数学化：学习路径教学研究的新视角

数学课程要培养的学生核心素养，被概括为“三会”（会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界），其实质上就是学生历经数学化活动之后所积淀和升华的产物［1］。核心素养导向下的教学，要让学生学习有深度、思维有进阶，必然离不开有层次的数学化活动。因此，教学的关键问题是如何发展学生数学化的本领［2］。

学习路径一般指的是一种对学生在学习活动中的理解与思维表现的预测，其包含学习目标、学习活动和假定的学习过程三个方面内容［3］。课堂教学实质上是教师对假设的学习路径进行实施和调整的过程。为课堂教学服务的学习路径研究，需要关注学生在某个数学内容上的数学化思维特征与过程的表现。其研究成果对核心素养导向的教学，会产生更强的实践指导价值，既有利于学生的核心素养发展，也有利于教师的专业成长，因此越来越受一线教师青睐。本文将阐述数学化思想对学习路径研究的启示和实践策略，以期对学习路径的实践研究提供新的视角。

一、学习路径研究的数学化思想依据

人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理、组织，以发现其规律，这个过程就是数学化［4］。其具体表现可以有图式化、模型化、形式化、算法化、抽象化、直观化、公理化等多个方面的表现，并且不限于此［2］。人们从现实事物与活动中抽象出数学概念和命题就是数学化；数学家对数学概念和命题进行纯数学的深化研究也是数学化；整理众多的数学发现，既而形成完备的数学理论还是数学化。概而言之，用数学方法把实际材料组织起来进行有层次的加工都是在进行数学化。

（一）数学知识是常识数学化的结果。

现代数学领域里的知识是被符号化了的演绎体系，是数学化的结果。结构化的数学知识体系不过是人们把不同层面的常识用数学的方式再组织、系统化的结果。学校里的学习本质上是“有指导的再创造”的过程，数学教学更应该教会学生“用数学化的方式再创造”现成的知识。一般性常识源于儿童的生活经验，经过提炼和组织，而凝聚成一定的概念和法则。这些原初的概念和法则在构建更高层次的数学概念和法则中又成为新知的底座，再一次被提炼、组织，而凝练成新的概念和法则，如此不断螺旋上升。比如，在认识空间的活动中，位置被抽象为点，连接位置的路径被抽象为线段（或一般曲线）；方向的变化程度被抽象为角及其大小，物体形状或轮廓的模式被概括为一些基本图形的组成，图形便可视为点的轨迹，图形的边、角、位置和大小关系决定了图形的样式；比较图形所在区域的大小，又产生了面积和体积的概念，类比于数数的经验，小图形作为计数单位去度量面积或体积，更进一步把度量经验算法化，就得到了相应的计算公式……而把已发现的数学知识采用公理化方式加以整理，就让数学成为一个有逻辑的、相对完备的知识系统。直到今天，数学的发展也仍然保有这一传统，即在原有认知经验的基础上，基于探究问题的提出和解决，进一步抽象出新的数学对象和关系，并发展出新观念。弗赖登塔尔主张，学生应该从数学化的各个方面来学习数学，教师要从数学化的各个方面指导学生再创造知识，包括再创造数学化本身［5］。可以说，没有数学化就没有数学的产生与发展，学会数学化是学习数学的方法论要义。

（二）课程内蕴的数学化层次。

孤立地学习某个知识没有太大的意义，且很容易被遗忘，课程设计和实施的过程也要体现数学化的层次性。首先，对非数学内容进行数学化，其体现了独到的数学眼光；其次，对数学内容本身做局部的组织，其体现了富于逻辑的数学思维；最后，做整体的组织，其体现数学思想的一致性和发展性，以及数学语言的抽象性。数学化也可以从水平化和垂直化两个维度来看待。前者让学生从生活世界走向符号世界，后者让符号语言在数学范畴中继续重组。在学习特定的主题内容时，这两个维度也常常是缠绕在一起、难以割裂的，前述每个层次的数学化也内蕴了这两个方面的内容。此外，对已经得到的概念、模型、技巧和思想方法做进一步的理解和反思，也应视为各个层次数学化的一部分。

以小学阶段面积主题学习为例，其数学化路径如图1所示：第一层次（进阶一）是类比长度的概念，将量化思想作用于对二维图形大小的描述，其问题解决策略为从感官比较上升到使用计数策略做判断；第二层次（进阶二至四）是在计数经验的基础上通过归纳和类比发现规则图形的算法模式，其反映了图形的基本要素（一维量）如何决定面积，进一步符号化为公式表达，其问题解决策略是从“数”到“算”；第三层次（进阶五）是从“以直代曲”做近似的类比计算到极限思想的运用，以圆面积探究为例，初步体会无限分割后面积的极限值，将面积计算公式中的“近似”观念提升为“相等”的观念。

（三）特定数学模型的数学化路径。

问题是数学的心脏，知识是问题探究和解决后的自然产物。杜威把知识看作通过操作把有问题的情境改变成解决了问题情境的结果。把个案问题解决的经验一般化，以获得普遍的模型或模式，是数学化的内在价值追求。

从对特定问题解决一般化的过程来看，问题解决又表现为以下四个层次：1.情境层次。只是就事论事，利用非正式知识和直观感受的策略解决问题。例如，在正式学习乘法前，在点阵式排队情境中，学生利用连续数数或分段累计的经验解决计数问题。2.指涉层次。涉及利用具体数学模型去代表情境中的数学对象及其关系。例如，通过前述情境，发现做等组计数——对于m行n列，每行数n连续加m次（或者每列数m连续加n次）的便利，认识到相同数累加的现实模型，其总数可以简化表示为行数和列数乘法算法（乘数位置可交换）。3.普遍层次。能够利用模型本身的数学关系来处理问题及其同类型的一般化问题。例如，对于多个涉及等组模型的计数问题，能自觉地采用乘法算法来获得总数。4.形式层次。容许学习者超越当前问题情境，对其一般意义上的、形式化的数学方法进行纯粹思维、反思及欣赏活动。例如，随着学习的深入，认识到用乘法模型可以统一地表示现实情境中的等组模型、面积模型、倍比模型、组合模型等数量关系；当三个量表示为乘法关系（数量关系）时，总是可以根据乘法关系，利用已知的两个数量去求另一个数量。

也有学者提出完整的数学化活动应包含现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化三个阶段［6］。这些观点为在微观层面（对某个特定内容的学习）开展基于数学化的学习路径研究，提供了有力的理论指导。

二、数学化视角下学习路径设计研究方案

理解数学的层次性，以及跨越层次的数学化方法，内蕴了学习的路径。综合当前国内外学习路径研究的不同视角［7］，我们认为研究学习路径，需要关注对学生在某个数学内容上的数学化思维特征与过程的描述，即围绕特定主题的数学内容，基于学习目标达成，教师为支持学生对学习材料进行有层次的数学化，而展开的一系列活动所形成的假定路线。它的主要构成要素包括思维进阶（包含认知目标的起点、终点及关键节点）、学习任务、指导手段等，它是多条线索的有机整合。

开发特定数学内容的学习路径是一项工程，需要运用工程思维。工程思维的核心是以了解、设计和测试所形成的高效迭代思考为闭环，中间又要辅以实证、遴选等方法。经过三年多的实践研究，我们初步形成了一套便于操作的行动研究方案，可以在课例和单元整体教学层面开展学习路径的研究。（如图2）

（一）学习路径设计的预备：分析数学理解进阶。

教师在备课时，预设的学习路径离不开自身对特定主题或题材的数学理解。教师基于儿童立场，在选择或设置承载一定知识目标的丰富且有趣的题材或活动9QebV3Z1yBiskBGBY8xCBYu8hRB+dFD7FyI3U3RCA3I=时，需要有“将要教的内容作为一种数学化活动来分析”（弗赖登塔尔语）的意识。特别是要整体把握其发生、发展脉络，以及思维进阶的层次性，即针对特定数学内容，连接学生现有学习基础和潜在的学习目标，建构思维晋升序列。它体现了数学化过程的阶段性成果，其外化并构成结构化的知识链或知识网，体现了相应题材所关联的知识。由此，也能更好地发掘该题材的育人价值。比如，从前述面积的数学化层次，可知其公式教学的价值在于：1.反映了图形的性质与要素之间的位置关系，表现为某种确定的数量关系；2.探究公式是实验、观察、推理、归纳的过程与结果；3.感悟转化的思想，发展几何推理能力。在此基础上，教师也能更好地、有针对性地开展学情分析，研判适切的学习起点和目标。

（二）预设教学路线：把握三条主线的一致性。

整体设计教学路线要把握三个策略：1.围绕主题梳理知识链的发展形态，可视化为知识的“发展蓝图”，体现了群体的相对认知共识；2.确定学生要做的任务链条，其逻辑关系由数学化的层次性决定，体现情境中个体行为差异化表现的活动载体；3.拟定需要思考的问题链，提供“专家思维”脚手架，体现个体认知与社会交互的思维过程。在内容分析基础上，可视化知识图谱也就水到渠成了。学习任务是数学化的载体，是需要学生个体或集体合作完成的一些关键任务链；任务链是学生要做的事，它蕴含了知识发展的逻辑顺序，以及时间上的操作顺序，低阶任务的成果将成为高阶任务的数学化对象。在大多数情况下学生难以自主实现高阶的数学化活动，故而需要教师的支持，特别是一些关键的启发性或反思性问题链。这些问题链，是学生进行数学化的外在驱动力，在某种程度上扮演着“像数学家那样”围绕驱动任务而开展自我对话的功能。

（三）学习路径的实施与迭代：指导学生经历再创造过程。

实施课程的教师，不再只是知识的传授者，而是教学活动的组织者，学习过程的评估者、合作者和引领者。一方面他们有能力自发地开展数学化，另一方面则希望教师能给出某种示范。前者让创造力得以释放，后者让求知欲得以满足。在这种跨越层次的活动中，学生学习如何数学化，或者说如何“做数学”。因此，需要教师帮助学生顺利推进任务并适时介入，引导学生对材料持续数学化，必要时演示如何回应那些伴随任务的问题链，教师的“示范性”也正在于此。伴随学生拾级而上完成任务，学习的成就感也就流淌出来。此外，要尊重每一个学生的真实表达，每个子任务的完成也可能体现了不同形式的数学化，要弱化对与错的简单判断，强调“好”和“更好”的比较，让学生认识到数学探索是一个不断深化、优化认识的过程。还应该鼓励学生分享遇到的困难和克服困难的办法，以及收获理解的成就感。相应的关键反思性问题可以是：“如何获得猜想（发现）？哪种表达更好理解？是否可用图形直观表示？今天学习的内容（或方法）和过去学习的哪些内容（或方法）有关联或者接近？数学学习意味着什么？”以此帮助学生发展正确的元认知，以及良好的数学观、学习观，真切体悟到数学学习的真味、趣味和人情味。

总之，教师需要针对特定教学内容或题材，从数学化的角度分析其蕴含的思维进阶，从学习者的角度认识其育人价值，既而调研学情以判定学生真实的学习起点和学习目标；在此基础上，精心设计学生需要做的任务和围绕任务完成需要关联思考的问题（含非纯数学问题），才能促使学生深度参与建构真正属于自己的结构化的知识网络；通过反思，优化教学，引领学生“能做事情”“会想问题”“增进理解”“发展素养”。

参考文献：

[1]孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究，2017（06）：5-11.

[2]彭纲.数学学科核心素养养成的关键在于学会数学化[J].小学教学（数学版），2021（06）：4-8.

[3]Simon M A.Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1995，26（2）： 114-145.

[4]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社，2001：22-23.

[5]弗赖登塔尔.数学教育再探：作为教育任务的数学[M].刘意竹，杨刚，等译.上海：上海教育出版社，1999.

[6]孔凡哲.学会数学化切实提升数学学科素养[J].小学数学教师，2015（06）：19-24.

[7]洛巴托. 学习轨迹与进程的分类系统 [M]//蔡金法.数学教育研究手册.江春莲，等译. 北京：人民教育出版社，2021：78-106.

【本文系北京教育学院2020年重点关注课题“基于数学项目学习的课程综合化实施路径研究”（编号：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者单位：北京教育学院数学教育研究中心）