基于Canonical最小二乘蒙特卡罗法的可转债定价

摘要：区别于传统的最小二乘蒙特卡罗方法，本文利用标的资产收益率生成Canonical风险中性概率计算累计概率分布函数进行抽样，以此生成标的资产价格的蒙特卡罗路径。同时，运用平赌过程适配法对蒙特卡罗模拟进行改进，以提高模型的收敛速度并降低其误差。针对可转债的特殊条款，本文按照市场惯例及逻辑，将回售条款与下修条款结合处理，以提高模型的可行性和运算效率。最后，使用传统的参数化方法进行对比实验。结果表明，本文所设计方法的模拟路径比传统方法更能体现标的资产的运动特性，定价结果优于传统的参数化方法。

关键词：可转债定价 最小二乘蒙特卡罗 Canonical风险中性概率 平赌过程适配法

研究综述

已有研究采用不同方法就可转债定价问题展开分析。蒋殿春、张新（2001）指出，可转债中各个条款是有机结合的，各部分进行估值并加总的方法往往不可行。Longstaff等（2001）利用最小二乘回归法来估计期权持有人继续持有期权的模拟条件预期收益从而得到最小二乘蒙特卡罗估计（LSM）。LSM不仅能充分考虑可转债中不同期权条款之间、期权价值与债券价值之间的相互影响，还能有效克服因步长太短而带来的计算量呈几何级数增加的缺陷。Duan等（1998）在既往研究的基础上进行了简单修改，得到平赌过程适配（Empirical Martingale Simulation，EMS）法。该修改能将鞅属性施加于标的资产价格的模拟路径，保证模拟出来的期权价格满足期权定价边界，并能提高蒙特卡罗模拟的运算效率及降低误差。余喜生（2012）提出了一种去参数化的最小二乘蒙特卡罗法——基于期权价格信息约束矩的Canonical最小二乘蒙特卡罗法。该方法是去参数化、去模型化的，在一定程度上避免了参数估计可能导致的误差，并且其信息是从真实市场中提取的，所以结果也能更贴近当前市场状况，从而克服传统参数化方法的局限性。郑振龙、林海（2004）认为，公司只有在面临回售压力时才会选择下修转股价，且下修后的转股价也仅以使可转债价值略超过回售价格为标准，因为下修转股价会增加投资者行使转股权的概率，从而可能稀释公司原有股东的股权，使其利益受损。钱波玮（2018）则认为，修正后的转股价应在不触发回售条款的基础上尽可能地接近下修条款的触发价，下修条款对可转债的价格及转股概率没有显著影响。

模型设计

（一）生成标的资产价格的路径

不同于传统的参数化方法，本文采用去参数化（或去模型化，model-free）的方法，从市场上观测真实有效信息，利用熵最大化原理，提高风险中性定价测度准确性。

假设可转债到期期限为T，股票现价为S0，在T时点的股票价格为ST。股票收益率的实际概率为π，其等价概率测度为π*，Radon-

Nykodym的导数为。若将问题离散化，则离散时点t时的红利为D（t），时点t到时点t+1的利率为r（t）。则根据Stutzer（1996）可得：

（1）

若股票不分红，即，股票收益率

，易知N个收益率之间彼此独立，即，其中，则对于式（1）有：

（2）

根据Shannon熵最大化原理，可求得风险中性概率：

（3）

其中γ*是拉格朗日乘子，其计算公式如式（4）：

（4）

上述即Canonical风险中性概率。

首先，可以通过上述Canonical风险中性概率，生成股票收益率的累计概率分布函数，同时采用逆变换采样对股票收益率进行随机抽取，即可生成维度为m×n的收益率矩阵Rm×n，其中m为蒙特卡罗模拟的路径数，n为每条路径上的节点数。根据Duan等（1998），为了提高蒙特卡罗模拟的运算效率和降低误差，可以在所生成的标准蒙特卡罗路径上对其施加鞅属性，具体做法为：

（5）

式（5）中为标准蒙特卡罗法模拟出来的第m条路径上第n个节点的股票价格，为经过EMS法处理后的第m条路径上第n个节点的股票价格，令和等于当前时刻股票价格S0。具体来说，首先，可作为n-1时刻到n时刻

的收益率，因此可以用来产生一个在n时刻暂时的股价。其次，将n时刻所有路径上所求得的暂时股价求平均并贴现到当前时刻，称之为。最后，可以通过公式求得经EMS法

处理后的第m条路径上第n个节点的股票价格。

重复上述过程，便可将整个标准蒙特卡罗路径鞅化。如表1所示，与标准蒙特卡罗法相比，EMS法降低了股价的方差，避免了极端情况的产生，有效降低了蒙特卡罗模拟的误差，显著提高了算法的收敛速度，使结果更为准确。

（二）可转债的边界条件分析

在生成蒙特卡罗路径后，需要对各个路径进行处理，以求出可转债价格的理论值。本文按以下顺序进行条款的处理：第一，对所有蒙特卡罗路径进行检查，找出触发回售条款的路径，将这些路径的转股价格进行下修，下修后的转股价格应等于下修条款的触发价。第二，找出并修正触发了回售条款和下修条款的路径。第三，找出触发赎回条款的路径（设共有p条），令其在触发时点以规定转股价进行转股，并将转股价值折回原点。需要注意的是，此时的转股价可能是经过处理的。记第m条触发赎回条款的路径价值为：

（6）

式（6）中F为可转债面值，为第m条路径第n个节点的转股价格，为第m条路径第n个节点的正股价格，且m=1， 2， … ， p。

处理完上述特殊条款后，便只剩下转股条款。设共有q条路径未触发上述特殊条款，对其利用最小二乘蒙特卡罗法即可处理。

使用最小二乘蒙特卡罗法的关键是利用LSM来估计持有人继续持有期权的条件预期收益，并与执行转股后的价值进行比较。若执行转股后的价值大于继续持有可转债的价值，则投资者会选择转股；反之，投资者会选择继续持有可转债。将所有路径的可转债价值贴现到原点，便是除去回售条款、下修条款、赎回条款这三个特殊附加条款的路径后，剩余路径的可转债价值记为：

（7）

其中m=1， 2， … ， q。

在经过对回售条款和下修条款的处理后，m条蒙特卡罗路径可分为两类：一类是触发了赎回条款的路径（共p条），另一类是剩下的可能触发转股条款的路径（共q条），M=p+q。

其中，p条触发了赎回条款的路径价值为， m=1， 2， … ， p；q条可能触发转股条款的路径价值为，m=1， 2， … ， q。因为路径已是风险中性的，所以由蒙特卡罗法的基本原理可知，可转债价值Vcb为：

（8）

实证对比分析

本文选取已在沪深交易所上市、期限小于等于5年、已到期且信用等级为AAA的可转债作为样本，共15只。回售条款、下修条款、赎回条款如表2所示，触发转股条件表示为连续t1个交易日内有t2个交易日正股价格低于转股价的k%。

（一）Canonical最小二乘蒙特卡罗法定价的实证结果

本文实证所选取的期限为各样本可转债自身的期限，即从可转债上市日t=0至到期日t=T，因此以下实证所求理论价值为可转债上市首日价值。本文无风险利率数据从国泰安数据库（CSMAR）获得，针对股票收益率选取的步长τ为1天，各样本股票收益率将在其可转债期限内选取。同时，本文将蒙特卡罗模拟的路径数m选取为1万次。根据式（3）所介绍的Shannon熵最大化原理可求得风险中性概率，其中拉格朗日乘子γ*采取遍历搜寻法求得，通过γ*求得风险中性概率后，便可根据生成其累计概率分布函数，最后，通过逆变换采样法对上述累计概率分布函数进行随机抽取，即可得到一系列满足风险中性要求的股票收益率Ri。由此，第m条路径上第n个节点的股票价格便可求出：

（9）

其中，n=1， 2， … ， N，m=1， 2， … ， M。

各个样本的n如表2（步长τ为1天）所示，m均为1万次。最后，为了提高其运算效率及降低算法误差，再根据式5介绍的EMS法对所生成的蒙特卡罗路径进行改进，改进后价格路径稳定性提高，极值、方差大幅降低，这对计算精度的提高有很大的帮助。因此，下面对边界条件的处理将基于经EMS法调整后的股票价格进行。

第一步：处理下修条款以及回售条款。对所有蒙特卡罗路径进行检查，找出触发回售条款的路径，将这些路径的转股价格进行向下修正，下修后的转股价格应等于下修条款的触发价，即：

（10）

其中，为下修后的转股价格，d为下修边界，根据表2所列示情况，可选择为90%。值得注意的是，一条路径上的转股价可以有多次下修，具体取决于股价的走势。

第二步：处理赎回条款。再次对所有路径进行检查，找出触发赎回条款的路径，设共有p条，并令其在触发时点以对应时点的转股价进行转股，则该路径的价值即为贴现回原点的该时刻转股价值。记第m条触发赎回条款的路径价值为：

，m=1， 2， … ， p

则所有触发赎回条款的路径价值亦即可转债的特殊条款价值为。

第三步：处理转股条款。假设除去上述触发赎回条款的p条路径后共剩下q条路径，利用式（7）、式（8）的最小二乘蒙特卡罗法对其进行处理，即可得到转股条款的价值。记第m条路径的价值为，则可转债的转股条款价值为。根据式（8）可计算首日可转债价值与首日收盘价，二者

对比如表3所示。

从相对误差（以下简称“误差”）可见，使用基于Canonical最小二乘蒙特卡罗法对可转债进行定价较为合理，所选样本的定价平均误差为15.06%，有近半数的样本券定价误差在10%以下，有三分之一的样本券定价误差在5%以下，最小误差只有2.45%，误差超过30%的仅有4个样本，占总样本数的26.67%。

（二）对比实验的定价结果

对比实验将采取参数化方法，假设标的资产价格服从几何布朗运动，其离散形式为：

（11）

其中，μ为标的资产收益率，且在风险中性的假设下μ等于无风险利率；ε为服从标准正态分布的随机数；∆t为间隔时间；σ为标的资产价格的波动率，用于衡量股票收益率的不确定性，由于可转债在上市前正股没有对应的衍生工具，因此无法获得隐含波动率，故根据所选样本正股的历史数据求得波动率σ，带入式（11）生成m=1万条的蒙特卡罗股价模拟路径。

第一步：处理下修条款与回售条款。对所有蒙特卡罗路径进行检查，找出触发回售条款的路径，将这些路径对应时点的转股价格进行下修，并令下修后的转股价格等于下修条款的触发价（见表4）。

第二步：处理赎回条款。再次对所有路径进行检查，找出触发赎回条款的路径，设共有p条，并令其在触发的时点以对应时点的转股价进行转股，则该路径的价值即为贴现回原点的该时刻的转股价值，m表示第m条路径（m=1， 2， …， p）。所有触发赎回条款的路径价值亦即可转债的特殊条款价值为。

第三步：处理转股条款。假设除去上述触发赎回条款的p条路径后共剩下q条路径，利用最小二乘蒙特卡罗法对其处理即可得到转股条款的价值，记第m条路径的价值为，则可转债的转股条款价值为。相关计算结果如表5所示。

（三）两种方法定价结果比较

使用基于参数法的最小二乘蒙特卡罗模拟（以下简称“参数法”）对可转债进行定价的平均误差（17.52%）与使用Canonical最小二乘蒙特卡罗法（以下简称“Canonical法”）进行定价的平均误差（15.06%）相近，但是在模型的稳健性上不如后者：第一，在参数法下，误差小于等于10%的样本有6个，平均误差为6.19%；在Canonical法下，误差小于等于10%的样本有7个，且平均误差为4.25%。第二，在参数法下，误差小于等于15%的样本有7个；在Canonical法下，误差小于等于15%的样本有9个。第三，在参数法下，误差小于等于20%的样本有9个；在Canonical法下，误差小于等于20%的样本有11个。可见，在Canonical法下，低误差的样本数量更多。与此类似，对比表3和表5可知，Canonical法高误差的样本数量并未多于参数法对应的数量。总体来看，Canonical法更为精确与稳定。

使用Canonical法对可转债进行定价的结果优于传统的参数法，原因主要有三点：第一，Canonica法是基于抽取标的资产历史收益率来生成蒙特卡罗路径的，相比简单假设标的资产价格服从几何布朗运动，更能真实体现标的资产价格自身的运动特性。第二，传统参数法需要对参数进行估计，如几何布朗运动中涉及的波动率σ，因此必然要面对参数估计带来的误差等问题； Canonical法则没有这方面的顾虑。第三，参数法必须要假设一些参数化模型，比如假设标的资产价格服从几何布朗运动，这就会面临一些诸如模型设计不准确的问题，如真实标的资产价格是否真的服从几何布朗运动，如果不是则会产生误差；反观Canonical法，没有设置任何参数化模型，从根源上避免了因模型设置偏差而导致的结果偏离。

结论

本文使用Canonical最小二乘蒙特卡罗法为可转债进行定价，区别于传统假设股票价格服从几何布朗运动的参数法，本文创新性地使用真实市场收益率数据生成Canonical风险中性概率，并进一步随机抽样生成符合风险中性的股票价格路径，从而避免了传统方法带来的参数估计误差以及模型设置偏误等问题。并且，利用股票自身的收益率生成股票价格的蒙特卡罗模拟路径，能够更加真实地体现标的资产价格自身的运动特性，从而使定价更为准确。其中，创新性地使用了EMS法对所生成的蒙特卡罗路径进行改进，该过程在所生成的标准蒙特卡罗路径上对其施加鞅属性，显著提高了蒙特卡罗算法的收敛速度并且降低了误差。

参考文献

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