基于核心素养的高中数学试题命制分析与优化

肖建平

摘要：在考试环节引入数学建模，是落实数学学科核心素养、培养创新型人才的主要途径之一.本文结合应用题的实际意义与最近发展区理论，给出一道联考试题的分析并提出优化建议.

关键词：课程标准；数学建模；试题优化

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）33-0030-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》［1］提出，数学建模过程主要包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型.在考试环节引入数学建模是落实数学学科核心素养、培养创新型人才的主要途径之一.引导学生理解、运用数学建模，从而解决问题，发展到“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”，将数学与现实世界建立映射关系，成长为思维严谨、勇于创新的新时代青年.

某市2023年高一期末联考数学试题第22题的命制中依据现实情境，建构数学模型，以能力立意，核心素養为导向，从而在考查中落实“立德树人”的根本目标.

1 试卷原题

某中学新建了学校食堂，每天有近2 000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等.为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下统计图表（表1和图1）.

已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.

（1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80%的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？

（2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.

2 原题解答

（1）依题意，就餐高峰期时，选择选餐的总人数为200×5050+30+20=100人， 这100人平均分布在12 个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数约为10012≈9人，所以选择选餐的同学最长等待时间是2×9=18分钟.由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]的频率分别为0.15，0.45，0.35，0.05，所以可接受等待时长在15分钟以上的同学有0.05+0.35=40%<80%，故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80%的同学感到满意.

（2）设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下表2：

依题意，从等待时长和公平的角度考虑，则要求每个队伍的同学的最长等待时间大致相同，即得：

2×100m=0.5×60n=1×40k，于是有：m∶n∶k=20∶3∶4，而m+n+k=20，得：m≈15，n≈2，k≈3，因此建议饭堂设置选餐、套餐、面食三个类别窗口数分别为15、2、3.

3 命题优化

笔者通过限时做题，觉得这个题目命题意图很好，能够体现基础性、综合性、应用性、创新性，而且非常契合数学建模的思想，可以通过数学建模、数据分析、数学运算去解决现实问题.但笔者认为原题的解答过程不够准确，题目的设计也有待商榷.笔者基于数学核心素养的考查，结合应用题的实际意义和学生的最近发展区及储备知识，对该题指出以下问题，以供参考.

3.1 表述不直接

问题的文字表述要合理易懂一些.“假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同）”，学生在做题的时候可能会忽略括号内的文字，尤其可能忽略掉“各类餐食”，是否可以把文字改写成“假设大家在排队时自动选择同一类餐食较短的队伍等待”更直接易懂.

3.2 解答不精准

关于“就餐高峰期选择选餐”这部分的解答过程应进一步解析精准.就餐高峰期选择选餐的总人数为200×5050+30+20=100人，这100 人尽可能平均分布在12个选餐窗口，其中有8个窗口每个窗口等待就餐的人数应为8人，其余4个窗口每个窗口等待就餐的人数应为9人，所以选择选餐的同学最长等待时间是2×9=18分钟.

3.3 排队不合心理

如果这个问题“假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同）”删掉括号内的内容（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），是否更符合就餐学生急于吃午饭的心理？那么“假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待”的解法就不一样了，学生等餐的时间会减少.分析：设每2分钟完成一轮1×12+4×4+2×4=36人，200=36×5+20，那么需要5轮，余20人，每人一个窗口，所以选餐的同学最长等待时间是2×5+2=12分钟.

3.4 窗口设置比例不合理

如果2 000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，售饭窗口设置m个选餐窗口， n个套餐窗口，k个面食窗口，且m∶n∶k=20∶3∶4，那么至少需要设置多少个售饭窗口？分析：每2分钟需要提供2 00040×2=100份，则1×m+4×n+2×k≥100，得m=50，n≈8，k=10，因此食堂需要设置约68个窗口，这样会给学校食堂带来比较大的成本，不太符合实际.因此假设选餐用时2分钟太夸张，实际食堂运行用不了这么久.

3.5 窗口配置优化

如果2 000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，至少需要设置多少个售饭窗口？分析：以取餐时长最短0.5分钟计算，需要设置25个套餐窗口，但是不能满足学生的用餐喜好，所以需要增加选餐和面食餐口.那么如何配置选餐、套餐、面食的窗口数就需要在食堂的成本和满足学生的用餐喜好之间做出一个最优的方案，而且需要根据学生变化的用餐喜好不断地调整窗口配置.

4 题目（2022年高一期末联考试题）

某市沙田柚根据色泽、果面、风味等评分指标打分，得分在区间（0，25］，（25，50］，（50，75］，（75，100］内分别评定为三级柚、二级柚、一级柚和特级柚.某经销商从我市柚农手中收购一批沙田柚，共M袋（每袋50 kg），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图2所示：

（1）求a的值，并用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分.

（2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：

方案1：将采购的这批沙田柚不经检测，统一按每袋350元直接售出；

方案2：将采购的这批沙田柚逐袋检测分级，并将每袋沙田柚重新包装成5小袋（每小袋10 kg），检测分级所需费用和人工费平均每袋20元，各等级沙田柚每小袋的售价和包装材料成本如表3所示：

假设这批沙田柚各级比例按前面随机抽取的20袋的样本结果估计，并可以全部销售出去，那么该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？请通过计算说明理由．

4.1  存在问题

通过计算估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分是56.25分，因此区间设置不合理，得分75分和100分是同一等级，极差25分，悬殊比较大，不能突出当地沙田柚的优质性.

4.2  优化建议

这道题目的关键是这批沙田柚的平均得分太低，修改数据最好的办法是去市场买一批沙田柚并进行评分，这样才贴合实际，然后要论证所得的数据是否具有代表性和普遍性.这样才能在考题中无形地达到宣传当地沙田柚的优质性，润物细无声地增进学生的家乡情结和自豪感.

《普通高中数学课程标准》要求教师在教学的各个环节中要渗透数学建模思想，培养高中生的数学建模等核心素养.李大潜院士指出“数学教育本质上是一种素质教育”“贯彻素质教育最有效、最直接的途径就是通過数学建模教学或者举办建模竞赛”[2].因此，要发挥考试的导向作用，激发学生学习数学的热情和兴趣，提高学生数学建模的能力.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.

［责任编辑：李璟］