受疾病意识影响的时滞传染病模型的动力学分析*

郭红利,谢景力,张美杨

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

现实中,易感者与感染者接触后,易感者往往不会马上显示出染病特征,而是经过一段时间才发病成为感染者.待发病期间的易感者称为潜伏者,发病延迟的这段时间用时滞来表示.受文献[17]的启发,笔者拟将易感人群细分为无疾病意识类和有疾病意识类,并引入潜伏期时滞,讨论一类受疾病意识影响和时滞影响的SEIM传染病模型.

1 模型的建立

将某一研究区域t时刻的总人口数N(t)分为4个不同的类别,即无疾病意识易感者Su(t)、有疾病意识易感者Sa(t)、潜伏者E(t)和感染者I(t),用M(t)表示媒体报道的疾病信息量.SEIM传染病模型如下:

(1)

4类仓室之间的转换关系见图1.

图1 模型(1)仓室及其转换Fig. 1 Compartment and Its Conversion Diagram of Model (1)

假设模型(1)满足以下初始条件:

Su(θ)=Φ1(θ),Sa(θ)=Φ2(θ),E(θ)=Φ3(θ),I(θ)=Φ4(θ),M(θ)=Φ5(θ)θ∈[-τ,0],

其中

(2)

设(Su(t),Sa(t),E(t),I(t),M(t))为模型(1)满足初值条件(2)的解,显然对于∀t≥0,有

Su(t)≥0,Sa(t)≥0,E(t)≥0,I(t)≥0,M(t)≥0.

2 平衡点和基本再生数

(3)

(4)

(5)

(6)

将(3)～(6)式代入模型(1)的第2个方程,得到关于I*的三次方程

f(I*)=a3I*3+a2I*2+a1I*+a0.

(7)

其中:

这里:

g(I*)=m3I*3+m2I*2+m1I*+m0.

根据笛卡尔符号法则,模型(1)正实根可能的数量见表1.

由表1可知:

3 平衡点稳定性分析

3.1 无病平衡点的稳定性

模型 (1) 在P0处的Jacobian矩阵

其特征方程为

(8)

显然,方程(8)恒有3个负实根:λ1=-d,λ2=-δ-d,λ3=-ρ0.方程(8)的其他根由以下方程决定:

(9)

化简方程(9),可得

(10)

当τ=0时,方程(10)化简为

λ2+(η+2d+ω+γ)λ+(η+d)(d+ω+γ)(1-R0)=0.

由Routh Hurwitz判据可知:当R0<1时,P0是局部渐近稳定的;当R0>1时,P0是不稳定的.

当τ>0时,设λ=νi(ν>0)是方程(10)的一个解.将λ=νi(ν>0)代入方程(10),分离实部和虚部:

(11)

(12)

将 (11)和(12)式分别平方再相加,可得

ν4+f1ν2+f2=0,

其中f1=d2-η2+(d+ω+γ)2,f2=(d+ω+γ)2(d2-η2+(η+d)R0(2η-(d+η)R0)).令X=ν2,则有

X2+f1X+f2=0.

(13)

接下来分析τ>0时,方程(13)的根的存在性:

(ⅰ) 当f1>0,f2>0时,方程(13)无正实根,即对于∀τ>0,无病平衡点P0是局部渐近稳定的.

由方程(13),可得相应的τn,

(ⅲ) 和 (ⅳ) 对应的τn为

进一步可得

由(10),(11)和(12)式,可得

综上,可得以下结果:

定理2对于模型(1) :

(1)当τ=0,R0<1时,P0是局部渐近稳定的;当R0>1时,P0不稳定.

(2)当R0<1,符合情况(ⅰ)时,对于∀τ>0,无病平衡点P0是局部渐近稳定的.

以上是无病平衡点P0的局部稳定性分析,接下来分析P0的全局稳定性.

定理3当R0<1时,对于∀τ≥0,无病平衡点P0是全局渐近稳定的.

定义Lyapunov泛函V=V1+V2,通过计算可得,

3.2 地方病平衡点的局部稳定性分析

(14)

其中:

Z(t)=(Su(t),Sa(t),E(t),I(t),M(t))T.

这里:

系统(14)对应的特征方程为|λI5×5-(Z1(t)+Z2(t-τ)e-λτ)|=0,这里I5×5是5阶单位矩阵.于是

从而

P(λ)+Q(λ)e-λτ=0,

(15)

其中

P(λ)=λ5+B8λ4+B9λ3+B10λ2+B11λ+B12,

Q(λ)=ηλ4+η(B2-A6)λ3+η(B3+B6-ρ0A6)λ2+η(ρA2I*(β1-β2)+B4+

B7+ρ0B6)λ+η(ρA2I*B1+B5+ρ0B7).

这里:

B1=A1β2+A3β2-β1δ-β1A4;

B2=ρ0-A1-A2-A7;

B3=A1A4-A3δ-(ρ0-A7)(A1+A4)-ρ0A7;

B4=ρ0A7(A1+A4)+(ρ0-A7)(A1A4-A3δ);

B5=-ρ0A7(A1A4-A3δ);

B8=ρ0+d-A7-A1-A4;

B9=A1A4-A3δ-(ρ0-A7+d)(A1+A4)+d(ρ0-A7)-ρ0A7;

B10=(ρ0-A7+d)(A1A4-A3δ)-(d(ρ0-A7)-ρ0A7)(A1+A4-ρ0A7d);

B11=(d(ρ0-A7)-ρ0A7)(A1A4-A3δ)+ρ0A7d(A1+A4);

B12=-ρ0A7d(A1A4-A3δ).

当τ=0时,P(λ)+Q(λ)=0,于是

P(λ)+Q(λ)=λ5+C1λ4+C2λ3+C3λ2+C4λ+C5.

(16)

其中:

C1=B8+η;C2=B9+η(B2-A6);C3=η(B3+B6-ρ0A6)+B10;

C4=η(ρA2I*(β1-β2)+B4+B7+ρ0B6)+B11;

C5=B12+η(ρA2I*B1+B5+ρ0B7).

根据Routh Hurwitz判据可知,方程(16)全部特征根的实部均为负数的充要条件是

于是可得以下结果:

下面讨论当τ>0时,地方病平衡点的稳定情况.当τ>0时,假设λ=νi(ν>0)是(15)式的一个解.为了方便计算,令

Q(λ)=ηλ4+D1λ3+D2λ2+D3λ+D4.

其中:

D1=η(B2-A6);D2=η(B3+B6-ρ0A6);D3=η(ρA2I*(β1-β2)+B4+B7+ρ0B6);

D4=η(ρA2I*B1+B5+ρ0B7).

将λ=νi(ν>0)代入(15)式,分离实部和虚部:

(ην4-D2ν2+D4)cosντ+(D3ν-D1ν3)sinντ=B10ν2-B8ν4-B12,

(17)

(D3ν-D1ν3)cosντ-(ην4-D2ν2+D4)sinντ=-ν5+B9ν3-B11ν.

(18)

将 (17)和(18)式分别平方再相加,可得

ν10+E1ν8+E2ν6+E3ν4+E4ν2+E5=0.

令Y=ν2,则有

Y5+E1Y4+E2Y3+E3Y2+E4Y+E5=0.

(19)

其中:

4 数值模拟

为了研究潜伏时滞和疾病意识对模型(1)的影响,接下来进行数值模拟.取初始值(Su,Sa,E,I,M)=(9.80,6.65,3.65,4.36,1.28),参数Λ=0.25,β1=0.045,β2=0.007,α=0.214,K=2,δ=0.075,d=0.025,ω=0.22,γ=0.62,η=0.56,ρ=0.08,ρ0=0.04,计算得到R0=0.498<1,τ0=6.166 7.

图2 τ=5.166 7时P0局部渐近稳定Fig. 2 Local Asymptotical Stability of P0 When τ=5.166 7

图3 τ=5.166 7时模型(1)出现Hopf分支Fig. 3 Occurrence Hopf Bifurcation in Model (1) When τ=5.166 7

当R0<1时,取τ=5.166 7,6.266 7,无病平衡点P0是全局渐近稳定的,符合定理3 (图4和图5).

图4 τ=5.166 7时P0的相位图Fig. 4 Phase Diagram of Global Asymptotically Stable P0 When τ=5.166 7

图5 τ=6.266 7时P0的相位图Fig. 5 Phase Diagram of Global Asymptotically Stable P0 When τ=6.266 7

图6 (7)式的解唯一存在Fig. 6 Uniqueness Solution of Equation (7)

由于模型(1)地方病平衡点的存在情况较复杂,因此考虑借助Matlab软件计算方程(7)的解.取参数Λ=1,β1=0.15,β2=0.025,α=0.22,K=2,δ=0.075,d=0.025,ω=0.22,γ=0.62,η=0.56,ρ=0.243,ρ0=0.085,计算可得I*=2.063 5,且唯一存在,满足定理1的情况(1),如图6所示.此时,存在地方病平衡点P*(3.910 9,12.679 5,3.187 4,2.063 5,5.899 2),进一步计算得到R0=6.64>1,τ0=11.581 7.

取初始值(Su,Sa,E,I,M)=(3.027 4,15.650 2,2.458 7,1.652 5,4.690 1).当τ=10.517 5<τ0时,地方病平衡点P*是局部渐近稳定的,最终趋于一个稳定解(图7和图8);当τ=τ0时,系统发生Hopf分支,模型(1)出现周期解(图9和图10).

为了讨论疾病意识影响因子α和δ的变化对疾病感染者数量的影响,固定时滞τ=8.017 5,分别绘制以α和δ为变化参数的I(t)的解曲线(图11和图12).

图7 τ=10.517 5时Su (t),Sa (t),E(t),I(t)的解曲线Fig. 7 Solution Curves of Su (t),Sa (t),E(t),I(t) When τ=10.517 5

图8 τ=10.517 5时P*局部渐近稳定Fig. 8 Local Asymptotical Stablity of P* When τ=10.517 5

图10 τ=11.581 7时模型(1)出现Hopf分支Fig. 10 Occurrence Hopf Bifurcation in Model (1) When τ=11.581 7

图11 参数α对I(t)的影响Fig. 11 Influence of Parameter α on I(t)

图12 参数δ对I(t)的影响Fig. 12 Influence of Parameter δ on I(t)

由图11可见,α越大,即无疾病意识易感者Su(t)转化成有疾病意识易感者Sa(t)的比例越大,有疾病意识的人群就越多,疾病的有效传播率就越低,那么感染者I(t)数量就越少且越易达到稳定.

由图12可见,δ越大,即有疾病意识易感者Sa(t)转化成无疾病意识易感者Su(t)的比例越大,无疾病意识的人群就越多,疾病的有效传播率就越高,那么感染者I(t)数量就越多且越难达到稳定.

5 结论

为了研究媒体报道产生的疾病意识对传染病传播的影响,建立了一类受疾病意识影响且潜伏期具有时滞的SEIM传染病模型,并分析了模型的无病平衡点和地方病平衡点的存在性和稳定性,讨论了Hopf分支存在的条件.理论分析和模拟结果表明:

(1)当R0<1时,对于∀τ≥0,无病平衡点P0是全局渐近稳定的.当R0>1时,地方病平衡点P*在τ∈[0,τ0)处是局部渐近稳定的;在τ=τ0处,模型(1)在P*处出现Hopf分支;在τ>τ0处,P*是不稳定的.

(2)个体疾病关注意识越强且越不容易消退,感染者I(t)数量就越容易得到控制.因此,加大媒体报道力度,有助于易感人群增强疾病意识,做好个体保护,减少疾病传播,从而控制疾病蔓延.