师：有了单位和格子，数数就变得很容易了，如果没有格子，又该怎么数呢？（老师又在0和10之间点了一个点，如图3）它代表的数是多少呢？你还能很快地数出来吗？

生：可以先把它平均分成10份，每份是1。1、2、3、我数出来就是3。

师：如果老师再在0和1之间找个点，你们还能用自然数来表示吗？

生：要用小数或者分数来表示。

师：（如图4）这两个点又可以用分数或小数表示吗？老师准备了学习单，先请一位同学来读一读学习单，带着这个问题，边思考边自己独立地来分一分、数一数。

（学生先独立完成学习单，再与同桌说说自己的想法，最后师生互动交流）

师：哪两位同学愿意把你们的想法告诉大家？

生：我们是把1个一平均分成10份，第一个点是1/10，用小数表示是0.1。

生：第二个点是3/10，用小数表示是0.3。

师：谁对他们的发言有疑问？

生：为什么要平均分成10份呢？

生：以前我们学习数数的时候，知道相邻两个计数单位间的进率都是10，所以我们这次也把1平均分成10份，每份就是1/10，写成小数是0.1。

师：是的，每相邻两个计数单位间的进率都是10，这是“十进制”的计数方法（板书：十进制），现在老师也有一个问题：你们是怎样数出来的？能否清楚地数给大家看看？

生：（指着平均分成10等份后的线段）0.1、0.2、0.3……0.9。

师：我们一起来看：把0～1这条线段平均分成10份，每份是它的1/10，用小数表示是0.1。小数也是可以数的，我们一起来数：0.1、0.2、0.3，表示3个1/10，就是3/10，记作0.3。1/10（0.1）就是小数的计数单位。

师：（在线段上出现另外一个红点）那这个点，谁能数出来？

生：这个点是5个[110]，就是[510]，用小数表示是0.5。

师：我们用0.1这个计数单位一起来数一数……

师：那么这个点用小数又是怎么数出来的呢？

生：0.1、0.2……0.8。

师：如果用分数表示是多少呢？（如图5）

生：是8个1/10，就是8/10，0.8就是8/10。

师：最后一个点用分数表示是多少？为什么？

生：这个点是10个1/10，用分数表示是10/10，就等于1。

师：是的，我们在学习小数时，能够与分数联系起来。其实在数数的时候，也可以把自然数和小数联系起来，（出示：计数器）在计数器上这个1该怎么表示呢？谁来拨一拨？

（学生在个位上拨上1个珠子表示）

师：那0.1呢？又在哪里呢？

生：要把1平均分成10份，再加一个数位，在个位的右边，表示1个0.1。

师：（展示补充有十分位的计数器）是的，“一”往左边是依次扩大至原来的10倍，往右边是依次缩小到原来的1/10，所以个位的右边出现了十分位，在十分位上拨1个就是1/10，记作0.1。现在0.1在哪里呢？谁来拨一拨？

（学生在十分位上拨1个珠子）

师：如果想表示0.6和0.9，谁还能来拨珠子表示？

（学生在十分位上分别拨6个和9个珠子）

师：0.6里面有几个0.1？0.9里面有几个0.1？

生：0.6里面有6个0.1，0.9里面有9个0.1。

……

【评析】小数意义的教学重点在于位值制。按照“逢十进一”和“退一作十”的规则建构出来的小数，可以和整数一起构成完整的位值制系统，这正是小数的意义和核心所在。其中，按同样的规则（十进制）来建构小数非常重要，凸显了知识的本质。正因为如此，在本课教学的过程中，教师十分重视发挥自然数计数单位的类比作用和分数意义的媒介过渡作用，有效地迁移到小数计数单位的认识中，让学生再次感悟数概念的本质特征。在学习过程中，以线段等分的几何直观方法，沟通小数与十进分数之间的内在联系，把小数的意义建立在十进分数的基础之上，使学生在与分数的联系中初步理解一位小数的意义。再通过计数器的直观演示，学生的独立思考和操作、同桌的合作和交流以及师生之间的互动等不同的学习方式，促进学生在思维结构中初步建立起相应的图式，形成相应小数的直观表象，让学生真正经历由具体的数量到数、由整数到分数再到小数的形成过程，逐步理解了小数的建构方法。这个过程既是数学知识的发生、发展过程，也是数学化的过程。学生经历了这个过程，才能够体会到数学知识的本源性和一致性。

三、对比归纳，有效迁移

师：老师把这个珠子再往右移动一位，它表示什么数？

生：表示1个1/100。

师：谁来说说这个1/100表示的含义？

生：我把这条线段平均分成100份，每份是1/100，就是0.01。

师：现在我们看着线段图来数一数这些箭头所指的点表示的数各是多少。（在图6上出现表示0.06、0.32、0.49、0.77的红点）

生：这个点表示0.06，是1个0.01、1个0.01数出来的。

生：接下来这个点表示0.32。

师：说一说你是怎么数出来的。

生：我先数大格0.1，3个0.1是0.3，再数小格0.01，2个0.01是0.02，合起来是0.32。

师：所以我们可以说0.32是由3个0.1和2个0.01组成的。

师：刚才是分开来数的，现在能不能一起数呢？

生：把1平均分成100份，每个小格是0.01，32个小格数了32次，就是0.32。

师：所以我们还可以说0.32是由32个0.01组成的。

生：后面这个点可以用简便的方法来数，先数5个0.1是0.5，再去掉1个小格0.01，就是0.49啦。

师：说得真好！这样找既正确又快。还有最后一个点表示的数又是什么呢？

生：这个点在0.7和0.8之间，最中间是0.75，那么再数2小格就是0.77啦。

师：这个0.77里的两个“7”表示的意思一样吗？

生：左边的“7”表示7个0.1，右边的7表示7个0.01，它们的计数单位不一样。（如图7）

师：观察比较上、下两行小数，你们又会有什么发现呢？

生：上面一行小数的小数点后面都有两个数字，下面一行小数的小数点后面都只有一个数字。

生：上面一行小数都表示百分之几，下面一行小数都表示十分之几。

师：我们把小数点后面只有一个数字的小数叫作一位小数，一位小数表示十分之几；小数点后面有两个数字的小数叫作两位小数，两位小数表示百分之几。

师：大家想一想，0.01是小数里的最小计数单位吗？

生：可以把0到1平均分成1000份，每份就是1/1000，用小数表示就是0.001。（如图8）

师：其中的5份用小数表示是多少？

生：5份是5个0.001，就是0.005。

生：还可以把1平均分成10000份、100000份等，所以没有最小的计数单位。

师：我们来观察这些计数单位，你认为哪个单位最重要？

生：一。

师：是的，“一”往左依次扩大到原来的10倍分别是“十”“百”“千”……没有尽头；“一”往右是缩小，缩小到原来的[110]是“0.1”，继续缩小到它的[1100]是“0.01”……也没有尽头。

【评析】小数的计数单位、位值和进率是学习小数意义的重点，这和整数意义的本质是一致的。而建立小数和整数之间的联系，就要以计数单位为核心要素来统领数的概念，从多角度认识和理解数概念，感悟“计数单位”的意义。本教学环节中，教师通过让学生进行比较，去感悟分母是10、100、1000……的分数都可以用小数来表示；通过归纳，知道一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……通过对“一”的十等分、一百等分等，出现了小数的计数单位0.1、0.01……让学生看到了“一”这个核心单位，从而明白：小数计数单位是整数计数单位的自然延伸，小数的产生是自然而然的，并且感悟到用更小的计数单位可以进行更精确的表示，同时渗透无限的数学思想，从而建立起数的整体结构。小数的学习就是细分单位，而细分单位就是为了精准表达，这也正是小数学习的意义所在。

四、简单应用，巩固拓展

师：学到现在，同学们已经对小数有了进一步的认识，知道了小数的计数单位有[110]、[1100]、[11000]……可以写作0.1、0.01、0.001……还知道了每相邻两个计数单位之间的进率是十，下面我们就来练习一下，看看大家是不是都掌握了。

（一）看一看、填一填、说一说。（如图9）

分数：（ ）（ ）

小数：（ ）（ ）

（二）想一想、涂一涂、比一比。（如图10）

（学生独立完成后，师生进行互动交流）

师：（画面配音）同学们，你们知道吗？小数是我国最早提出和使用的。在公元3世纪，我国数学家刘徽就提出把整数个位以下无法标出名称的部分称为微数。到了公元13世纪，我国数学家朱世杰提出了小数这个名称。

师：在我们的生活中你还见过哪些小数？举例说一说。（略）

师：老师也带来三个生活中的小数（出示画面，略），谁来读一读？

生：手机芯片中晶体管的宽度只有5纳米，也就是0.000005毫米；地球绕太阳一周的时间约是365.2425天；新冠病毒的直径为0.00006～0.00014毫米。

师：是呀，在我们的生活和工作中，到处都有小数的应用，希望同学们都能够认真学好小数，用好小数，增强建设祖国的本领……

【评析】数概念的理解在于理解数的意义，学生要经历由数量到数的抽象过程，数是对多少个单位的表达。本环节的教学过程遵循“具体—抽象—具体”的认知规律，要使学生真正理解小数的意义，需要转换新的环境，用抽象的小数去解释具体的事物，解读小数在实际生活中的具体意义，感悟数的一致性。

总之，在本节课的学习过程中，教师努力引导学生基于计数单位这一“大概念”探究与建构小数的概念，重点从小数计数单位的产生及累加展开探索。先让学生进行有效的操作活动，亲身体验小数与分数等知识的联系，再引导学生经历小数意义的数学化过程，最后用迁移、类比的方法组织建立起含有小数的现实原型、小数意义的抽象过程等具有丰富内涵的小数概念。在整个教学过程中教师由扶到放，在处理一位小数、两位小数和三位小数时，没有平均使用力量，而是把重点放在一位小数的探究上，通过观察、猜想、对比等一系列活动，逐步完善进而归纳出小数的意义。在此基础上，由此及彼，迁移、类推出两、三位小数的意义。归纳小数意义时，在学生多层面、多角度丰富感知的基础上，渗透抽象化的方法，使学生比较顺利地从直观思维过渡到抽象思维，达到2022年版课标提出的“理解小数意义”“感悟计数单位”“提升学生素养”的目标要求。

（作者单位：浙江舟山教育学院，舟山绿城育华学校）