量子纠缠与时空结构＊

林淑怡，葛先辉，田立君

上海大学 理学院物理系，上海 200444

1 量子纠缠的研究历程

1935年，爱因斯坦(Albert Einstein)、波多尔斯基(Boris Podolsky)与罗森(Nathan Rosen)提出了著名的EPR佯谬[1]。当时，爱因斯坦认为所有的物理现实存在都是确定的，并且可以通过测量发现其精确的属性。与之相反，其他量子力学的支持者，即哥本哈根学派的物理学家们认为现实存在似乎从根本上是不确定的。粒子直到被测量的那一时刻，才具有一定的性质。在爱因斯坦等的思想实验中，量子理论可以使两个粒子形成量子系统，对这两个粒子进行测量的结果之间具有强烈的联系，即在处于纠缠态的粒子1与粒子2分开的时刻就已携带了某种预定的关联特性。未知的某些“隐藏变量”决定了粒子1与粒子2自旋方向的测量结果。按照哥本哈根学派的观点，处于非常遥远距离的粒子1与粒子2之间，在某一时刻测量粒子1时，可以立即确定出粒子2的具体属性。此刻信息传播的速度远超光速，这有悖于相对论的核心原则，爱因斯坦将这样的结果称为“幽灵般的超距作用”。该思想实验的本意是为了反驳当时哥本哈根学派主张的量子理论，提出量子物理可能忽略了一些可以解释明显的量子物理悖论的“隐藏变量”。然而，这个实验引入了量子物理学最为奇怪的效应之一——量子纠缠。这是量子纠缠第一次被提出并被引入量子理论的体系之中。

1964年，贝尔(John Bell)设计了一个可以解决以上争论的实验：两位物理学家沿着不同的坐标轴测量纠缠粒子的自旋。此时我们可以发现，纠缠粒子不仅仅是“自旋向上”或“自旋向下”的，它们的自旋方向还会沿着左右或随机的方向[2]。根据爱因斯坦的关于“隐藏变量”影响测量结果的观点，粒子1具有早已预定的自旋方向，改变坐标轴应该对测量结果没有影响。然而贝尔的测量结果与爱因斯坦的观点相悖。该实验表明，相互纠缠的粒子状态具有极大的相关性。量子纠缠的测量结果无法用“隐藏变量”的观点来解释。

1969年，克劳泽(John F.Clauser)和同事改进了贝尔思想实验，运用偏振光子模拟电子自旋，第一次在实验室里将贝尔思想实验的理论转化成实践。在实验室中，他们使光子具有不同偏振方向，就像电子自旋一样，不同的偏振方向的光子可以通过对应方向的滤光片。克劳泽希望通过这个实验来观察贝尔思想实验基于现实世界的数据。

当时，克劳泽的实验不被看好，因为包括费曼(Richard Feynman)在内的物理学家们认为量子力学不需要实验证明。1972年，克劳泽和同事用滤光片测量了一对纠缠光子的偏振方向。令人激动的是，他们成功实现了贝尔思想实验的初步实验室证明，这意味着在现实世界中，量子纠缠效应的实验证明迈出了第一步。

尽管克劳泽的实验符合了贝尔思想实验的结果，但贝尔理论的实验室证明并不能证明爱因斯坦的理论是错误的，因为在这组实验中，不能排除滤光片摆放的位置触发了“隐藏变量”的产生条件，使得实验结果恰好是所需要的。要证明爱因斯坦理论是错误的，还需要更有随机性的多组实验进行证明。阿斯佩(Alain Aspect)在巴黎进行了一系列严格的实验测试，最终在1982年完成了一个极其复杂的证明实验。此次实验在光子从发射器飞到透镜的十亿分之一秒内，透镜的方向会随机改变。这种方式可以避免在光子发射时刻与透镜产生的“隐藏变量”，排除了透镜的配置与位置对实验结果的影响，证明了贝尔理论与量子力学的正确性[3]。

克劳泽与阿斯佩的一系列实验似乎可以得出量子力学已被证明的结论。然而，物理学家们发现，在这一系列严格的实验中，仍然存在着一个非常细微的漏洞需要解决。这个漏洞就是在实验开始的时候，一个非随机的过程是否会决定透镜的更新方式？在2017年，塞林格(Anton Zeilinger)领导的团队利用数百年前遥远恒星发射出的光子的颜色来确定实验设置，进一步缩小了这一漏洞[4]。这个初始条件极大地降低了纠缠结果的“预定”。如果爱因斯坦所说的“隐藏变量”存在，那么在数百年前，这个纠缠条件就已经被触发。当时，仍有少数物理学家坚持爱因斯坦的观点，认为所有物质的量子纠缠的测量结果早在宇宙大爆炸时期就已经确定，但大部分物理学家接受了克劳泽、阿斯佩与塞林格三人的实验与观点，尽管粒子对系统存在量子纠缠现象的原因并不完全清楚。要结束这长达80多年的争论，物理学还需要一个完美的实验证明。

目前，物理学虽然没有一个绝佳的量子纠缠实验证明，但克劳泽、阿斯佩与塞林格三人的实验对于量子纠缠证明具有开创性的贡献。2022年，克劳泽、阿斯佩与塞林格荣获诺贝尔物理学奖。“最根本的问题是，量子纠缠从根本上说到底意味着什么?我们没有答案。这(量子纠缠)是一个新的研究途径。”塞林格说。我们期望在未来能够实现量子纠缠的解释与完全证明。

2 纠缠熵的分类与计算

量子纠缠是量子力学的一种基本效应，为了量化研究量子纠缠，物理学家引入“纠缠熵”这一概念。经典物理中，熵最先出现在开尔文(Lord Kelvin)与克劳修斯(Rudolf J.E.Clausius)提出的热力学第二定律中，即热力学系统从一个平衡态经绝热过程到达另一个平衡态，系统的熵永不减少。后来，熵的概念被推广到统计物理与信息科学领域用来表征系统的信息量，称为信息熵[5]。

类比于热力学熵与信息熵，纠缠熵表示量子力学系统中的量子纠缠大小，是目前主流的纠缠度量之一。纠缠熵最先是由冯•诺依曼(von Neumann)在研究量子力学系统时定义的，是测量系统被分割之后信息丢失的统计力学熵。冯•诺依曼纠缠熵定义为：

其中ai为约化密度矩阵ρA的特征值。值得注意的是，处于纯态的系统其纠缠熵始终为零。另外，局域的幺正操作不改变纠缠度。目前，主流的量子纠缠度量还有相对纠缠熵[6]、形成纠缠度[7]、纠缠负值度[8]等。

量子信息领域中，被观测物不仅依赖于时间，也依赖于它在流形中的空间位置。在离散化的空间中计算被观测物的纠缠熵，并得到其相关信息。一个晶格间距为ϵ的晶格系统，需考虑一个长度为L的子区域A，我们用如下公式可以计算纠缠熵[9]。在整个希尔伯特空间选取一个随机态，根据Page公式[10]，子区域A的纠缠熵满足体积律：

其中D-1是空间区域的维数，ϵ为UV(紫外)截断，纠缠熵体积律主要适用于高度激发态系统。我们通常对随机态不感兴趣，而是将注意力集中在量子态上。对于纠缠只发生在相邻的晶格点之间的局域哈密顿系统的基态和激发态，纠缠熵满足面积律：

其中γ是与系统相关的系数，省略号后是较小的领头项。面积律中，纠缠主要来自子区域A边界(记作∂A)附近相邻态之间的短程纠缠。其计算的纠缠熵数值比体积律中计算得到的数值小很多。在某种意义上，我们希望物理状态包含较少的纠缠。结果证明，面积律符合晶格系统的实际情况。但当D=2时，系统中基态有足够的长距离纠缠，面积律将不适用。在此情况下，临界系统的子区域A的纠缠熵满足对数律：

其中C为二维共形场论中的带电中心荷，L为区域A的时间切片面长度。可以看到，熵与中心荷成正比，与UV截断有对数关系。我们可以将上述公式推广到更复杂系统中，度量特定的纠缠熵。

3 全息纠缠熵与几何

1995年，弦理论的创始人之一萨斯坎德(Leonard Susskind)结合荷兰理论物理学家霍夫特(Gerardus 't Hooft)的早期想法，提出引力全息原理——“三维世界是一个数据图像，可以像全息图像一样储存在二维投影上”的猜想。例如，在普朗克尺度下，我们所在的世界可以通过二维投影来理解[11]。基于引力全息原理，他猜测引力理论与量子场论之间存在某种对应关系，即一个(d+1)维时空上的引力理论可以通过其边界上的d维无引力的量子场论来等效描述，就像进行全息投影一样。类似于柏拉图的洞穴理论，一群人生来就只能面对洞穴中的一面墙且不能回头，当火把与其他各式各样的人从他们后面经过时，他们只能看到墙壁上的投影。洞穴人所认为的世界就是墙上的影子，认为世界是二维的。恰恰相反，在全息原理中，真实世界是墙上的影子，即二维的世界。当时，萨斯坎德提出的猜想留有一些令人困惑的问题，例如，全息原理能否保持系统某些特征与连续对称，如平移、旋转和完全洛伦兹变换是否遵循诺特定理。如果物理学家能够建立适用于全息投影的物理框架，就能够极大程度地简化复杂的物理问题，这将可能成为解决量子引力问题的重要方法。

不久，这个猜想就有了新的证明。1997年，马尔达西那(Juan Maldacena)发现超弦理论中十维时空AdS5×S5上的Type IIB弦理论对偶于四维N=4SU(N)的超对称Yang-Mills规范理论[12]，首次在弦论中实现了全息对偶，并提出AdS/CFT猜想。其中AdS代表一个曲率为常负数的(d+1)维时空，即反德西特(AdS, anti- de Sitter)时空；CFT(conformal field theory)则代表等价的d维时空中的共形场论。AdS/CFT来源于弦理论，在全息理论中，AdS是含有引力的时空，比定义为在没有引力的量子空间中的量子场论CFT高一维度[13-15]，即引力时空中的区域对应于低一维量子场论中的边界。另外，AdS比CFT多出的一个维度对偶于共形场论中的能量尺度。利用全息对偶，我们可以在共形场论中理解复杂的量子引力问题，也可以在它对偶的量子引力理论中解决量子共形场论问题。尽管这个理论缺少对量子引力理论对偶的详细描述，但关于纠缠熵的计算，物理学家们似乎找到了一个新的实现途径。

2006年，量子场论的纠缠熵计算迎来第一个结果。日本物理学家笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)提出，在共形场论中，边界上有任意一个(d+1)维的子系统A，区域A的量子纠缠熵对偶于(d+2)维AdS时空中同样边界上的曲面中面积最小的一个，即“面积定律”[16]：

其中γA是AdSd+2中余二维静态时空的最小曲面的面积，即与子系统A的同源的RT(Ryu-Takayanagi)面。三维情况下也是一条测地线，边界由∂A给出；GN(d+2)是(d+2)维的牛顿引力常量，这个公式被称为RT公式。RT面是AdS时空中的一个类空面，RT公式描述的是一个静态时空，所以RT面不依赖于时间。在AdS时空边界任取一个子区域，可以得到低一维的CFT(图1(a))；根据“面积定律”，极小表面γA对只能接触到子系统A的观察者起着全息屏幕的作用(图1(b))。并且，由纠缠熵的互补性，我们可以得到与子系统互补的子系统B的纠缠熵SB等于子系统A的纠缠熵SA。在低维时空中，RT公式能够与直接从CFT计算的纠缠熵数据完全重合。然而，在d≥2的更高维度中，因为引力与强耦合规范理论描述相对应，而强耦合规范理论的熵暂不确定，所以纠缠熵的计算很难进行定量比较。

图1 (a)AdS3空间中，CFT2位于其边界上；(b)测地线γA作为全息屏幕[16]

4 时空来自量子纠缠

全息纠缠熵给出了AdS/CFT全息对偶的一个强有力的证明。同时，它也将量子纠缠与时空几何联系起来。事实上，在此之前的研究表明，黑洞也存在几何面积与物理量的联系。

在20世纪70年代，霍金(Stephen William Hawking)提出黑洞面积不减定理，即黑洞的表面积随着时间只能增加不能减少[17]。而后，贝肯斯坦(Jacob Bekenstein)发现黑洞的面积不减定理与热力学第二定律之间存在着惊人的相似性，可以将黑洞永不随时间减少的表面积类比经典物理学中永不随时间减少的熵。贝肯斯坦史无前例地在黑洞物理学中引入了热力学物理的概念，最先提出了“黑洞熵”一词，并且得到了黑洞熵与四分之一的黑洞的视界面积A成正比的结论[18]：

根据热力学第二定律，在同样大小的一个球形区域里，其他任何物质态的熵都不能超过黑洞。一般来说，熵是与体积成正比的，而这里的熵与黑洞视界面积成正比，意味着黑洞熵并不是时空局域的，它一定有某些特殊的含义。

全息原理就是基于黑洞熵的结果被提出的，它也存在着关于定域性的量子纠错悖论。正如上节所提到的，共形场论对偶于AdS中的引力理论，引力场中的每一个态都对应着边界量子场论中的一个态。那么，如果体时空内部有一个离边界很远的电子，携带某个特定方向的“自旋向上”的信息，它的电子波函数在某个点的局域范围内，根据全息对偶的条件，我们可以在边界找到与之对偶的态电子，从而操控体内部电子携带的自旋方向的信息，使之“自旋向下”。这看上去非常自然。但是，如果体时空满足相对论，那么信息传递的速度就不能超过光速。当我们从边界上操控电子自旋，它的信息几乎在瞬间就传递给远处的电子，这与体时空的定域性相矛盾，即量子纠错悖论。

2014年，阿姆黑利(Ahmed Almheiri)、董希和哈洛(Daniel Harlow)三人提出了关于这个悖论的解释[19]。在此之前，人们已经可以利用全息原理的局部重构技术，将体时空中某局域电子携带的信息对应到边界上的子区域中，缩小了对应的范围[20-21]。他们认为，用小区域来操控体时空中的电子的信息是不可能实现的。如图2所示，A区域非常小，该区域的观测者无法实现对电子的操控。在观测者看来，A区域与电子的距离非常远，导致观测者产生信息传递速度超过光速的悖论。如果要操控电子，我们必须选取更大的区域，如图2中的B区域。作为B区域的观察者，无法同时在大区域的边界找到并操控电子对偶的区域，使得电子所携带的自旋信息产生变化。我们发现，量子纠错的核心机制和经典计算机的纠错十分类似，即把量子信息以一种冗余的方式储存在一个更大的系统里，以保证如果系统的一部分出了错误，还能从未出错的剩余部分中把信息提取出来[22]。电子所携带的自旋信息可以看作是一种“量子编码”，它储存在大系统中，即便出现错误也可以从没有错误的部分提取出信息来。这样，体时空引力理论的定域性实际上来自全息对偶作为一个“量子编码”的量子纠错性质。这种量子纠错的性质与RT公式密切相关[23]。因此，我们利用RT公式得到的纠缠熵，对于实现量子纠错有重要的贡献。

图2 体时空中x处的电子不能被边界上的A区域控制，而大区域B可以直接操控它[21]

在量子纠错悖论得到解释之前，RT公式也有相应的发展。我们计算纠缠熵的方法在不断丰富与完善。2007年，胡本尼(Veronika Hubeny)、让加曼尼(Mukund Rangamani)和高柳匡三人将RT公式扩展至时间依赖的广义AdS时空中，并提出了RT公式的协变推广形式的纠缠熵HRT公式。在AdS/CFT对应的背景下，纠缠熵与边界上特定区域相关，并且随着类光测地线的膨胀消失，由共维体时空曲面的面积给出[24]：

其中Area(χ)是体时空中与边界子区域R同源的极值HRT面χ的面积。当体时空是静态时空时，Area(χ)会简化为最小曲面，即RT公式中的γA面。RT公式与HRT公式是最低阶的半经典贡献项。在量子场论中，我们需要考虑量子涨落贡献及量子修正项，即RT面与边界子区域围成的体区域内物质场的纠缠熵贡献。

随后，在2013年，福克纳(Thomas Faulkner)、莱科维奇(Aitorn Lewkowycz)和马尔达西那三人表明，RT公式忽略了最小面所包裹区域内的量子场产生的冯•诺伊曼熵，并提出了含有一阶量子修正的全息纠缠熵公式，即QRT或FLM公式[25]：

其中除了第一项的面积项之外，还包括了第二项的量子修正项。由于真空中的量子涨落的存在，量子修正项不会被消除。

进一步，2014年，恩格哈特(Netta Engelhard)与沃尔(Aron C.Wall)提出全息纠缠熵可以用广义熵极值化的“量子极值面”在普朗克常数的量级的任意阶量子修正下进行计算，并推导出了量子极值面(QES)公式[26]：

在体量子修正的领头阶上，计算公式与QRT公式一致；在领头阶之外，存在着两个分歧。与RT面不同的是，此时的极值曲面不再是面积取最小的RT面，而是极值化(Ext)广义熵与所有满足该条件的候选者中的项取最小值(Min)，这个最小值作为最后的结果，具有广义熵最小值的面称为量子极值面。诚然，在经典层面，RT面和QES差别很小，可近似认为相等。但是，一旦考虑精确量子修正后，就有极大的差别。量子修正后纠缠熵数值的差别导致我们的讨论即将迎来一个全新的结果。

QES公式的一个重要应用就是用来计算佩奇(Don N.Page)在1993年提出的佩奇曲线[27]。它是黑洞信息丢失问题中的一个重大突破。佩奇曲线最初是由包含幺正性假设的佩奇定理得到的。佩奇定理表明，从量子力学的幺正演化出发，如果要使黑洞在蒸发的过程中产生热辐射但不丢失信息，即假设黑洞蒸发是一个幺正的过程，那么黑洞的纠缠熵应满足随着时间先上升，达到峰值开始逐渐减少的规律。在上升时符合霍金预期的结果，下降后纠缠熵应该递减至零，在某个时间节点与黑洞热力学熵的曲线重合，这个时间节点就是佩奇时间。整个纠缠熵随时间演化的先增后减的曲线被称作佩奇曲线。

2019年，佩宁顿(Geoffrey Penington)发现，当用QES计算一个蒸发黑洞的辐射纠缠熵时，量子QES的位置恰好在佩奇时间发生了相变。新的QES面略高于视界面。利用QES公式和Hayden-Preskill解码准则，通过纠缠楔重构，可以推导出佩奇曲线[28]。同年，阿姆黑利等人考虑到量子极值面和纠缠楔，提出可以用于计算蒸发黑洞的细粒度熵的公式：

其中X是量子极值面QES，ΣX指黑洞的视界面与截断面之间的区域。该研究表明量子极值面能够准确描述预期的黑洞蒸发幺正性，并且发现一种新的QES面。这个面只由量子效应产生。我们可以发现，在佩奇时间后出现于接近视界处并开始占主导地位[29]，这使得物理学家们对于拟合佩奇曲线的研究更进一步。

与此同时，阿姆黑利、马哈詹(Rahajan Mahajan)、马尔达西那、赵颖受黑洞的辐射纠缠楔启发进一步认为，霍金辐射的纠缠熵在具有高维全息对偶的物质耦合引力场中，即AdS/CFT场的背景下，高维几何将辐射与黑洞内部联系了起来。我们发现，在上述的公式中，修正项不仅考虑了黑洞外部的辐射熵R，还考虑到了黑洞内部的贡献I，因此可以通过一个类似广义熵的公式来计算辐射熵，这个公式称为“孤岛公式”[30]：

其中领头阶是孤岛边界的面积项，Area(X)仍是QES的面积，类似黑洞的贝肯斯坦-霍金熵，而第二项表示量子场的冯•诺伊曼熵。利用这个公式计算霍金辐射的纠缠熵，计算结果可以很好地遵循佩奇曲线，并且与纠缠楔计算所得结果一致。“孤岛公式”的修正项不仅正确计算了黑洞的辐射熵，还提出了一个新的物理概念——量子极值孤岛。在黑洞蒸发的中后期，由于量子极值面QES面出现在视界内部，黑洞内部区域产生了量子极值孤岛区域。黑洞内部和外部被QES面分隔，因为内部的岛屿区域的I与外部辐射区域的R是非连通的，如同大海中的一座孤岛，得名“孤岛”。考虑到量子孤岛修正，霍金辐射的纠缠熵值可以在佩奇时间后递减，计算的结果能够很好地符合佩奇曲线。

此外，之后的研究表明，虽然孤岛公式是在AdS/CFT背景中推导出来的，但其应用范围远超全息背景。目前的研究已将其推广至了更一般的时空背景，并在不断地发展，例如二维渐进平坦永恒黑洞[31-32]、史瓦西黑洞[33]及其他高维背景。

5 结论与展望

通过特殊的AdS/CFT引力全息对偶，我们找到了引力场与共形场论边界的联系，这是一个积极的信号，意味着对于量子纠缠与时空有了全新的认识。利用全息原理，我们发现量子信息中的量子纠缠原理，它暗示着时空并不是局域的，正如文章中关于纠缠熵的计算，量子纠缠可以在长距离的情况下发生，它与引力、时空之间存在着极大的联系，尽管物理学家们仍未知道这个联系的真正作用原理。目前，我们已经可以从全息原理中窥见量子引力领域的广阔前景，但这还远远不能预见量子引力理论。我们可以对未来大胆猜测，或许时空来自量子纠缠，希望能够进一步地联系量子纠缠与引力理论，达到我们了解时空的最终目的。