“数”与“运算”一致性教学内涵理解、构建策略与评价分析

沈明霞(浙江省杭州市临平区临平第一小学 311100)

数的概念和数的运算之间关联紧密,主要体现在“数”和“运算”的一致性上,从当前教材知识渗透上看,关于“数”的认识主要包括了整数、分数、小数的认识;关联的运算方式包括加减乘除四则运算;几乎所有的数在教学环节都会涉及四则运算。在小学数学教学中,教师应当让学生在数学学习的初期阶段体会“数”的含义,感知数的概念的一致性,形成数感,结合实际的教学环节感悟数字的运算和运算之间的关系,感知数的运算的一致性,形成基础的逻辑推理意识。

一、 “数”与“运算”一致性的内涵理解

小学数学教学更加注重学生如何通过数学这一门学科去认识和探究世界,借由数学角度分析,去发现生活中、社会上、自然界中存在的数量关系和空间形式,并提出和探索更加有意义的数学问题,通过数学思维方式去思考、去理解现实世界。

数的概念和数的运算之间关联紧密,主要体现在“数”和“运算”的一致性上。从当前教材知识渗透上看,小学数学中关于“数”的认识主要包括了整数、分数、小数的认识;关联的运算方式包括加减乘除四则运算。几乎所有的数在教材教学环节中都会涉及四则运算,一是从教学理解层面上来看,可以将整数、分数、小数看成一个数的整体集合,当整数进行除法运算不能被整除时,就产生了分数,分数计数不便时,便产生了小数;二是从运算方式的统一性上来看,和计算机的运行原理一致,四则运算都可以视为加法的一种,减法是加上一个负数,乘法是相同数字的累加,除法是相同数字的累减;三是从运算方式和角度上来看,所有的运算都可以转化为计数单位与计数单位运算(个别运算、计数单位不参与运算),计数单位上的数字(本质上是计数单位的个数)与计数单位上的数字运算。例如,我们定义2=1+1,3=2+1(皮亚诺算术公理系统),得到1+1=2,2+1=3,这利用了“=”的对称性,但这样的解释脱离了现实背景,没有涉及“等于”的本质。

以上内容体现了“数”与“运算”的一致性,只要在教学中掌握了统领性的数学思想理念,就能够通过多种教学方式、合理设置教学案例、引导点拨学生在数学理解和认知上更上一层,结合核心素养培养,使学生在知识掌握和学习的同时,建立相互联系和关联,最终得到综合全面发展。这种教学内涵要求教师注重思维方式培养,引导学生从整体到部分、由简到难地掌握数学概念和运算规律,从而提升他们数学思维能力和创新意识。

二、 “数”与“运算”的一致性教学构建策略

教师可以采用“数感培养—运用法则—思维进阶”教学策略,提升“数”与“运算”一致性的理解和应用水平。

1.构建计数单位,培养学生基础数感

从数的理解角度上来看,所有的数都是能够通过计算单位来进行构建的。针对小学数学培养的“数”与“运算”的一致性的教学,便可以此为出发点,进行“数”与“运算”一致性教学策略实施。教师需要向学生引申“计数单位”的含义,是指针对“数”的顺序,所建立的计量单位,如常见的长度、重量、面积等单位。当学生理解和掌握了相应的计量单位含义后,便可以通过组数的增加和计量作为相应的计数单位,如整数的计数单位就是一、十、百等,小数的计数单位就是十分之一,也就是通常所谓的数位。

以整数的教学为例,小学的基础对于数的认识就是数字1～10的认知,由于存在进位的关系,学生初期掌握可能存在理解困难。但是从另一个角度来看,10 的出现其实就是计数单位的体现,由9个1累加,然后再增加1个“1”所形成的累计结果;这是从计数单位上进行的累计突破;从核心素养教育“数感”认知培养上,在学生能够识记和掌握1～9的符号意义后,教师可以主动抛出问题,与学生一起探讨“十应该用哪种方式进行表达?”,单纯以汉字“十”来表示虽然简单,却和1～9的数字符号格格不入;如果简单表示为我们学过的“1”,又会使数字显得重复;因此,针对上述不便,这就可以“位置值”的方式,进行了数字的创新,印度率先以“10”作为表示的方式,且提出了占位符和计数符的说法,渗透了“数”与“运算”之间的相互理解内容。

2.引入概念法则,建构学生运算机制

小学阶段分数的基本计数单位直观上并不太明显,由于分数与分数之间并不存在明确的倍数关系,学生在学习中并未体会到分数的计数单位是什么。由此,相对于较为明显的整数而言,在进行比较大小、四则运算时变显得吃力。在学生“数”与“运算”能力培养上,可以引经据典,激发学生学习兴趣。如《九章算术》中就对分数进行了较为详实的介绍,在读法上“几又几分之几”,如2/3,对其解释便是将事物平均分为三份,取其中的两份,重点在于“分、取”的说明上。分数和整数一样是有大小可比性的,其主要的目的是为了让我们能够更加准确地度量和确定小于1的量,用小数无法精确表示的量。

在小学数学开展分数的认知过程中,可引入以下三个阶段:一是引入概念,教师通过“分饼”的方式,让学生初步感受到分数的意义所在,并结合整数的大小比较,让学生建立“计数单位”比较大小的基本逻辑思维;二是引入“分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数(0 除外),分数的大小不变”这一重要法则,同时引导学生思考分数的变形转换。三是落实通分的教学环节,使学生通过求取最小公倍数的方式,进行分数的分母转化,在分母相同的情况下(即分母的计数单位相同情况下)进行大小比较和加减法运算。

3.设置思维进阶,提升学生计算能力:以小数认知和“位置值”教学为例

小学阶段学生能够理解小数是以0.1/0.01等为计数单位进行位置值的构建即可。识别和记忆小数的关键在于小数的计数单位理解,教师可以将多个小数进行排列,让学生发现其中的规律,如列举“0.01/0.02/0.03/0.04……”,就能够看出小数的计数单位是有序排列和延伸的。从数字构建来看,小数可以理解为是“十进制分数”,类比学生所学整数,其进位方式为满十进一,由个位依次向十位、百位、千位进行递增。将进位方式反向思考,千位数进行平均分十份,每一份便得到了百位数;将百位数平均分成十份,每一份便得到了十位数;将十位数平均分成十份,每一份便得到了个位数;将个位数平均分成十份,每一份便得到了“十分位”。为使学生更容易理解小数,教师可以通过当前现有的度量单位、重量单位等进行双向说明,同时融合运算方式中的“逢十进一、退一作十”的运算规则,使“位置值”和小数的理解更加深入。

在“数与运算”教学时,其教学目标有以下四点:一是使学生能够掌握整数、小数、分数的四则混合运算;二是计算过程中熟练使用中括号,并结合四则运算进行试题的计算;三是通过对整数、小数的四则混合运算进行归纳和总结,提升学生在数学学习过程中的抽象概括能力;四是通过“数与运算”的学习,培养学生良好的学习习惯,并提升计算能力。

在教学的重点和难点上,对整数、小数的四则运算顺序和符号使用分别进行了要求。想要学生能够理解相应的计算方式,如何进行计数单位的理解和运用将是重点内容;教材上对于四则运算的教学设计是以“加法”为首进行的教学设计,对于加法的理解,其实就是数字的一种认知;“数”如何产生、如何进行计数、如何通过四则运算进行计算,就会关联到数的位置值;也只有当学生能够理解数的位置值、数的计量单位时能够更加熟练的对数进行运算。同时有了加法的理解和认知基础,由此及彼,推广到减法、乘法、除法的使用上,也是其运算一致性的一种体现和应用;计数的单位运算过程,本质上都是数学算法的一种体现,数的建构和运算也都是基于计数单位而进行的,两个过程看似不同,实则相互可逆,数的构建是随着历史时代的发展对数字进行的定义更优于生活中的使用。

二是数的概念是数的运算的基础,数的运算是对数的概念的再应用。在学生能够理解和认知到进制的意义所在,在未来的学习过程中对于相应的概念和后续知识的学习才能够呈现出系统化和连贯化的逻辑思维关联。

三、 “数”与“运算”的一致性教学评价分析

在教学中,教师要以发展的眼光去看待问题,在帮助学生理解数的概念一致性的过程中,对于培养学生的数感和数的符号意识是尤为关键的。它涉及学生对抽象概念的理解,数感的基础能力是学生建立符号意识的基础要素,符号的意识则是抽象能力和推理能力形成的基础,三者的关系层层递进。在帮助学生理解数的运算时,无论是算法的使用、推演过程都是培养学生核心素养的重要手段。教师应该以长远的眼光去看待教学过程,通过系统知识体系的把控,向学生不断渗透数学整体性、联系性、发展性等观念。

教师在课堂上教授学生的推导过程也是极为关键的。在结合教材上给出的教学案例等内容,可看出结合生活化的情景学习,是使数学知识能够实现有的放矢的重要途径。在引导学生对于数的理解和数的运算过程时,可以多结合实际情况,从生活中的实际问题多入手,让数字的呈现更加具有形象意义,让数字运算更加具有生活气息。这样的教学方式不仅能够激发和培养学生的学习兴趣,同时也能够促进学生的全面发展。

因此,教师应当重视对教材内容的分析和把控,深入浅出地理解小学数学教学的知识点,提炼并梳理出整体的框架内容——数的理解与运算间的关系,进而引导学生体会不同数学知识之间数学学习方法的一致性和可迁移性,形成科学的思维习惯。