三角巧变换，“五变”妙应用

■许 珍

三角函数的求值、化简或证明是三角恒等变换的重要内容之一。在高考中,一般与三角函数有关的问题,都以三角恒等变换为重要手段,变换时,经常用到同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差倍半公式等,还涉及因式分解、换元法,以及分类讨论思想等。

一、角的变换

在三角函数的化简、求值或证明中,角的变换是最基本的。为了得到合理的角的变换,就必须观察所求问题中的角与已知条件中的角之间的联系,消除条件与结论中角的差异,使得所求问题顺利获解。常见角的变换有α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),可视为的半角等。

将条件中的角与结论中的角进行合理的变角处理,或将所求角拆成已知角,是连接和沟通已知与结论的重要手段。注意常用到的一些变角代换有:单角化复角(这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角)、单角化倍角、倍角化复角、复角化复角等。

二、名的变换

在三角函数的求值、化简或证明中,由于三角函数的名有三个(正弦、余弦与正切),经常会对一些函数的名进行变换,其目的是减少运算中的三角函数名,给求值、化简或证明带来方便。在求值、化简或证明中,切化弦与弦化切,化异名函数为同名函数是常用的三角函数名的变换技巧。

三角变换时,化同名函数的目的就是方便化简与变形。常见的三角函数名的变换有:化弦法(利用商数关系将正切转化为正弦与余弦的关系),化切法(在一次齐次分式或二次齐次分式中,利用同除“cosα”或“cos2α”来转化为正切关系)等。

三、幂的变换

三角变换中的幂变换是三角变换中十分重要的变换方法之一,通过幂的变换可以为解题提供更多的突破口,为公式的应用提供条件。分析题目的结构,掌握结构的特点,通过降幂、升幂等变换手段,为使用公式创造条件。

四、式的变换

三角函数中有比较多的三角公式,有些三角公式可以直接应用,而有些三角公式经过适当的公式变换之后,也可用于解题。三角公式是变换的依据,要熟练掌握三角公式的正用、逆用和变形应用。

例4 证明:(三正切公式)在斜三角形ABC中,恒有关系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立。

证明:在斜三角形ABC中,令α=A,β=B,则A+B=α+β=π-C。

结合两角和的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β),可得tanA+tanB=tan(A+B)-tanA·tanBtan(A+B),所以tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanBtan(π-C)。

结合诱导公式得tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

三角函数的变换问题,实质就是三角函数公式的正用、逆用和变形应用。

五、数的变换

在三角变换中,有时需要将常数转化为三角函数的值,如常数“1”的代换变形有:1=sin2α+cos2α=sin90°=tan45°等。在具体的三角变换中,可根据题目条件中的不同结构特征,选择不同的变换方式。

对于常数“1”,往往可以将其转化为对应的三角函数关系式,结合具体的题目条件加以分析与应用。

说明:本文系江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“学习进阶理论下高中数学单元学习元指导研究”(编号:B/2022/03/65)的阶段性研究成果,以及江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“大概念视角下的高中数学单元整体教学实践研究”(编号:B/2021/02/28)的阶段性研究成果。