轴承非线性特性对摆线针轮减速器传动效率的影响分析与参数确定*

2023-12-21宿月文郭彩霞张博栋李旭波王参军

润滑与密封 2023年12期

宿月文郭彩霞张博栋李旭波王参军

(陕西省机器人关键零部件先进制造与评估省市共建重点实验室，宝鸡文理学院陕西宝鸡 721016)

摆线针轮传动具有高减速比、高精度、高负载能力、高传动效率、结构紧凑等特点，被广泛用于如机器人手臂、精密电机等领域[1-2]。目前摆线针轮传动性能的研究已在齿廓修形、传动精度、传动效率等领域取得了优秀成果[3-5]。陈兵奎等[6]基于微分几何和齿轮啮合机制，构建了摆线针轮传动的啮合理论及齿廓通用方程。何卫东等[7]以RV减速器为对象，建立了整机有限元模型，并考虑摆线轮综合修形的前提下分析了整机扭转刚度和变形。杨玉虎等[8]根据作用线增量原理，应用传递矩阵法研究了RV减速器中各构件的原始误差对传动精度的影响规律，并建立较完善的精度分析模型。宿月文和郭彩霞[9]提出了一种可实现摆线针轮多齿啮合点精确定位、接触载荷分布确定和传动效率计算的理论分析方法，但未考虑轴承因素。随着研究深入，轴承等非线性环节被纳入传动性能分析模型[10]。魏波等人[11]认为RV减速器主支撑角接触球轴承的润滑情况对机构的效率、精度等性能具有很大的影响。于东等人[12]基于达朗贝尔原理的拟静力学模型，推导了RV减速器主轴承接触椭圆内纯滚动线位置与摩擦力矩的求解方程，给出更准确的摩擦力矩计算公式。HUANG和TSAI[13]认为轴承柔性导致摆线轮增加3个自由度，使得啮合齿对提前进入接触，并增大了各齿载荷分配的不均匀性。杨玉虎等[14]建立了考虑轴承刚度、轮齿啮合刚度及各构件弹性的有限元接触模型，分析了轴承刚度对摆线减速器整机扭转刚度的影响。XU等[15]根据多体力学和接触理论构建了对摆线轮与针齿，以及转臂轴承的多点接触分析方法，研究了考虑配合间隙的摆线针轮传动载荷传递规律和动态接触响应。上述研究较少涉及轴承对传动效率的影响。ZHU等[16]通过试验研究表明，摆线针轮减速器的轴承环节摩擦功耗损失可达4%，但是并未形成分析理论。PHAM和AHN[17]粗略分析了摆线减速器轴承功耗，也未在其理论中详细考虑轴承模型。

综上，针对现有摆线针轮传动效率分析方法中存在忽略轴承因素或未能合理嵌入轴承非线性参数的问题。因此，本文作者提出一种新的传动效率分析方法，将偏心轴承表示为指数型非线性模型，进而通过牛顿力学建立以轴承变形为变量的摆线轮动力学微分方程，并得到由结构与轴承参数表达的传动效率理论模型，最终通过试验与理论融合的方法确定轴承参数，构建了简明且精确的传动效率评估方法。

1 理想约束情况下摆线轮动力学方程

摆线针轮减速器结构如图1所示，其核心部件主要有输入轴、摆线轮、针齿和输出轴。其运行原理如图2所示，点O为输入轴旋转中心，点O1为摆线轮中心，OO1为偏心距，其值为ec。输入轴为定轴转动，带动曲柄旋转并驱动摆线轮运动，摆线轮既绕点O1自转，又绕点O公转。因此，可定义XOY为固定坐标系，X1O1Y1为摆线轮坐标系。FNpx和FNpy分别是摆线轮和针齿啮合力的合力FNp在X、Y轴的分量；FNsx和FNsy分别是摆线轮和输出柱销的接触力的合力FNs在X、Y轴的分量；Fex和Fey(1-μe)是输入轴与摆线轮之间的作用力，μe为摩擦因数；TNp是摆线轮和针齿销作用力对点O1的合力矩；TNs是摆线轮和输出销轴的接触力对点O1的合力矩；Izz是摆线轮转动惯量，φ是输入轴角位移，Np为针齿数，摆线轮齿数Nc=Np-1。

图1 摆线针轮减速器主要部件

根据摆线针轮减速器原理，摆线轮与针齿以及输出机构均有作用力。如图3所示，摆线轮与针齿的作用力可表述为

图3 摆线轮与针齿接触力学简图

(1)

式中：r1为针齿分布圆半径；T1为单个摆线轮的输出力矩；βi为第i个针齿的位置角，且有，

(2)

假定输出力矩不变时，摆线轮和针齿之间的作用力还受到输入力矩的影响，因此引入系数Acy，即输入力矩的增加，Acy也增大。因此，考虑输入力矩的影响后，所有处于接触的针齿对摆线轮的合力FNp可表示为

(3)

摆线轮所受针齿接触力的合力矩可表示为

(4)

同理，摆线轮与单个输出柱销的作用力表示为

(5)

式中：r2为输出柱销分布圆半径；Ns为输出柱销个数；βj为第j个输出机构柱销中心点与点O连线与Y轴的夹角。

同理引入系数Aos来体现输入力矩对摆线轮和输出柱销作用力的影响。那么，所有接触柱销对摆线轮的合力可表示为

(6)

所有接触柱销对摆线轮的合力矩可表示为

(7)

根据图2以及力平衡原理，得到摆线轮的受力平衡方程组为

(8)

式中：GXi、GYi分别为式(3)中Gi在X、Y轴上的投影；SXj、SYj分别为式(6)中Sj在X、Y轴上的投影；TL为负载力矩。

根据输出机构受力平衡原理可得输出力矩为

(9)

根据式(8)并数学推导得到输入力矩为

Tin=Fey(1-μe)·ec=

(10)

则减速器传动效率可表示为

(11)

基于上述方法，以表1参数对某摆线针轮传动系统的传动效率进行分析，得到不同摩擦因数下传动效率随负载的变化情况，如图4所示。可见，传动效率受摩擦因数影响很大，与负载大小无关，这显然不合理，因此下文将尝试引入轴承因素构建更为准确的传动效率分析模型。

表1 摆线传动系统主要几何机构参数

图4 不同摩擦因数时负载与传动效率的关系

2 考虑轴承时摆线轮动力学方程

假定所有构件均为刚体，将输入轴与摆线轮之间的偏心轴承视为弹性环节，则认为轴承沿Y1变形，如图5所示，将其弹性位移用y1表示，那么轴承力Fbearing[18]可表示为

图5 摆线轮与轴承作用力方向及参考坐标系

(12)

其轴承作用力矩为

(13)

其中，kcy是轴承刚度系数；p是轴承非线性刚度指数。当p=1，可得到胡克定律；如果p≠1，则力与变形之间的关系是非线性的。

此外，考虑偏心轴承后，摆线轮中心点O1的速度为

vO1=vO+vO1/O，dr+vO1/O，rel

(14)

其中，vO为点O速度，由于输入轴是定轴转动，因此vO=0；vO1/O，dr为动坐标系X1O1Y1的牵连速度；vO1/O，rel为动坐标系X1O1Y1的相对速度。那么

(15)

由于坐标系X1O1Y1和坐标系XOY存在如下关系：

(16)

那么摆线轮中心点O1的加速度为

(17)

设定摆线轮质量为mcy，则摆线轮的惯性力为

(18)

根据图6所示摆线轮的受力情况，考虑摆线轮所受惯性力以及针齿、输出柱销对其的作用力，建立动力学平衡方程如下：

图6 考虑输入轴的轴承时摆线轮受力

(19)

进一步对式(19)进行数学处理得到：

(20)

式(20)属于初值问题，其系数随时间变化，为变系数微分方程，可由Runge-Kutta法来求解[19]。可知，只要得到任一时刻摆线轮与针齿及输出销轴的接触载荷分布，即可得到|y1|。

摆线轮的输入力矩Tin则可表示为

Tin=ec·kcy|y1|p

(21)

那么减速器的瞬时效率可表示为

(22)

由式(22)可知，摆线传动效率η受轴承刚度系数kcy和p的影响。

随着偏心轴的旋转，首先判断哪些针齿和输出柱销处于接触状态，进而得到每一时刻的摆线轮与针齿以及输出柱销的接触力，然后代入微分方程(20)，求解得到轴承的弹性变形，最后根据式(22)计算得到减速器的传动效率。具体计算流程如图7所示。

图7 考虑输入轴的轴承时摆线针轮机构效率计算流程

3 轴承非线性对传动效率的影响分析

3.1 轴承力学参数

为了降低建模的复杂性，文中仅考虑输入轴和摆线轮之间的轴承接触因素对传动效率的影响。接触理论表明，轴承径向变形与法向接触力具有非线性函数关系[20]。实际上，经典接触条件下，轴承刚度系数kcy取决于接触体的几何形状、材料特性和某些尺寸；而p仅取决于接触体的几何形状，如对于球轴承，p=3/2；对圆柱滚子轴承，p=10/9[21]。

应该强调，文中从理论上考虑摆线轮与输入轴的连接轴承的非线性效应，并引入轴承力学模型，但并非针对某一具体型号的轴承。因此，为了分析2个轴承力学参数kcy和p对摆线针轮传动效率的影响，设定其参数取值范围为kcy∈[1×107，1×1011]N/m，p∈[1，2.5]。

3.2 轴承参数对传动效率的影响

3.2.1p=1时轴承参数的影响

为了对比分析轴承非线性效应，首先考虑轴承力与位移属线性情况，即p=1时，观察不同系数kcy情况下，传动效率与运行工况的关系。图8显示了不同kcy时，减速器传动效率与转速、负载的关系。可以看到传动效率基本不随着转速以及负载的变化而变化。这一点与常识不符，说明了将轴承表达为线性刚度无法反映工程实际。

图8 不同刚度系数时，传动效率与转速、负载的关系

3.2.2p>1时轴承参数的影响

针对p>1的情况，分别以2种情况，即p为1.1和2.5，以及kcy为1×107、1×1011N/m，考察传动效率与运行工况的关系。图9和10所示为p=1.1时传动效率与负载、转速的关系。运行速度和负载几乎对传动效率没有影响，这一点与p=1时情况类似。此外，在p=1.1，kcy=1×1011N/m时，传动效率相对较好，表明系统具有更高刚性。图11与12显示了p=2.5时传动效率与负载、转速的关系。与p=1.1不同，轴承的传动效率出现明显变化。随着负载的增加，传动效率显著提高。但是运行速度对传动效率的影响不大，即随着转速增大，效率略有下降。其中高负载时传动效率随转速上升基本不变，而在低负载时效率小幅下降。kcy较高时，系统刚性更强，传动效率相应提高。图13所示为p=2.5，kcy=1×1011N/m时，2种转速(1 000和1 500 r/min)，2种负载(200和300 N·m)时的轴承变形y1值。2种转速下，轴承变形基本相同；但是高载荷时，轴承变形也相应增大。式(13)表明传动效率与负载正相关，与轴承变形负相关。显然，此时负载增加对传动效率的影响更为重要。

图9 不同载荷和转速时的传动效率(p=1.1，kcy=1×107 N/m)

图10 不同载荷和转速的传动效率(p=1.1，kcy=1×1011 N/m)

图11 不同载荷和转速的传动效率(p=2.5，kcy=1×107 N/m)

图13 不同运行条件下的轴承变形

综合图8—11，轴承力学参数对传动效率计算结果有显著影响，故有必要通过试验来对轴承参数进行量化研究。

4 轴承力学参数的拟定

4.1 轴承参数拟定方法

文中通过试验测试的方法获得某单级摆线减速器的传动效率ηs，并将其与同一运行状态下的理论值η进行对比，依据|η-ηs|值来修正理论模型中的2个参数p、kcy，再进行理论计算，反复迭代，直到传动效率的测试值与理论值接近。其中，迭代计算以渐进的、小步长的方式进行，即p的步长为0.01；kcy的步长为103。具体流程如图14所示。

图14 轴承非线性参数拟定的计算流程

4.2 测试方法

摆线针轮减速器试验基于一体化设计的专业测试装置(见图15)进行，该装置满足输出功率≤1.8 kW、输出转矩≤1 000 N·m、额定转速1 500 r/min、最高转速≤3 000 r/min的减速机效率测试。测试装置主要由动力部分、电力测功机加载闭环控制部分、测试台架以及控制测量部分构成。其中，为满足不同类型减速器效率试验，减速器安装采用固定底座+安装盘方式，更换方便；测试台架加载采用伺服加载电机作为负载，负载可以任意调节，测试方便。

在被测减速器的输出轴上加载恒定扭矩进行测试，输入转速从0增加到既定速度并保持恒定20 s，然后再次降低到0，并提取20 s内传动效率数据。

4.3 实验测试结果与理论值对比

通过轴承力学参数拟定方法，得到p=2.29，kcy=1.6×1010N/m。图16、17分别显示了不同转速时，由理论分析和试验测试得到的传动效率与负载的关系。可见，测试所得传动效率数据存在2个区域，即负载较小时(<150 N·m)，传动效率变化幅度相当大；而在负载较大时，随负载的增加，传动效率变化较为缓慢，此时效率值已逼近饱和值。相同工况下，对应理论值也存在类似趋势，但是理论值稍高于试验值，其原因在于试验系统存在理论模型中未能考虑的其他功耗环节，如针齿轴套和输出柱销轴套的摩擦。可以通过高效润滑脂且避免过热来减小该部分的摩擦功耗。

图16 试验与仿真所得传动效率的对比(ωin=1 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

图17 试验与仿真所得传动效率的对比(ωin=2 000 r/min，kcy=1.6×1010 N/m，p=2.29)

根据文献[22]得到，材料为钢的圆柱滚子轴承，宽度为12 mm时，其轴承刚度为kn=3.29×108N/m，p=10/9。可见与文中拟定的参数值，特别是指数p，存在很大差异。这是因为文中所引入的轴承模型，融合了减速器其他接触部位的弹性环节，相对于具体轴承具有更高的弹性，具有更高的p值。正因为该轴承模型为具有复合效应的纯理论模型，从而使得传动效率理论评估模型更为简化。