右端不连续免疫对双线性病毒变异模型的影响

李 迅，陶 龙

（1.江苏联合职业技术学院南京卫生分院，江苏 南京 210038；2.皖南医学院公共基础学院，安徽 芜湖 241000）

在人类社会的发展过程中，传染病总是伴随左右，始终威胁着人类的生存［1］。 尽管医疗防治水平已有很大提高，但像由新型冠状病毒、埃博拉病毒和猴痘病毒［2-4］等引起的传染病仍然威胁着各国人民的生命健康安全。

建立传染病模型，进行定性和定量分析，是研究传染病的重要方法。 W. O. Kermack 等［5］建立了SIR 舱室模型，研究了传染病的阈值理论。考虑到病毒在传播过程中会发生变异，A. P. Dobie［6］提出并研究了一类具有病毒突变的SIS 传染病模型，发现当病毒发生变异时会导致一种死亡率很高的疾病发生。G. R. Jiang 等［7］提出了具有脉冲和种群变化的SIS 模型，并研究了其周期解的存在性和稳定性。 李俊［8］研究了病毒自身发生变异的传染病模型

通过引入恰当的Lyapunov 函数证明了模型平衡点的全局渐近稳定性。 在文献［8］基础上，班相函等［9］考虑了时滞对模型的影响，研究了系统的Hopf 分支的时滞临界点，提出了几种控制疾病的方法。以上研究都是建立在连续函数基础上的，而当某种病毒开始传播时，人们尚未发现其危害，不会给予高度关注，但随着时间的推移，人们一旦发现这种病毒的危害，就会立即采取防治措施。 因此，感染者数量总体上是不连续的。

为了精准研究病毒的传播情况， 我们建立了右端不连续的双线性病毒变异模型， 给出了模型的种群基本再生数R0,通过构造Lyapunov 函数和使用LaSalle 不变集证明了R0>1时模型的解将全局渐近收敛于有病平衡点，R0<1时模型的解将全局渐近收敛于无病平衡点，并通过MATLAB 数值仿真验证结论的正确性。

1 模型的建立

以文献［8-9］为基础，建立微分模型

其中，S为易感染者人数，I1为变异前患者人数，I2为变异后患者人数，A为种群的输入率，µ为自然死亡率，β1为变异前患者的传染率，β2为变异后患者的传染率，γ1为变异前患者的康复率，γ2为变异后患者的康复率，ε为变异前的患者向变异之后患者的转化率，以上参数均为正数。

记微分模型的初值为S(0)、I1(0)和I2(0),模型的种群基本再生数

将模型（1）的3 个方程相加，可得

即dNdt=A−µN,其中N=S+I1+I2。

若N>A µ,则有dNdt<0,从而有N(t)

为了得到本文结论，作如下假设。

假设1：h(I1)=ϕ(I1)I1,其中ϕ:(0, +∞) → (0, +∞)是单调递增的分段连续函数，h(I1)仅有可数个孤立的不连续点{pk}。

由于模型（2）中关于dS(t) dt和dI1(t) dt的方程右端是非连续的， 故连续方程的解理论不适用于模型（2）。 因此，我们考虑采用Filippov 解［10］。

对于一类不连续的微分方程，它的Filippov 解定义为

其中，f(t,x)是关于t 和x(t)可测的不连续函数，且局部有界，即f∈(R ×Rn, Rn)。

定义1［11］：对于集值映射K是加在f上的算子，F(t,x)是由f(t,x)构成的集合，若f(t,x)在一点处连续，则F(t,x)构成单点集合，若f(t,x)在一点处不连续，则F(t,x)构成一凸闭包集合。

由定义1 可知，式（3）是存在于凸闭包F(t,x)中的函数，即dxdt∈F(t,x),t∈[0,T)。

由Filippov 解的定义可知，右端不连续微分模型的解是绝对连续的向量函数，即Filippov 解(S(t),I1(t),I2(t))在[0,T)上绝对连续，且满足

2 平衡点的存在唯一性

若假设1 成立，式（4）的平衡点满足微分包含

对于有病平衡点，设(S*,I1*,I2*)是式（4）的有病平衡点，则有

很明显，若(S*,I1*,I2*)是式（8）的平衡点，则存在使得0=β1S*I1*+β2S*I2*− (µ+γ1+ε)I1*−ξ*,其中ξ*是唯一的，且ξ*=β1S*I1*+β2S*I2*−(µ+γ1+ε)I1*∈[ϕ(I1∗)]I1∗。

联立式（7）中的微分方程，可得

令

求函数g(I1)的导数，可得

因为所有参数均为非负数，所以有g′(I1) <0，即g(I1)是单调递减函数， 因此对于无病平衡点，有如下结论。

引理：如果R0>1，那么是式（10）中的唯一正解，并且满足

其中

证明：先证明解的存在性。 因为R0>1,所以有g(0)>ϕ(0) > 0。由于g(I1)是单调递减函数，ϕ(I1)是单调递增函数， 因此g(I1) ≤0成立的充分必要条件是I1满足

由假设1 可知ϕ是单调递增函数，记

则有f≥0。式（11）中的两式相减，两边再同除以I1*−I1**,可得

这与两边相等矛盾，说明假设不成立，因此微分包含（9）有唯一正解。

3 稳定性分析

下面证明模型（2）的平衡点的全局渐近稳定性。

对于有病平衡点(S*,I1*,I2*),由及可知

假设2：若R0>1,则ϕ(I1)在I1*处有一个跳跃间断点，其中I1*是式（10）所确定的唯一正解，且

根据假设2，定义

则有θ> 0。

定理1：若假设1 和假设2 成立，则式（4）满足初值S(0) ≥0,I1(0) ≥0,I2(0) ≥0的所有解全局稳定于有病平衡点E*=(S*,I1*,I2*),且在有限时间内趋于稳定，即当

时，有(S(t),I1(t),I2(t)) =(S*,I1*,I2),其中

构造Lyapunov 函数

其中，α是一个可以确定的正常数，后面将给出其取值范围。

显然V1(x(t),y(t),z(t))是关于(x(t),y(t),z(t))的正则函数。 当(x(t),y(t),z(t)) ≠0时，V1(x(t),y(t),z(t)) >0;当且仅当V1(0,0,0) =0;当x(t)→ +∞或y(t) → +∞或z(t) → +∞时，有V1(x(t),y(t),z(t)) → +∞。

对V1(x(t),y(t),z(t))求关于t的导数，有dV1dt=

由假设2 可知，若(x(t),y(t),z(t)) ≠0,则有[η(t)−η*]2>θ2,故对于任意的t∈{t:(x(t),y(t),z(t))≠(0,0,0)},有

对dV1dt从0 到t进行积分，有

令

由文献［12］可知，当

时， 对任意的t,都有(x(t),y(t),z(t)) =0,故有(S(t)−S*,I1(t)−I1*,I2(t)−I2*) =(0,0,0),即当t>t*时，有(S(t),I1(t),I2(t)) =(S*,I1*,I2*)。

下面证明模型（2）的解在无病平衡点的全局渐近收敛性。 由于假设1 不符合右端不连续的假定，因此给出以下假设。

假设3：h:(0,+ ∞ ) →(0,+ ∞)是单调递增且至多存在有限个间断点的函数，I1=0是函数h(I1)的间断点，且h(0) = 0。

定理2：若模型（2）满足假设3，则当R0<1时，它的解都将在有限时间内全局稳定于无病平衡点即当t>t*时，有

证明：令x(t)=S(t)−S0,则模型（2）变为

对V2(x(t),I1(t),I2(t))求关于t的导数，可得

由R0<1,0≤β1≤1,0≤β2≤1可知，

由假设3 可知η(t) ≥h(0+),因此有≤−µh(0+)。两边做从0 到t的积分，可得0≤V2(x(t),I1(t),I2(t))≤V2(x(0),I1(0),I2(0))−µh(0+)t。

令V2(x(0),I1(0),I2(0))−µh(0+)t=0,即可求得

4 数值分析

现在将运用MATLAB 软件仿真模拟验证结论的正确性。

4.1 有病平衡点的数值分析

由假设1 和定理1 可知，当R0>1时，模型（2）的解将在有限时间内全局渐近收敛于平衡点E*=(S*,I1*,I2*)。选取参数β1=0.01,β2=0.3,µ=0.2,γ1=0.9,γ2=0.9,ε=0.1,A=50,设置初值(S(0),I1(0),I2(0)) =(100,150,200),R0=7.7,选取不连续函数

则模型（2）的解在E*全局渐近收敛，结果如图1 所示。

图1 >1时模型（2）的解在的全局稳定性

4.2 无病平衡点的数值分析

由假设3 和定理2 可知，当R0<1时，模型（2）的解将在有限时间内全局渐近收敛于平衡点E0=(S0,0,0)。选取参数β1=0.2,β2=0.2,µ=0.8,γ1=0.8,γ2=0.1,ε=0.1,A=5,设置初值(S(0),I1(0),I2(0)) =(10,15,20),R0=0.82,选取不连续函数

则模型（2）的解在E0全局渐近收敛，结果如图2 所示。

图2 <1时模型（2）的解在的全局稳定性

5 结束语

为了分析非连续治疗策略对病毒变异传染病模型的影响，我们通过引入右端不连续治疗函数h（I1），研究了模型各平衡点的存在唯一性。通过研究发现：当R0＞1 时，在有限时间内，模型的所有Filippov 解全局渐近收敛于有病平衡点E*；当R0＜1 时，在有限时间内，模型的所有Filippov 解全局渐近收敛于无病平衡点E0。 这说明“有限时间内被治愈”具有重要的现实意义， 因为患者总是想知悉他们的病能否被治愈、何时能被治愈。

我们利用MATLAB 软件对此不连续模型进行了数值仿真，验证了定理1 和定理2 的正确性。 在今后的研究中，我们将把Filippov 解和微分包含理论应用到更多的生物动力学系统［13-14］，以获得更加符合实际的结论。